登录
1. 如图，添加一个条件后，能够判定$△ ABE ∽ △ ACD$，这个条件可以是
$∠ B=∠ C$或$∠ AEB=∠ ADC$或$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$(答案不唯一)
。（写出一个条件即可）答案
1. $∠ B=∠ C$或$∠ AEB=∠ ADC$或$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要判定△ABE∽△ACD，首先观察两个三角形的角的特征，可发现∠A是两个三角形的公共角，即已经有一组对应角∠A=∠A相等。结合相似三角形的判定定理，此时要么再补充一组对应角相等，要么补充夹公共角∠A的两组对应边成比例，即可证明两个三角形相似，按照这个思路就能写出符合要求的条件。
【解析】
在△ABE和△ACD中，∠A为公共角，即∠A=∠A：
1. 若添加条件∠B=∠C，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABE∽△ACD；
2. 若添加条件∠AEB=∠ADC，同样根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABE∽△ACD；
3. 若添加条件$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABE∽△ACD。
以上条件任选其一即可。
【答案】
∠B=∠C（或∠AEB=∠ADC或$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质
【点评】
本题属于开放型基础题，考查相似三角形的判定应用，解题的关键是先挖掘出公共角相等这一隐含条件，再结合判定定理添加合适的条件即可，解题时要注意判定定理的适用前提，避免错写条件。
【难度系数】
0.7
要判定△ABE∽△ACD，首先观察两个三角形的角的特征，可发现∠A是两个三角形的公共角，即已经有一组对应角∠A=∠A相等。结合相似三角形的判定定理，此时要么再补充一组对应角相等，要么补充夹公共角∠A的两组对应边成比例，即可证明两个三角形相似，按照这个思路就能写出符合要求的条件。
【解析】
在△ABE和△ACD中，∠A为公共角，即∠A=∠A：
1. 若添加条件∠B=∠C，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABE∽△ACD；
2. 若添加条件∠AEB=∠ADC，同样根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABE∽△ACD；
3. 若添加条件$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABE∽△ACD。
以上条件任选其一即可。
【答案】
∠B=∠C（或∠AEB=∠ADC或$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质
【点评】
本题属于开放型基础题，考查相似三角形的判定应用，解题的关键是先挖掘出公共角相等这一隐含条件，再结合判定定理添加合适的条件即可，解题时要注意判定定理的适用前提，避免错写条件。
【难度系数】
0.7
2. 下列选项中的两个三角形不相似的是（
A.一个三角形的两个角分别是$40°,80°$；另一个三角形的两个角分别是$60°,80°$
B.一个三角形的三边长分别是4 cm,6 cm,8 cm；另一个三角形的三边长分别是12 cm,18 cm,21 cm
C.一个三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，夹角是$40°$；另一个三角形的两边长分别是3 cm和7.5 cm，夹角是$40°$
D.各有一个角是$120°$的两个等腰三角形
B
）A.一个三角形的两个角分别是$40°,80°$；另一个三角形的两个角分别是$60°,80°$
B.一个三角形的三边长分别是4 cm,6 cm,8 cm；另一个三角形的三边长分别是12 cm,18 cm,21 cm
C.一个三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，夹角是$40°$；另一个三角形的两边长分别是3 cm和7.5 cm，夹角是$40°$
D.各有一个角是$120°$的两个等腰三角形
答案
2. B
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）逐个分析选项，找出不符合判定条件的选项即可。
【解析】
我们逐项验证：
1. 选项A：第一个三角形的第三个角为$180°-40°-80°=60°$，即三个内角为$40°、60°、80°$；第二个三角形的第三个角为$180°-60°-80°=40°$，即三个内角也为$40°、60°、80°$。两角对应相等的两个三角形相似，因此两三角形相似，A不符合要求。
2. 选项B：将两个三角形的边按从小到大排序，对应边的比值分别为：$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，$\frac{8}{21}≠\frac{1}{3}$，三边不满足对应成比例，因此两三角形不相似，B符合要求。
3. 选项C：两边的比值分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{7.5}=\frac{2}{3}$，且两边的夹角都是$40°$，满足两边对应成比例且夹角相等，因此两三角形相似，C不符合要求。
4. 选项D：等腰三角形的$120°$角只能是顶角（若为底角，两底角和超过$180°$，不符合三角形内角和），因此两个等腰三角形的底角均为$\frac{180°-120°}{2}=30°$，两角对应相等，两三角形相似，D不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题核心是对相似三角形判定定理的灵活应用，解题时需注意对应边的比例要一致，SAS判定中必须是两边的夹角相等，涉及等腰三角形的角的问题时，要先判断已知角是顶角还是底角，避免逻辑漏洞。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）逐个分析选项，找出不符合判定条件的选项即可。
【解析】
我们逐项验证：
1. 选项A：第一个三角形的第三个角为$180°-40°-80°=60°$，即三个内角为$40°、60°、80°$；第二个三角形的第三个角为$180°-60°-80°=40°$，即三个内角也为$40°、60°、80°$。两角对应相等的两个三角形相似，因此两三角形相似，A不符合要求。
2. 选项B：将两个三角形的边按从小到大排序，对应边的比值分别为：$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，$\frac{8}{21}≠\frac{1}{3}$，三边不满足对应成比例，因此两三角形不相似，B符合要求。
3. 选项C：两边的比值分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{7.5}=\frac{2}{3}$，且两边的夹角都是$40°$，满足两边对应成比例且夹角相等，因此两三角形相似，C不符合要求。
4. 选项D：等腰三角形的$120°$角只能是顶角（若为底角，两底角和超过$180°$，不符合三角形内角和），因此两个等腰三角形的底角均为$\frac{180°-120°}{2}=30°$，两角对应相等，两三角形相似，D不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题核心是对相似三角形判定定理的灵活应用，解题时需注意对应边的比例要一致，SAS判定中必须是两边的夹角相等，涉及等腰三角形的角的问题时，要先判断已知角是顶角还是底角，避免逻辑漏洞。
【难度系数】
0.7
3. 如图，P为$△ ABC$中线AD上的一点，且$BD^2=PD· AD$.求证:$△ ADC ∽ △ CDP$.
