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章知识导图
整式及其加减
代数式及求值
├─代数式：用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式
├─列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示
└─代数式求值：(1)化简后直接代入求值；(2)变形后整体代入求值
整式的相关概念
├─单项式
│ ├─概念：数与字母的积组成的代数式. 单独的一个数或一个字母也是单项式
│ ├─系数：单项式中的数字因数. 如：单项式$\frac{1}{2}π a^2$的系数为①
│ └─次数：单项式中所有字母的指数之和. 如：单项式$2xy^2$的次数为3
├─多项式
│ ├─概念：几个单项式的和. 如：$2a - b + 3c$
│ ├─项：多项式中的每个单项式都叫作多项式的项. 不含字母的项叫作常数项
│ └─次数：多项式里次数最高项的次数. 如：多项式$x^2 - x + 3$的次数为2
└─整式：单项式与多项式统称为整式
整式加减运算
├─同类项：所含字母相同，并且相同字母的②
├─合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变
└─去(添)括号
├─去括号法则
│ (1)如果括号前面是“＋”号，去括号时把括号连同它前面的“＋”号去掉，括号内的各项都不改变符号
│ (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号
└─添括号法则
(1)所添括号前面是“＋”号，括到括号内的各项都不改变符号
(2)所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号
整式及其加减
代数式及求值
├─代数式：用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式
├─列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示
└─代数式求值：(1)化简后直接代入求值；(2)变形后整体代入求值
整式的相关概念
├─单项式
│ ├─概念：数与字母的积组成的代数式. 单独的一个数或一个字母也是单项式
│ ├─系数：单项式中的数字因数. 如：单项式$\frac{1}{2}π a^2$的系数为①
$\frac{1}{2}π$
│ └─次数：单项式中所有字母的指数之和. 如：单项式$2xy^2$的次数为3
├─多项式
│ ├─概念：几个单项式的和. 如：$2a - b + 3c$
│ ├─项：多项式中的每个单项式都叫作多项式的项. 不含字母的项叫作常数项
│ └─次数：多项式里次数最高项的次数. 如：多项式$x^2 - x + 3$的次数为2
└─整式：单项式与多项式统称为整式
整式加减运算
├─同类项：所含字母相同，并且相同字母的②
指数
也分别相同的项. 常数项都是同类项├─合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变
└─去(添)括号
├─去括号法则
│ (1)如果括号前面是“＋”号，去括号时把括号连同它前面的“＋”号去掉，括号内的各项都不改变符号
│ (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号
└─添括号法则
(1)所添括号前面是“＋”号，括到括号内的各项都不改变符号
(2)所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号
答案
①$\frac{1}{2}π$ ②指数
解析
【分析】
这道题考查整式相关的基础概念填空，解题时对应知识点推导即可：
1. 求第①空：先回忆单项式系数的定义，单项式的系数是单项式中的数字因数，注意π是圆周率，属于常数，不是字母，要计入数字因数，找到$\frac{1}{2}πa^2$的数字部分即可得到答案。
2. 求第②空：回忆同类项的定义，同类项需要满足两个“相同”：一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数也分别相同，结合定义补全空缺即可。
【解析】
① 根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，π是常数，因此单项式$\frac{1}{2}πa^2$的数字因数为$\frac{1}{2}π$，即①处填$\frac{1}{2}π$。
② 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，因此②处填“指数”。
【答案】
①$\frac{1}{2}π$；②指数
【知识点】
单项式的系数；同类项的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对整式相关基础定义的记忆与理解，注意区分π是常数不是字母是解决第①空的关键，掌握同类项的判定标准是解决第②空的核心，这类概念是后续学习整式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
这道题考查整式相关的基础概念填空，解题时对应知识点推导即可：
1. 求第①空：先回忆单项式系数的定义，单项式的系数是单项式中的数字因数，注意π是圆周率，属于常数，不是字母，要计入数字因数，找到$\frac{1}{2}πa^2$的数字部分即可得到答案。
2. 求第②空：回忆同类项的定义，同类项需要满足两个“相同”：一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数也分别相同，结合定义补全空缺即可。
