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章知识导图
一次方程与方程组
方程相关概念
方程 含有未知数的等式
方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值
解方程 求方程的解的过程
等式的基本性质
(1)等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式，即如果$a=b$，那么$a\pm c = b\pm c$
(2)等式两边都乘以(或除以)同一个数或同一个式子(除数不能为0)，所得结果仍是等式，即如果$a=b$，那么$ac=bc$，$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c≠0)$
(3)如果$a=b$，那么$b=a$(对称性)
(4)如果$a=b$，$b=c$，那么①______(传递性)
一元一次方程及其解法
概念 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等式两边都是②______的方程(一般形式：$ax + b = 0$，其中$a,b$为常数，且$a≠0$)
解法步骤
(1)去分母：方程的两边同乘以各分母的最小公倍数
(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他各项都移到另一边
(4)合并同类项：把方程化为$ax = b(a≠0)$的形式
(5)系数化为1：在方程的两边同除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x=\frac{b}{a}$
一次方程与方程组
方程相关概念
方程 含有未知数的等式
方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值
解方程 求方程的解的过程
等式的基本性质
(1)等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式，即如果$a=b$，那么$a\pm c = b\pm c$
(2)等式两边都乘以(或除以)同一个数或同一个式子(除数不能为0)，所得结果仍是等式，即如果$a=b$，那么$ac=bc$，$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c≠0)$
(3)如果$a=b$，那么$b=a$(对称性)
(4)如果$a=b$，$b=c$，那么①______(传递性)
一元一次方程及其解法
概念 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等式两边都是②______的方程(一般形式：$ax + b = 0$，其中$a,b$为常数，且$a≠0$)
解法步骤
(1)去分母：方程的两边同乘以各分母的最小公倍数
(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他各项都移到另一边
(4)合并同类项：把方程化为$ax = b(a≠0)$的形式
(5)系数化为1：在方程的两边同除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x=\frac{b}{a}$
答案
①$a=c$ ②整式
解析
【分析】
本题考查等式的基本性质和一元一次方程的基础概念，解题时可直接回忆对应知识点填空：
1. 对于空①，对应等式基本性质的传递性：若两个量同时等于同一个量，那么这两个量相等，已知$a=b$且$b=c$，即可推出$a$和$c$的等量关系；
2. 对于空②，回忆一元一次方程的三个判定条件：只含1个未知数、未知数次数为1、等式两边均为整式，据此即可确定应填内容。
【解析】
1. 推导空①：根据等式的传递性，当$a=b$，$b=c$时，等量代换可得$a=c$，故①填$\boldsymbol{a=c}$；
2. 推导空②：一元一次方程的定义要求等式两边都必须是整式，若式子中含有未知数在分母的项则属于分式方程，不属于一元一次方程，故②填$\boldsymbol{整式}$。
【答案】
①$\boldsymbol{a=c}$；②$\boldsymbol{整式}$
【知识点】
等式的基本性质、一元一次方程的定义
【点评】
本题是基础概念识记类题目，考查的都是方程章节最核心的基础知识点，熟练掌握教材中的定义、性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查等式的基本性质和一元一次方程的基础概念，解题时可直接回忆对应知识点填空：
1. 对于空①，对应等式基本性质的传递性：若两个量同时等于同一个量，那么这两个量相等，已知$a=b$且$b=c$，即可推出$a$和$c$的等量关系；
2. 对于空②，回忆一元一次方程的三个判定条件：只含1个未知数、未知数次数为1、等式两边均为整式，据此即可确定应填内容。
【解析】
1. 推导空①：根据等式的传递性，当$a=b$，$b=c$时，等量代换可得$a=c$，故①填$\boldsymbol{a=c}$；
2. 推导空②：一元一次方程的定义要求等式两边都必须是整式，若式子中含有未知数在分母的项则属于分式方程，不属于一元一次方程，故②填$\boldsymbol{整式}$。
【答案】
①$\boldsymbol{a=c}$；②$\boldsymbol{整式}$
【知识点】
等式的基本性质、一元一次方程的定义
【点评】
本题是基础概念识记类题目，考查的都是方程章节最核心的基础知识点，熟练掌握教材中的定义、性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. [2024·安庆期中]下列说法错误的是 （
A.若$-2x=-2y$，则$x=y$
B.若$x^2=5x$，则$x=5$
C.若$a=b$，则$a-6=b-6$
D.若$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$，则$a=b$
B
）A.若$-2x=-2y$，则$x=y$
B.若$x^2=5x$，则$x=5$
C.若$a=b$，则$a-6=b-6$
D.若$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$，则$a=b$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查等式变形是否正确，解题核心是运用等式的基本性质逐一验证每个选项，尤其要注意等式两边同时除以同一个数时，必须保证该数不为0，避免出现漏解或错误变形。首先回忆等式的两条基本性质，再逐个分析选项即可找出错误的说法。
