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5. 解方程(组):
(1) $\frac{5x+1}{3} - \frac{2x-1}{6} = 1$；
(2) $\begin{cases} y + 5 = 3x, & ① \\ 5y - 2 = 3x - 3. & ② \end{cases}$
(1) $\frac{5x+1}{3} - \frac{2x-1}{6} = 1$；
(2) $\begin{cases} y + 5 = 3x, & ① \\ 5y - 2 = 3x - 3. & ② \end{cases}$
答案
5.(1)$x=\frac{3}{8}$ (2)$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
解析
【分析】
（1）本题是一元一次方程求解，遵循一元一次方程的常规解题步骤即可：先去分母消除分数运算，再去括号，随后移项将含未知数的项和常数项分别放在等号两侧，合并同类项后将未知数系数化为1即可得到解。（2）本题是二元一次方程组求解，观察到两个方程均含有3x，可选择代入消元法，将①式中的3x整体代入②式，先消去x求出y的值，再将y的值代回①式求出x的值，计算更简便。
【解析】
(1) 解：去分母，方程两边同时乘6，得：
$2(5x+1) - (2x-1) = 6$
去括号，得：
$10x + 2 - 2x + 1 = 6$
移项，得：
$10x - 2x = 6 - 2 - 1$
合并同类项，得：
$8x = 3$
系数化为1，得：
$x = \frac{3}{8}$
(2) 解：把①式$3x = y + 5$代入②式，得：
$5y - 2 = (y + 5) - 3$
化简得：
$5y - 2 = y + 2$
移项，得：
$5y - y = 2 + 2$
合并同类项，得：
$4y = 4$
系数化为1，得：
$y = 1$
将$y=1$代入①式，得：
$1 + 5 = 3x$，解得$x=2$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
【答案】
(1)$x=\frac{3}{8}$ (2)$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
一元一次方程求解，代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于方程（组）求解的基础题型，（1）求解时需注意去分母不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化；（2）求解时优先观察方程组的结构特征，选择简便的消元方法可减少计算量，提升正确率。
【难度系数】
0.8
（1）本题是一元一次方程求解，遵循一元一次方程的常规解题步骤即可：先去分母消除分数运算，再去括号，随后移项将含未知数的项和常数项分别放在等号两侧，合并同类项后将未知数系数化为1即可得到解。（2）本题是二元一次方程组求解，观察到两个方程均含有3x，可选择代入消元法，将①式中的3x整体代入②式，先消去x求出y的值，再将y的值代回①式求出x的值，计算更简便。
【解析】
(1) 解：去分母，方程两边同时乘6，得：
$2(5x+1) - (2x-1) = 6$
去括号，得：
$10x + 2 - 2x + 1 = 6$
移项，得：
$10x - 2x = 6 - 2 - 1$
合并同类项，得：
$8x = 3$
系数化为1，得：
$x = \frac{3}{8}$
(2) 解：把①式$3x = y + 5$代入②式，得：
$5y - 2 = (y + 5) - 3$
化简得：
$5y - 2 = y + 2$
移项，得：
$5y - y = 2 + 2$
合并同类项，得：
$4y = 4$
系数化为1，得：
$y = 1$
将$y=1$代入①式，得：
$1 + 5 = 3x$，解得$x=2$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
【答案】
(1)$x=\frac{3}{8}$ (2)$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
一元一次方程求解，代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于方程（组）求解的基础题型，（1）求解时需注意去分母不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化；（2）求解时优先观察方程组的结构特征，选择简便的消元方法可减少计算量，提升正确率。
【难度系数】
0.8
6.为方便交流讨论，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
C
）A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
答案
6.C
解析
【分析】
要解决分组方案问题，首先需要根据总人数的等量关系列出方程。我们可以设4人小组的数量为x个，5人小组的数量为y个，x和y都必须是非负整数（因为小组数量不能是负数，也不能是小数）。根据总人数43人可列二元一次方程，再找出这个方程的所有非负整数解，解的个数就是分组方案的种数。
【解析】
设4人小组有x组，5人小组有y组，其中x、y均为非负整数。
根据总人数为43人，可列方程：
$4x + 5y = 43$
变形得：$x = \frac{43 - 5y}{4}$
