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10.(教材习题变式)如图,在$△ ABC$中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,$DE// BC$,$EF// AB$,且$AD:DB=3:5$,那么$CF:CB=$ (
A.$5:8$
B.$3:8$
C.$3:5$
D.$2:5$
A
)A.$5:8$
B.$3:8$
C.$3:5$
D.$2:5$
答案
10.A
解析
【分析】
本题可根据平行线分线段成比例定理逐步推导线段比值：首先由DE//BC推出AE与EC的比等于已知的AD:DB，再由EF//AB推出CF与FB的比等于EC与EA的比，最后结合CB是CF与FB的和，计算总份数即可得到CF:CB的比值。
【解析】
∵ DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，得
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5}$，
∴ $\frac{EC}{AE}=\frac{5}{3}$。
又
∵ EF//AB，同理可得
$\frac{CF}{FB}=\frac{CE}{EA}=\frac{5}{3}$。
设CF=5k，FB=3k（k≠0），则CB=CF+FB=5k+3k=8k，
∴ $\frac{CF}{CB}=\frac{5k}{8k}=\frac{5}{8}$，即CF:CB=5:8。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的关键是根据两组平行线的条件找准对应成比例的线段，再结合线段的和差关系计算所求比值，是几何中比例线段计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
本题可根据平行线分线段成比例定理逐步推导线段比值：首先由DE//BC推出AE与EC的比等于已知的AD:DB，再由EF//AB推出CF与FB的比等于EC与EA的比，最后结合CB是CF与FB的和，计算总份数即可得到CF:CB的比值。
【解析】
∵ DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，得
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5}$，
∴ $\frac{EC}{AE}=\frac{5}{3}$。
又
∵ EF//AB，同理可得
$\frac{CF}{FB}=\frac{CE}{EA}=\frac{5}{3}$。
设CF=5k，FB=3k（k≠0），则CB=CF+FB=5k+3k=8k，
∴ $\frac{CF}{CB}=\frac{5k}{8k}=\frac{5}{8}$，即CF:CB=5:8。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的关键是根据两组平行线的条件找准对应成比例的线段，再结合线段的和差关系计算所求比值，是几何中比例线段计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
11. A教材经典图形·双A型 如图,在$△ ABC$中,$EF // CD,DE // BC$.
(1)求证:$AF: FD=AD: DB$.
(2)若$AB=15,AD: BD=2: 1$,求$DF$的长.
(1)求证:$AF: FD=AD: DB$.
(2)若$AB=15,AD: BD=2: 1$,求$DF$的长.
答案
11. 解:(1)证明:$\because EF// CD,\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}.\because DE// BC,\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}.\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$,即$AF: FD=AD: DB$.(2)$\because AD: BD=2: 1,\therefore$设$AD=2x,BD=x.\because AB=AD+BD,\therefore 15=2x+x$,解得$x=5.\therefore AD=10$.由(1)得,$\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}$,$\therefore$设$AF=2y,FD=y.\because AD=AF+DF,\therefore 10=2y+y$,解得$y=\frac{10}{3}.\therefore DF=\frac{10}{3}.$
解析
【分析】
（1）要证明$AF: FD=AD: DB$，可通过平行线分线段成比例定理寻找中间过渡比例式。已知$EF// CD$，可推出$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}$；再由$DE// BC$，可推出$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，通过等量代换即可完成证明。
（2）先根据$AD:BD=2:1$和$AB$的总长度，设未知数求出$AD$的长度；再利用（1）得到的比例关系，再次设未知数结合$AD=AF+DF$列方程，即可求出$DF$的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// CD$，根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}$，
$\because DE// BC$，同理可得 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$，即 $AF: FD=AD: DB$。
(2) 解：
$\because AD: BD=2: 1$，设 $AD=2x$，$BD=x$，
$\because AB=AD+BD=15$，
$\therefore 2x+x=15$，解得 $x=5$，
$\therefore AD=2×5=10$。
由(1)的结论可知 $\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}$，设 $AF=2y$，$FD=y$，
$\because AD=AF+DF=10$，
$\therefore 2y+y=10$，解得 $y=\frac{10}{3}$，
$\therefore DF=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $DF=\frac{10}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题核心是通过两组平行线得到公共中间比实现等量代换，第二问通过设未知数列方程求解线段长度，是几何比例线段计算的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$AF: FD=AD: DB$，可通过平行线分线段成比例定理寻找中间过渡比例式。已知$EF// CD$，可推出$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}$；再由$DE// BC$，可推出$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，通过等量代换即可完成证明。
（2）先根据$AD:BD=2:1$和$AB$的总长度，设未知数求出$AD$的长度；再利用（1）得到的比例关系，再次设未知数结合$AD=AF+DF$列方程，即可求出$DF$的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// CD$，根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}$，
$\because DE// BC$，同理可得 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$，即 $AF: FD=AD: DB$。