【解析】
我们结合等式的基本性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。给$-2x=-2y$两边同时除以$-2$（$-2≠0$），可得$x=y$，该选项变形正确，不符合题意。
2. 分析选项B：若$x^2=5x$，代入$x=0$验证，左边为$0^2=0$，右边为$5×0=0$，等式也成立，因此方程的解为$x=0$或$x=5$，并非只有$x=5$，该选项说法错误，符合题意。
3. 分析选项C：根据等式性质1，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。给$a=b$两边同时减6，可得$a-6=b-6$，该选项变形正确，不符合题意。
4. 分析选项D：因为平方数具有非负性，$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1≠0$，根据等式性质2，给$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$两边同时乘$c^2+1$，可得$a=b$，该选项变形正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；平方的非负性；方程的解
【点评】
本题属于等式性质应用的基础题，解题的关键是牢记等式性质的使用条件，尤其是两边同时除以一个数时，必须确认除数不为0，遇到含未知数的式子做除数时不能随意约分，避免漏解。
【难度系数】
0.8
这道题考查等式变形是否正确，解题核心是运用等式的基本性质逐一验证每个选项，尤其要注意等式两边同时除以同一个数时，必须保证该数不为0，避免出现漏解或错误变形。首先回忆等式的两条基本性质，再逐个分析选项即可找出错误的说法。
【解析】
我们结合等式的基本性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。给$-2x=-2y$两边同时除以$-2$（$-2≠0$），可得$x=y$，该选项变形正确，不符合题意。
2. 分析选项B：若$x^2=5x$，代入$x=0$验证，左边为$0^2=0$，右边为$5×0=0$，等式也成立，因此方程的解为$x=0$或$x=5$，并非只有$x=5$，该选项说法错误，符合题意。
3. 分析选项C：根据等式性质1，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。给$a=b$两边同时减6，可得$a-6=b-6$，该选项变形正确，不符合题意。
4. 分析选项D：因为平方数具有非负性，$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1≠0$，根据等式性质2，给$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$两边同时乘$c^2+1$，可得$a=b$，该选项变形正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；平方的非负性；方程的解
【点评】
本题属于等式性质应用的基础题，解题的关键是牢记等式性质的使用条件，尤其是两边同时除以一个数时，必须确认除数不为0，遇到含未知数的式子做除数时不能随意约分，避免漏解。
【难度系数】
0.8
2. [教材P135B组复习题第3题改编][2024·宿州泗县一模]设$x,y,z$为互不相等的有理数，且$x-y=\dfrac{1}{5}(y+z)$，则下列结论正确的是（
A.$x+z=6(x-y)$
B.$x＞y＞z$
C.$y-z=5(x-y)$
D.$y＞z＞x$
A
）A.$x+z=6(x-y)$
B.$x＞y＞z$
C.$y-z=5(x-y)$
D.$y＞z＞x$
答案
2.A
解析
【分析】
本题可通过两种思路解题：① 对于涉及大小比较的B、D选项，由于题目仅说明x、y、z为互不相等的有理数，未限定正负，可举反例直接排除；② 对于A、C的等式判断类选项，先利用等式的性质对已知等式去分母，再通过移项、整理变形，和选项式子对比即可判断正误。
【解析】
已知$x-y=\dfrac{1}{5}(y+z)$，等式两边同时乘5去分母，得：
$5(x-y)=y+z$ ①
1. 排除B、D选项：
举反例：令$x=0$，$y=-1$，代入①式得$5×(0+1)=-1+z$，解得$z=6$，此时大小关系为$z＞x＞y$，和B、D的结论均不符，故B、D错误。
2. 验证A、C选项：
由①式移项得$z=5(x-y)-y$，代入A选项左边计算：
$x+z=x+5(x-y)-y=6x-6y=6(x-y)$，和A选项右边相等，故A正确。
由①式可知$5(x-y)=y+z$，和C选项$y-z=5(x-y)$不相等，故C错误。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；代数式化简
【点评】
本题属于等式变形的基础应用，特殊值法是解决选择题的常用技巧，能快速排除错误选项，提升解题效率，同学们要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路解题：① 对于涉及大小比较的B、D选项，由于题目仅说明x、y、z为互不相等的有理数，未限定正负，可举反例直接排除；② 对于A、C的等式判断类选项，先利用等式的性质对已知等式去分母，再通过移项、整理变形，和选项式子对比即可判断正误。
【解析】
已知$x-y=\dfrac{1}{5}(y+z)$，等式两边同时乘5去分母，得：
$5(x-y)=y+z$ ①
1. 排除B、D选项：
举反例：令$x=0$，$y=-1$，代入①式得$5×(0+1)=-1+z$，解得$z=6$，此时大小关系为$z＞x＞y$，和B、D的结论均不符，故B、D错误。
2. 验证A、C选项：
由①式移项得$z=5(x-y)-y$，代入A选项左边计算：
$x+z=x+5(x-y)-y=6x-6y=6(x-y)$，和A选项右边相等，故A正确。
由①式可知$5(x-y)=y+z$，和C选项$y-z=5(x-y)$不相等，故C错误。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；代数式化简
【点评】