因为x为非负整数，所以$43 - 5y$必须是4的非负倍数，即：
1. $43 - 5y ≥ 0$，解得$y ≤ 8.6$，所以y的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8；
2. 将y的可能取值逐一代入验证：
当y=3时，$x=\frac{43-15}{4}=7$，符合要求；
当y=7时，$x=\frac{43-35}{4}=2$，符合要求；
其余y值代入后x均不是非负整数，不符合要求。
因此共有2种分组方案。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的应用
2. 不定方程的非负整数解
【点评】
本题是典型的方案设计类实际应用题，解题核心是结合实际意义确定未知数的取值范围，通过枚举或余数分析找出符合要求的整数解，注意不要忽略变量为非负整数这一隐含条件。
【难度系数】
0.6
要解决分组方案问题，首先需要根据总人数的等量关系列出方程。我们可以设4人小组的数量为x个，5人小组的数量为y个，x和y都必须是非负整数（因为小组数量不能是负数，也不能是小数）。根据总人数43人可列二元一次方程，再找出这个方程的所有非负整数解，解的个数就是分组方案的种数。
【解析】
设4人小组有x组，5人小组有y组，其中x、y均为非负整数。
根据总人数为43人，可列方程：
$4x + 5y = 43$
变形得：$x = \frac{43 - 5y}{4}$
因为x为非负整数，所以$43 - 5y$必须是4的非负倍数，即：
1. $43 - 5y ≥ 0$，解得$y ≤ 8.6$，所以y的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8；
2. 将y的可能取值逐一代入验证：
当y=3时，$x=\frac{43-15}{4}=7$，符合要求；
当y=7时，$x=\frac{43-35}{4}=2$，符合要求；
其余y值代入后x均不是非负整数，不符合要求。
因此共有2种分组方案。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的应用
2. 不定方程的非负整数解
【点评】
本题是典型的方案设计类实际应用题，解题核心是结合实际意义确定未知数的取值范围，通过枚举或余数分析找出符合要求的整数解，注意不要忽略变量为非负整数这一隐含条件。
【难度系数】
0.6
7.《九章算术》记载了这样一个问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问:善田、恶田各几何?”意思是:当下良田1亩,价值300钱;薄田7亩,价值500钱.现在共买1顷,价值10 000钱.根据条件,良田买了
12.5
亩.(1顷=100亩)答案
7.12.5
解析
【分析】
解题时首先明确单位换算：1顷=100亩，先梳理已知量：良田单价300钱/亩，7亩恶田总价500钱，总购买面积100亩，总花费10000钱。我们可以设良田的亩数为未知数，用总亩数表示出恶田的亩数，再根据“良田总花费+恶田总花费=总花费”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到良田的亩数。
【解析】
解：已知1顷=100亩，设良田买了$ x $亩，则恶田买了$ (100-x) $亩。
由题意得恶田单价为$ \frac{500}{7} $钱/亩，根据总花费列方程：
$ 300x + \frac{500}{7}(100-x) = 10000 $
方程两边同时乘7消去分母：
$ 2100x + 500(100-x) = 70000 $
展开括号：
$ 2100x + 50000 - 500x = 70000 $
合并同类项：
$ 1600x = 20000 $
解得：
$ x = 12.5 $
【答案】
12.5
【知识点】
一元一次方程的应用；单价数量总价关系
【点评】
本题以中国古代数学典籍《九章算术》的问题为背景，考查实际问题的方程建模能力，解题的核心是准确找到等量关系，正确列出方程求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确单位换算：1顷=100亩，先梳理已知量：良田单价300钱/亩，7亩恶田总价500钱，总购买面积100亩，总花费10000钱。我们可以设良田的亩数为未知数，用总亩数表示出恶田的亩数，再根据“良田总花费+恶田总花费=总花费”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到良田的亩数。
【解析】
解：已知1顷=100亩，设良田买了$ x $亩，则恶田买了$ (100-x) $亩。
由题意得恶田单价为$ \frac{500}{7} $钱/亩，根据总花费列方程：
$ 300x + \frac{500}{7}(100-x) = 10000 $
方程两边同时乘7消去分母：
$ 2100x + 500(100-x) = 70000 $
展开括号：
$ 2100x + 50000 - 500x = 70000 $
合并同类项：
$ 1600x = 20000 $
解得：
$ x = 12.5 $
【答案】
12.5
【知识点】
一元一次方程的应用；单价数量总价关系
【点评】
本题以中国古代数学典籍《九章算术》的问题为背景，考查实际问题的方程建模能力，解题的核心是准确找到等量关系，正确列出方程求解。
【难度系数】
0.7
8.若图1、图2都是由8个相同的小长方形拼成的，且图2中阴影部分(正方形)的面积为1，则小长方形的长为
5
。答案
8.5
解析
【分析】