(2) 解：
$\because AD: BD=2: 1$，设 $AD=2x$，$BD=x$，
$\because AB=AD+BD=15$，
$\therefore 2x+x=15$，解得 $x=5$，
$\therefore AD=2×5=10$。
由(1)的结论可知 $\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}$，设 $AF=2y$，$FD=y$，
$\because AD=AF+DF=10$，
$\therefore 2y+y=10$，解得 $y=\frac{10}{3}$，
$\therefore DF=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $DF=\frac{10}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题核心是通过两组平行线得到公共中间比实现等量代换，第二问通过设未知数列方程求解线段长度，是几何比例线段计算的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
12. 🔥NEW 新考向·阅读理解 请阅读以下材料，并回答相应的问题：
角平分线分线段成比例定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.
如图1,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图2,过点C作$CE // DA$,交BA的延长线于点E……
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分.
(2)如图3,在$Rt△ ABC$中,$AB=3,BC=4,∠ ABC=90°$,AD平分$∠ BAC$,则$△ ABD$的周长是
角平分线分线段成比例定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.
如图1,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图2,过点C作$CE // DA$,交BA的延长线于点E……
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分.
(2)如图3,在$Rt△ ABC$中,$AB=3,BC=4,∠ ABC=90°$,AD平分$∠ BAC$,则$△ ABD$的周长是
$\frac{3\sqrt{5}+9}{2}$
.答案
12. 解:(1)证明:$\because CE// AD,\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE},∠ 2=∠ ACE,∠ 1=∠ E.\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ ACE=∠ E.\therefore AE=AC.\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$【一题多解】过点 D 分别作$DF⊥ AB$于点 F,$DG⊥ AC$于点 G. 利用面积比证明,过程略.(2)$\frac{3\sqrt{5}+9}{2}$
解析
【分析】
（1）要补全定理证明，首先结合所作平行线，利用平行线分线段成比例得到线段比例关系，再根据平行线的性质推导角的等量关系，结合角平分线的条件推出等腰三角形，得到等线段后代换比例即可完成证明；
（2）求△ABD的周长，需先算出BD、AD的长度：首先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边AC的长，再利用（1）中证得的角平分线分线段成比例定理求出BD的长度，最后在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长度，三者相加即可得到周长。
【解析】
（1）证明：$\because CE// AD$，
$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$，$∠ 2=∠ ACE$，$∠ 1=∠ E$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ ACE=∠ E$，
$\therefore AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
（2）解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{3}{5}$，
又$\because BD+CD=BC=4$，
$\therefore BD=4×\frac{3}{3+5}=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore △ ABD$的周长为$AB+BD+AD=3+\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}+9}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\frac{3\sqrt{5}+9}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质
【点评】
本题属于新定义阅读理解题型，既考查了基础几何定理的推导逻辑，也要求学生快速理解新定理并灵活应用解题，能有效锻炼阅读理解能力和知识迁移能力，是贴合新考向的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）要补全定理证明，首先结合所作平行线，利用平行线分线段成比例得到线段比例关系，再根据平行线的性质推导角的等量关系，结合角平分线的条件推出等腰三角形，得到等线段后代换比例即可完成证明；
（2）求△ABD的周长，需先算出BD、AD的长度：首先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边AC的长，再利用（1）中证得的角平分线分线段成比例定理求出BD的长度，最后在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长度，三者相加即可得到周长。
【解析】
（1）证明：$\because CE// AD$，
$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$，$∠ 2=∠ ACE$，$∠ 1=∠ E$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ ACE=∠ E$，
$\therefore AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
（2）解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{3}{5}$，
又$\because BD+CD=BC=4$，
$\therefore BD=4×\frac{3}{3+5}=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore △ ABD$的周长为$AB+BD+AD=3+\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}+9}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\frac{3\sqrt{5}+9}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质
【点评】
本题属于新定义阅读理解题型，既考查了基础几何定理的推导逻辑，也要求学生快速理解新定理并灵活应用解题，能有效锻炼阅读理解能力和知识迁移能力，是贴合新考向的典型题型。
【难度系数】
0.7
【例】如图,在$△ ABC$中,$AF:FB=2:3$,延长$BC$至点$D$,使得$BC=2CD$,则$\frac{AE}{EC}$的值为
方法一:构造“8”字型.