本题属于等式变形的基础应用，特殊值法是解决选择题的常用技巧，能快速排除错误选项，提升解题效率，同学们要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3. 若$\begin{cases}y-(a-1)x=5, \\ y^{|a|}+(b-5)xy=3\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程组，则$a^b$的值是 ______ 。
答案
3.$-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程组的核心定义：含有2个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1的整式方程组。我们可以按照这个定义逐步推导限制条件：首先要消去方程组里次数高于1的含未知数的项，其次要保证两个未知数x、y的系数都不为0，最后代入计算a^b的值即可。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，列条件求解：
1. 消除二次项：式中$(b-5)xy$是次数为2的项（x和y的次数和为2），要满足一次的要求，该项系数必须为0：
$b-5=0$，解得$b=5$。
2. 保证y的次数为1：第二个方程中y的次数为$|a|$，因此：
$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$。
3. 保证x的系数不为0：第一个方程中x的系数为$-(a-1)$，若系数为0则方程会失去未知数x，不满足“二元”要求，因此：
$a-1≠0$，即$a≠1$。
综上可得$a=-1$，$b=5$，代入计算：
$a^b=(-1)^5=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的定义，绝对值的性质，有理数乘方
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程组概念的理解，解题时容易忽略“未知数系数不为0”的隐含条件，出现多解的错误，做题时要逐一排查定义的所有要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确二元一次方程组的核心定义：含有2个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1的整式方程组。我们可以按照这个定义逐步推导限制条件：首先要消去方程组里次数高于1的含未知数的项，其次要保证两个未知数x、y的系数都不为0，最后代入计算a^b的值即可。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，列条件求解：
1. 消除二次项：式中$(b-5)xy$是次数为2的项（x和y的次数和为2），要满足一次的要求，该项系数必须为0：
$b-5=0$，解得$b=5$。
2. 保证y的次数为1：第二个方程中y的次数为$|a|$，因此：
$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$。
3. 保证x的系数不为0：第一个方程中x的系数为$-(a-1)$，若系数为0则方程会失去未知数x，不满足“二元”要求，因此：
$a-1≠0$，即$a≠1$。
综上可得$a=-1$，$b=5$，代入计算：
$a^b=(-1)^5=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的定义，绝对值的性质，有理数乘方
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程组概念的理解，解题时容易忽略“未知数系数不为0”的隐含条件，出现多解的错误，做题时要逐一排查定义的所有要求。
【难度系数】
0.6
4. 在解二元一次方程组$\begin{cases}6x + my = 3, & ① \\2x - ny = -6 & ②\end{cases}$时，若①－②可直接消去未知数$y$，则$m$和$n$满足的条件是（ ）
A.$m=n$
B.$mn=1$
C.$m+n=0$
D.$m+n=1$
A.$m=n$
B.$mn=1$
C.$m+n=0$
D.$m+n=1$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查加减消元法解二元一次方程组的应用，解题思路如下：首先明确加减消元法消去某一未知数的核心条件：该未知数在两个方程中的系数经过指定的加减运算后结果为0。本题要求①-②直接消去y，因此只需先计算①-②后y项的系数，令该系数等于0，即可推导得到m和n满足的关系。
【解析】
首先计算方程①减去方程②：
左边：$(6x + my) - (2x - ny) = 6x + my - 2x + ny = 4x + (m + n)y$
右边：$3 - (-6) = 9$
因为①-②可直接消去未知数$y$，说明运算后$y$项的系数为0，即：
$m + n = 0$
因此选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法，整式的加减运算
【点评】
本题核心考查加减消元法的原理，解题关键是理解消去某一未知数时，该未知数经加减运算后的系数为0，掌握原理即可快速求解，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
本题考查加减消元法解二元一次方程组的应用，解题思路如下：首先明确加减消元法消去某一未知数的核心条件：该未知数在两个方程中的系数经过指定的加减运算后结果为0。本题要求①-②直接消去y，因此只需先计算①-②后y项的系数，令该系数等于0，即可推导得到m和n满足的关系。
【解析】
首先计算方程①减去方程②：
左边：$(6x + my) - (2x - ny) = 6x + my - 2x + ny = 4x + (m + n)y$
右边：$3 - (-6) = 9$
因为①-②可直接消去未知数$y$，说明运算后$y$项的系数为0，即：
$m + n = 0$
因此选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法，整式的加减运算
【点评】
本题核心考查加减消元法的原理，解题关键是理解消去某一未知数时，该未知数经加减运算后的系数为0，掌握原理即可快速求解，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