本题可通过设未知数，结合两个拼接图形的边长等量关系列二元一次方程组求解。首先设小长方形的长为$x$，宽为$y$：第一步分析图1，大长方形的长既可以表示为3个小长方形的长之和，也可以表示为5个小长方形的宽之和，得到第一个等量关系；第二步分析图2，阴影是面积为1的正方形，因此边长为1，观察可得阴影边长等于2个小长方形的宽减去1个小长方形的长，得到第二个等量关系，联立两个方程即可求解长。
【解析】
解：设小长方形的长为$x$，宽为$y$。
根据图1中大长方形的长相等，可得：
$3x=5y$ ①
已知阴影正方形面积为1，因此其边长为1，根据图2的边长关系可得：
$2y - x=1$ ②
由②变形得$x=2y-1$，将其代入①：
$3(2y-1)=5y$
展开得$6y-3=5y$
解得$y=3$
将$y=3$代入$x=2y-1$，得$x=2×3 -1=5$
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程组的应用；正方形的性质；长方形的性质
【点评】
本题属于几何拼接类的方程应用问题，解题的核心是准确挖掘图形中隐藏的边长等量关系，将几何问题转化为代数方程求解，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
本题可通过设未知数，结合两个拼接图形的边长等量关系列二元一次方程组求解。首先设小长方形的长为$x$，宽为$y$：第一步分析图1，大长方形的长既可以表示为3个小长方形的长之和，也可以表示为5个小长方形的宽之和，得到第一个等量关系；第二步分析图2，阴影是面积为1的正方形，因此边长为1，观察可得阴影边长等于2个小长方形的宽减去1个小长方形的长，得到第二个等量关系，联立两个方程即可求解长。
【解析】
解：设小长方形的长为$x$，宽为$y$。
根据图1中大长方形的长相等，可得：
$3x=5y$ ①
已知阴影正方形面积为1，因此其边长为1，根据图2的边长关系可得：
$2y - x=1$ ②
由②变形得$x=2y-1$，将其代入①：
$3(2y-1)=5y$
展开得$6y-3=5y$
解得$y=3$
将$y=3$代入$x=2y-1$，得$x=2×3 -1=5$
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程组的应用；正方形的性质；长方形的性质
【点评】
本题属于几何拼接类的方程应用问题，解题的核心是准确挖掘图形中隐藏的边长等量关系，将几何问题转化为代数方程求解，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
9.某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%，则该车间10月份计划加工甲零件
120
个.答案
9.120
解析
【分析】
这是一道百分数增长率类的实际应用题，解题核心是找准等量关系。我们可以先设该车间10月份计划加工甲零件的数量为未知数，那么计划加工乙零件的数量就可以用总计划产量减去甲的计划产量表示；再分别表示出甲、乙零件的实际产量，根据“甲实际产量+乙实际产量=实际总产量”这一等量关系列方程，求解即可得到答案。
【解析】
设该车间10月份计划加工甲零件x个，则计划加工乙零件$(200-x)$个。
根据实际总产量为216个，可列方程：
$(1+10\%)x+(1+5\%)(200-x)=216$
展开计算：
$1.1x+1.05× 200-1.05x=216$
$1.1x+210-1.05x=216$
合并同类项：
$0.05x+210=216$
移项计算：
$0.05x=216-210$
$0.05x=6$
解得：$x=6÷ 0.05=120$
【答案】
120
【知识点】
一元一次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题属于基础常考应用题，解题的关键是理清计划产量、实际产量、增长率之间的关系，准确找到等量关系列方程求解，掌握这类题型可以帮助提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道百分数增长率类的实际应用题，解题核心是找准等量关系。我们可以先设该车间10月份计划加工甲零件的数量为未知数，那么计划加工乙零件的数量就可以用总计划产量减去甲的计划产量表示；再分别表示出甲、乙零件的实际产量，根据“甲实际产量+乙实际产量=实际总产量”这一等量关系列方程，求解即可得到答案。
【解析】
设该车间10月份计划加工甲零件x个，则计划加工乙零件$(200-x)$个。
根据实际总产量为216个，可列方程：
$(1+10\%)x+(1+5\%)(200-x)=216$
展开计算：
$1.1x+1.05× 200-1.05x=216$
$1.1x+210-1.05x=216$
合并同类项：
$0.05x+210=216$
移项计算：
$0.05x=216-210$
$0.05x=6$
解得：$x=6÷ 0.05=120$
【答案】
120
【知识点】
一元一次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题属于基础常考应用题，解题的关键是理清计划产量、实际产量、增长率之间的关系，准确找到等量关系列方程求解，掌握这类题型可以帮助提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10. A,B两地相距49 km,某人从A地步行出发,以不同的速度分三段走完全程,一共用了10 h.已知走第一段、第二段、第三段的速度分别是6 km/h,4 km/h,5 km/h,第三段的路程为15 km,求第一段和第二段的路程.