【解析】
① 根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，π是常数，因此单项式$\frac{1}{2}πa^2$的数字因数为$\frac{1}{2}π$，即①处填$\frac{1}{2}π$。
② 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，因此②处填“指数”。
【答案】
①$\frac{1}{2}π$；②指数
【知识点】
单项式的系数；同类项的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对整式相关基础定义的记忆与理解，注意区分π是常数不是字母是解决第①空的关键，掌握同类项的判定标准是解决第②空的核心，这类概念是后续学习整式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
1. 如图，梯形上、下底分别为$a$，$b$，高线长恰好等于圆的直径$2r$，则图中阴影部分的面积是（
A.$(a+b)r - π r^2$
B.$abr - π r^2$
C.$2(a+b)r - π r^2$
D.$2abr - π r^2$
A
）A.$(a+b)r - π r^2$
B.$abr - π r^2$
C.$2(a+b)r - π r^2$
D.$2abr - π r^2$
答案
1.A
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影面积等于梯形的面积减去内部空白圆的面积。我们只需分别求出梯形和圆的面积，再作差即可：第一步先根据梯形的面积公式，代入已知的上底、下底和高，算出梯形面积；第二步根据圆的面积公式，代入半径求出圆的面积；最后用梯形面积减去圆的面积，得到阴影面积后匹配对应选项。
【解析】
解：阴影部分的面积 = 梯形的面积 - 空白圆的面积
1. 计算梯形面积：
已知梯形上底为$a$，下底为$b$，高为$2r$，根据梯形面积公式$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，可得：
$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(a+b)×2r=(a+b)r$
2. 计算圆的面积：
已知圆的半径为$r$，根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，直接得圆的面积为$π r^2$。
3. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}}-S_{\mathrm{圆}}=(a+b)r-π r^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
梯形面积计算，圆的面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积求解问题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积差，只要熟练掌握常见图形的面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影面积等于梯形的面积减去内部空白圆的面积。我们只需分别求出梯形和圆的面积，再作差即可：第一步先根据梯形的面积公式，代入已知的上底、下底和高，算出梯形面积；第二步根据圆的面积公式，代入半径求出圆的面积；最后用梯形面积减去圆的面积，得到阴影面积后匹配对应选项。
【解析】
解：阴影部分的面积 = 梯形的面积 - 空白圆的面积
1. 计算梯形面积：
已知梯形上底为$a$，下底为$b$，高为$2r$，根据梯形面积公式$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，可得：
$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(a+b)×2r=(a+b)r$
2. 计算圆的面积：
已知圆的半径为$r$，根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，直接得圆的面积为$π r^2$。
3. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}}-S_{\mathrm{圆}}=(a+b)r-π r^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
梯形面积计算，圆的面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积求解问题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积差，只要熟练掌握常见图形的面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 某学校七年级有$m$人，八年级人数比七年级人数的$\frac{2}{3}$多10，九年级人数比八年级人数的2倍少50，则三个年级的总人数为
$3m-20$
。（用含$m$的式子表示）答案
2.$3m-20$
解析
【分析】
要计算三个年级的总人数，需先分别求出八年级、九年级的人数，再将三个年级人数相加化简即可。解题时首先根据题目给出的数量关系，以七年级人数m为基础写出八年级人数的代数式，再根据八年级人数写出九年级人数的代数式，最后合并三个代数式的同类项得到总人数的表达式。
【解析】
第一步：求八年级人数
已知七年级有m人，八年级人数比七年级人数的$\frac{2}{3}$多10，因此八年级人数为：$\frac{2}{3}m + 10$