答案
3. 证明:$\because AD$是$△ ABC$的中线,$\therefore BD=CD. \because BD^2=PD · AD, \therefore CD^2=PD · AD, \therefore \frac{CD}{PD}=\frac{AD}{CD}. \because ∠ CDA=∠ PDC, \therefore △ ADC ∽ △ CDP.$
解析
【分析】
要证明△ADC∽△CDP，可优先考虑相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。首先从已知条件入手，AD是△ABC的中线，可推出BD=CD，再结合给出的等积式BD²=PD·AD，通过等线段代换得到CD、PD、AD的比例关系，最后观察两个三角形有公共夹角∠CDA=∠PDC，满足相似判定的条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD（三角形中线平分对边）。
∵ BD²=PD·AD，
∴ 将BD替换为CD，可得CD²=PD·AD，
根据比例的基本性质变形得：$\frac{CD}{PD}=\frac{AD}{CD}$。
又
∵ ∠CDA=∠PDC（两个角为公共角，大小相等），
∴ 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ADC ∽ △CDP。
【答案】
证明:$\because AD$是$△ ABC$的中线,$\therefore BD=CD. \because BD^2=PD · AD, \therefore CD^2=PD · AD, \therefore \frac{CD}{PD}=\frac{AD}{CD}. \because ∠ CDA=∠ PDC, \therefore △ ADC ∽ △ CDP.$
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.相似三角形的判定
3.比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是利用中线性质完成等线段代换，将已知等积式转化为对应边的比例式，结合公共角即可快速得到相似结论，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要证明△ADC∽△CDP，可优先考虑相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。首先从已知条件入手，AD是△ABC的中线，可推出BD=CD，再结合给出的等积式BD²=PD·AD，通过等线段代换得到CD、PD、AD的比例关系，最后观察两个三角形有公共夹角∠CDA=∠PDC，满足相似判定的条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD（三角形中线平分对边）。
∵ BD²=PD·AD，
∴ 将BD替换为CD，可得CD²=PD·AD，
根据比例的基本性质变形得：$\frac{CD}{PD}=\frac{AD}{CD}$。
又
∵ ∠CDA=∠PDC（两个角为公共角，大小相等），
∴ 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ADC ∽ △CDP。
【答案】
证明:$\because AD$是$△ ABC$的中线,$\therefore BD=CD. \because BD^2=PD · AD, \therefore CD^2=PD · AD, \therefore \frac{CD}{PD}=\frac{AD}{CD}. \because ∠ CDA=∠ PDC, \therefore △ ADC ∽ △ CDP.$
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.相似三角形的判定
3.比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是利用中线性质完成等线段代换，将已知等积式转化为对应边的比例式，结合公共角即可快速得到相似结论，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠B=90°.
(1)求证:△ACD∽△ABC.
(2)若AB=3,AD=4,求AC的长.
(1)求证:△ACD∽△ABC.
(2)若AB=3,AD=4,求AC的长.
答案
4. 解:(1)证明:$\because AC$平分$∠ BAD, \therefore ∠ CAD=∠ BAC. \because ∠ ACD=∠ B=90°, \therefore △ ACD ∽ △ ABC.$ (2)由(1)知,$△ ACD ∽ △ ABC, \therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$,即$\frac{4}{AC}=\frac{AC}{3}. \therefore AC^2=12. \therefore AC=2\sqrt{3}$(负值舍去).