答案
10. 第一段的路程为 18 km,第二段的路程为 16 km.
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题时先梳理已知条件：总路程49km，总用时10h，已知第三段的路程和速度，我们可以先算出第三段的行驶时间，以及第一、二段的总路程和总用时。题目要求第一段和第二段的路程，可设第一段路程为未知数，用一二段总路程减去第一段路程表示出第二段路程，再根据“第一段用时+第二段用时=一二段总用时”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：先计算第三段路程的行驶时间：
第三段用时 = 第三段路程÷第三段速度 = $15÷5=3\ \mathrm{h}$
则第一、二段的总用时为：$10-3=7\ \mathrm{h}$
第一、二段的总路程为：$49-15=34\ \mathrm{km}$
设第一段的路程为$x\ \mathrm{km}$，则第二段的路程为$(34-x)\ \mathrm{km}$，根据时间关系列方程：
$\frac{x}{6}+\frac{34-x}{4}=7$
两边同乘12消去分母得：
$2x + 3(34-x)=84$
展开计算：
$2x + 102 - 3x = 84$
移项合并同类项：
$-x = 84 - 102$
$-x = -18$
解得：$x=18$
则第二段路程为：$34-18=16\ \mathrm{km}$
【答案】
第一段的路程为 18 km,第二段的路程为 16 km.
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；路程速度时间关系
【点评】
本题属于基础的行程类方程应用题，解题关键是找准等量关系，通过已知的第三段路程和速度先算出其用时，简化问题后再设未知数列方程求解，计算时注意消分母的步骤不要漏乘常数项。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题时先梳理已知条件：总路程49km，总用时10h，已知第三段的路程和速度，我们可以先算出第三段的行驶时间，以及第一、二段的总路程和总用时。题目要求第一段和第二段的路程，可设第一段路程为未知数，用一二段总路程减去第一段路程表示出第二段路程，再根据“第一段用时+第二段用时=一二段总用时”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：先计算第三段路程的行驶时间：
第三段用时 = 第三段路程÷第三段速度 = $15÷5=3\ \mathrm{h}$
则第一、二段的总用时为：$10-3=7\ \mathrm{h}$
第一、二段的总路程为：$49-15=34\ \mathrm{km}$
设第一段的路程为$x\ \mathrm{km}$，则第二段的路程为$(34-x)\ \mathrm{km}$，根据时间关系列方程：
$\frac{x}{6}+\frac{34-x}{4}=7$
两边同乘12消去分母得：
$2x + 3(34-x)=84$
展开计算：
$2x + 102 - 3x = 84$
移项合并同类项：
$-x = 84 - 102$
$-x = -18$
解得：$x=18$
则第二段路程为：$34-18=16\ \mathrm{km}$
【答案】
第一段的路程为 18 km,第二段的路程为 16 km.
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；路程速度时间关系
【点评】
本题属于基础的行程类方程应用题，解题关键是找准等量关系，通过已知的第三段路程和速度先算出其用时，简化问题后再设未知数列方程求解，计算时注意消分母的步骤不要漏乘常数项。
【难度系数】
0.7
11.第十四届中国(合肥)国际园林博览会活动期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只调配22座新能源客车,则用车数量增加4辆,并空出2个座位.
(1)计划调配36座新能源客车多少辆?该大学共有多少名志愿者?
(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人都有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?