第二步：求九年级人数
已知九年级人数比八年级人数的2倍少50，将八年级人数代入可得九年级人数为：
$2×(\frac{2}{3}m + 10) - 50 = \frac{4}{3}m + 20 - 50 = \frac{4}{3}m - 30$
第三步：求三个年级总人数
总人数 = 七年级人数 + 八年级人数 + 九年级人数，代入得：
$m + (\frac{2}{3}m + 10) + (\frac{4}{3}m - 30)$
合并同类项：
$m + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}m + 10 - 30 = 3m - 20$
【答案】
$3m-20$
【知识点】
列代数式，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确理解题意，理清各年级人数之间的数量关系，正确列出对应代数式并完成整式的加减运算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
要计算三个年级的总人数，需先分别求出八年级、九年级的人数，再将三个年级人数相加化简即可。解题时首先根据题目给出的数量关系，以七年级人数m为基础写出八年级人数的代数式，再根据八年级人数写出九年级人数的代数式，最后合并三个代数式的同类项得到总人数的表达式。
【解析】
第一步：求八年级人数
已知七年级有m人，八年级人数比七年级人数的$\frac{2}{3}$多10，因此八年级人数为：$\frac{2}{3}m + 10$
第二步：求九年级人数
已知九年级人数比八年级人数的2倍少50，将八年级人数代入可得九年级人数为：
$2×(\frac{2}{3}m + 10) - 50 = \frac{4}{3}m + 20 - 50 = \frac{4}{3}m - 30$
第三步：求三个年级总人数
总人数 = 七年级人数 + 八年级人数 + 九年级人数，代入得：
$m + (\frac{2}{3}m + 10) + (\frac{4}{3}m - 30)$
合并同类项：
$m + \frac{2}{3}m + \frac{4}{3}m + 10 - 30 = 3m - 20$
【答案】
$3m-20$
【知识点】
列代数式，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确理解题意，理清各年级人数之间的数量关系，正确列出对应代数式并完成整式的加减运算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
3.某商店有一种商品每件成本为a元，将成本价增加20%定为售价，售出80件后，由于库存积压降价，打八五折出售，又售出120件.
(1)该商品降价后每件的售价为多少元？
(2)售完200件这种商品共盈利多少元？
(1)该商品降价后每件的售价为多少元？
(2)售完200件这种商品共盈利多少元？
答案
3.(1)1.02a元 (2)18.4a元
解析
【分析】
对于第(1)问，先根据“成本增加20%定售价”算出初始售价，再用初始售价乘折扣即可得到降价后的售价；对于第(2)问，盈利等于总销售额减去总成本，先分别计算80件按原价销售的销售额、120件打折后销售的销售额，求和得到总销售额，再减去200件的总成本就能得到总盈利。
【解析】
(1) 首先计算成本增加20%后的初始售价：
初始售价 = $a × (1 + 20\%) = 1.2a$（元）
打八五折后的售价为初始售价乘85%：
降价后售价 = $1.2a × 85\% = 1.2a × 0.85 = 1.02a$（元）
(2) 先计算前80件的销售额：
$80 × 1.2a = 96a$（元）
再计算后120件的销售额：
$120 × 1.02a = 122.4a$（元）
总销售额 = $96a + 122.4a = 218.4a$（元）
200件商品的总成本 = $200 × a = 200a$（元）
总盈利 = 总销售额 - 总成本 = $218.4a - 200a = 18.4a$（元）
【答案】
(1) 1.02a元；(2) 18.4a元
【知识点】
列代数式，销售利润计算，百分数应用
【点评】
本题是销售类基础应用题，核心是理清售价、成本、利润、折扣之间的数量关系，计算时注意百分数与小数的转化，避免计算失误即可正确求解。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，先根据“成本增加20%定售价”算出初始售价，再用初始售价乘折扣即可得到降价后的售价；对于第(2)问，盈利等于总销售额减去总成本，先分别计算80件按原价销售的销售额、120件打折后销售的销售额，求和得到总销售额，再减去200件的总成本就能得到总盈利。
【解析】
(1) 首先计算成本增加20%后的初始售价：
初始售价 = $a × (1 + 20\%) = 1.2a$（元）
打八五折后的售价为初始售价乘85%：
降价后售价 = $1.2a × 85\% = 1.2a × 0.85 = 1.02a$（元）
(2) 先计算前80件的销售额：
$80 × 1.2a = 96a$（元）
再计算后120件的销售额：
$120 × 1.02a = 122.4a$（元）
总销售额 = $96a + 122.4a = 218.4a$（元）
200件商品的总成本 = $200 × a = 200a$（元）
总盈利 = 总销售额 - 总成本 = $218.4a - 200a = 18.4a$（元）
【答案】
(1) 1.02a元；(2) 18.4a元
【知识点】
列代数式，销售利润计算，百分数应用
【点评】
本题是销售类基础应用题，核心是理清售价、成本、利润、折扣之间的数量关系，计算时注意百分数与小数的转化，避免计算失误即可正确求解。
【难度系数】
0.8