解析
【分析】
(1)要证明△ACD∽△ABC，可利用两角分别相等的两个三角形相似这一判定定理。首先由AC平分∠BAD可得到一组相等的角，再结合题目给出的两个直角相等，就能满足相似的判定条件。(2)第一问已证得两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可列出关于AC的比例式，代入已知的AB、AD长度求解即可，注意线段长度为正数，需舍去负的计算结果。
【解析】
(1)证明：$\because AC$平分$∠BAD$，
$\therefore ∠CAD=∠BAC$，
又$\because ∠ACD=∠B=90°$，
$\therefore △ACD∽△ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：由(1)可知$△ACD∽△ABC$，
$\therefore $对应边成比例，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
把$AB=3$，$AD=4$代入比例式得：$\frac{4}{AC}=\frac{AC}{3}$，
交叉相乘得$AC^2=3×4=12$，
$\because AC$是线段长度，为正数，
$\therefore AC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$（负值舍去）。
【答案】
(1)$△ACD∽△ABC$得证；
(2)$AC$的长为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
角平分线的定义、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心是通过角平分线和已知直角找到两组相等的角证明三角形相似，再借助相似的比例性质求解未知线段，解题时注意要根据线段的实际意义对计算结果进行取舍。
【难度系数】
0.8
(1)要证明△ACD∽△ABC，可利用两角分别相等的两个三角形相似这一判定定理。首先由AC平分∠BAD可得到一组相等的角，再结合题目给出的两个直角相等，就能满足相似的判定条件。(2)第一问已证得两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可列出关于AC的比例式，代入已知的AB、AD长度求解即可，注意线段长度为正数，需舍去负的计算结果。
【解析】
(1)证明：$\because AC$平分$∠BAD$，
$\therefore ∠CAD=∠BAC$，
又$\because ∠ACD=∠B=90°$，
$\therefore △ACD∽△ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：由(1)可知$△ACD∽△ABC$，
$\therefore $对应边成比例，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
把$AB=3$，$AD=4$代入比例式得：$\frac{4}{AC}=\frac{AC}{3}$，
交叉相乘得$AC^2=3×4=12$，
$\because AC$是线段长度，为正数，
$\therefore AC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$（负值舍去）。
【答案】
(1)$△ACD∽△ABC$得证；
(2)$AC$的长为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
角平分线的定义、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心是通过角平分线和已知直角找到两组相等的角证明三角形相似，再借助相似的比例性质求解未知线段，解题时注意要根据线段的实际意义对计算结果进行取舍。
【难度系数】
0.8
5.(2024·上海节选)如图所示,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且AE⊥BD.求证$:AD^2=DE · DC. $
答案
5. 证明:$\because$ 四边形ABCD为矩形,$\therefore ∠ BAD=90°, ∠ ADE=90°, AB=DC. \therefore ∠ ABD+∠ ADB=90°. \because AE ⊥ BD, \therefore ∠ DAE+∠ ADB=90°. \therefore ∠ ABD=∠ DAE. 又 \because ∠ BAD=∠ ADE=90°, \therefore △ ADE ∽ △ BAD. \therefore \frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD}. \therefore AD^2=DE · BA. \because AB=DC, \therefore AD^2=DE · DC.$
解析
【分析】
要证明等积式$AD^2=DE · DC$，可先将等积式转化为比例式$\frac{AD}{DE}=\frac{DC}{AD}$，结合矩形对边相等$DC=AB$，可进一步转化为证明$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{AD}$，即需要证明$△ ADE$与$△ BAD$相似。首先利用矩形的性质得到两组直角，再结合$AE⊥BD$的条件，通过同角的余角相等得到一组对应角相等，即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例，结合矩形对边相等的性质即可推导出结论。
【解析】
证明：$\because$ 四边形ABCD为矩形，
$\therefore ∠ BAD=90°, ∠ ADE=90°, AB=DC$，
$\therefore ∠ ABD+∠ ADB=90°$，
$\because AE ⊥ BD$，
$\therefore ∠ DAE+∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ DAE$，
又$\because ∠ BAD=∠ ADE=90°$，
$\therefore △ ADE ∽ △ BAD$，
$\therefore \frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD}$，
$\therefore AD^2=DE · BA$，
$\because AB=DC$，
$\therefore AD^2=DE · DC$。
【答案】
$AD^2=DE · DC$，证明过程如上。
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、同角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是将等积式转化为比例式，通过寻找角的等量关系证明三角形相似，再结合矩形性质完成推导，掌握“等积式转比例式找相似”的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明等积式$AD^2=DE · DC$，可先将等积式转化为比例式$\frac{AD}{DE}=\frac{DC}{AD}$，结合矩形对边相等$DC=AB$，可进一步转化为证明$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{AD}$，即需要证明$△ ADE$与$△ BAD$相似。首先利用矩形的性质得到两组直角，再结合$AE⊥BD$的条件，通过同角的余角相等得到一组对应角相等，即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例，结合矩形对边相等的性质即可推导出结论。
【解析】
证明：$\because$ 四边形ABCD为矩形，
$\therefore ∠ BAD=90°, ∠ ADE=90°, AB=DC$，
$\therefore ∠ ABD+∠ ADB=90°$，
$\because AE ⊥ BD$，
$\therefore ∠ DAE+∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ DAE$，
又$\because ∠ BAD=∠ ADE=90°$，
$\therefore △ ADE ∽ △ BAD$，
$\therefore \frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD}$，
$\therefore AD^2=DE · BA$，
$\because AB=DC$，
$\therefore AD^2=DE · DC$。
【答案】
$AD^2=DE · DC$，证明过程如上。
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、同角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是将等积式转化为比例式，通过寻找角的等量关系证明三角形相似，再结合矩形性质完成推导，掌握“等积式转比例式找相似”的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