(1)计划调配36座新能源客车多少辆?该大学共有多少名志愿者?
(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人都有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?
答案
11.(1)计划调配 36 座新能源客车 6 辆,该大学共有 218 名志愿者.
(2)需 36 座新能源客车 3 辆,22 座新能源客车 5 辆.
(2)需 36 座新能源客车 3 辆,22 座新能源客车 5 辆.
解析
【分析】
(1) 针对第一问，我们可以设计划调配36座新能源客车的数量为未知数，抓住两种调配方案中志愿者总人数不变这一等量关系，列一元一次方程即可求解车辆数，再代入计算得到志愿者总人数。
(2) 针对第二问，设两种车型的调配数量分别为未知数，根据总人数等于两种车型承载总人数列方程，再结合车辆数为正整数的实际要求，通过代入验证筛选出符合条件的解即可。
【解析】
(1) 设计划调配36座新能源客车$x$辆，根据志愿者总人数不变列方程：
$\quad 36x + 2 = 22(x + 4) - 2$
去括号得：$36x + 2 = 22x + 88 - 2$
移项、合并同类项得：$14x = 84$
系数化为1得：$x = 6$
则志愿者总人数为：$36 × 6 + 2 = 218$（名）
(2) 设调配36座新能源客车$m$辆，22座新能源客车$n$辆（$m$、$n$均为正整数），根据题意列方程：
$\quad 36m + 22n = 218$
化简得：$18m + 11n = 109$
变形得：$n = \frac{109 - 18m}{11}$
由$m$、$n$为正整数可知，$109 - 18m$是11的正整数倍，且$109 - 18m ＞ 0$，即$m ＜ \frac{109}{18} \approx 6.06$，因此$m$可取1、2、3、4、5、6，逐个验证：
当$m=1$时，$n=\frac{91}{11}$，不是整数，舍去；
当$m=2$时，$n=\frac{73}{11}$，不是整数，舍去；
当$m=3$时，$n=\frac{55}{11}=5$，符合要求；
当$m≥4$时，$n$均不是正整数，舍去。
因此唯一符合条件的解为$m=3$，$n=5$。
【答案】
(1) 计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者。
(2) 需36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆。
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程应用，正整数解筛选
【点评】
本题结合志愿者乘车的实际场景出题，既考查了学生利用方程解决实际问题的基础能力，又需要结合实际约束筛选可行解，能有效提升学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 针对第一问，我们可以设计划调配36座新能源客车的数量为未知数，抓住两种调配方案中志愿者总人数不变这一等量关系，列一元一次方程即可求解车辆数，再代入计算得到志愿者总人数。
(2) 针对第二问，设两种车型的调配数量分别为未知数，根据总人数等于两种车型承载总人数列方程，再结合车辆数为正整数的实际要求，通过代入验证筛选出符合条件的解即可。
【解析】
(1) 设计划调配36座新能源客车$x$辆，根据志愿者总人数不变列方程：
$\quad 36x + 2 = 22(x + 4) - 2$
去括号得：$36x + 2 = 22x + 88 - 2$
移项、合并同类项得：$14x = 84$
系数化为1得：$x = 6$
则志愿者总人数为：$36 × 6 + 2 = 218$（名）
(2) 设调配36座新能源客车$m$辆，22座新能源客车$n$辆（$m$、$n$均为正整数），根据题意列方程：
$\quad 36m + 22n = 218$
化简得：$18m + 11n = 109$
变形得：$n = \frac{109 - 18m}{11}$
由$m$、$n$为正整数可知，$109 - 18m$是11的正整数倍，且$109 - 18m ＞ 0$，即$m ＜ \frac{109}{18} \approx 6.06$，因此$m$可取1、2、3、4、5、6，逐个验证：
当$m=1$时，$n=\frac{91}{11}$，不是整数，舍去；
当$m=2$时，$n=\frac{73}{11}$，不是整数，舍去；
当$m=3$时，$n=\frac{55}{11}=5$，符合要求；
当$m≥4$时，$n$均不是正整数，舍去。
因此唯一符合条件的解为$m=3$，$n=5$。
【答案】
(1) 计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者。
(2) 需36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆。
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程应用，正整数解筛选
【点评】
本题结合志愿者乘车的实际场景出题，既考查了学生利用方程解决实际问题的基础能力，又需要结合实际约束筛选可行解，能有效提升学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