①作平行:过点$A$作$AG // BD$交$DF$的延长线于点$G$.
②找相似:$△ AFG ∼$
③确定线段比:$\frac{AG}{(\quad)}=\frac{AF}{(\quad)}=$
④求解线段比:$\frac{AE}{EC}=$
2
.方法一:构造“8”字型.
①作平行:过点$A$作$AG // BD$交$DF$的延长线于点$G$.
②找相似:$△ AFG ∼$
$△ BFD$
,$△ AEG ∼$$△ CED$
.③确定线段比:$\frac{AG}{(\quad)}=\frac{AF}{(\quad)}=$
$\frac{2}{3}$
,$\frac{AG}{(\quad)}=\frac{AE}{(\quad)}$,$BC=2CD$.④求解线段比:$\frac{AE}{EC}=$
2
.答案
2
解析
【分析】
本题是求线段比值的问题，可通过构造平行线得到“8”字型相似三角形，利用相似的性质转化线段比求解。首先按照提示过点A作AG//BD，可得两组相似三角形；先通过△AFG与△BFD的相似关系，结合AF:FB=2:3求出AG与BD的数量关系；再结合BC=2CD的条件推导AG与CD的关系；最后通过△AEG与△CED的相似关系，即可求出$\frac{AE}{EC}$的值。
【解析】
② 因为AG//BD，所以∠G=∠D，∠GAF=∠DBF，两角对应相等的两个三角形相似，故$△ AFG ∼ △ BFD$；同理∠G=∠D，∠GAE=∠DCE，故$△ AEG ∼ △ CED$。
③ 由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AG}{BD}=\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}$；$\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{EC}$。
已知$BC=2CD$，因此$BD=BC+CD=2CD+CD=3CD$，代入$\frac{AG}{BD}=\frac{2}{3}$得：$\frac{AG}{3CD}=\frac{2}{3}$，解得$AG=2CD$。
将$AG=2CD$代入$\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{EC}$，可得$\frac{AE}{EC}=\frac{2CD}{CD}=2$。
综上，②依次填$△ BFD$、$△ CED$；③依次填$BD$、$FB$、$\frac{2}{3}$、$CD$、$EC$；④填$2$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段比例计算
【点评】
构造平行线得到相似三角形是转化线段比例的常用方法，本题的核心是借助公共线段AG建立已知线段比和所求线段比之间的联系，掌握这种辅助线的做法能有效解决同类线段比问题。
【难度系数】
0.65
本题是求线段比值的问题，可通过构造平行线得到“8”字型相似三角形，利用相似的性质转化线段比求解。首先按照提示过点A作AG//BD，可得两组相似三角形；先通过△AFG与△BFD的相似关系，结合AF:FB=2:3求出AG与BD的数量关系；再结合BC=2CD的条件推导AG与CD的关系；最后通过△AEG与△CED的相似关系，即可求出$\frac{AE}{EC}$的值。
【解析】
② 因为AG//BD，所以∠G=∠D，∠GAF=∠DBF，两角对应相等的两个三角形相似，故$△ AFG ∼ △ BFD$；同理∠G=∠D，∠GAE=∠DCE，故$△ AEG ∼ △ CED$。
③ 由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AG}{BD}=\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}$；$\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{EC}$。
已知$BC=2CD$，因此$BD=BC+CD=2CD+CD=3CD$，代入$\frac{AG}{BD}=\frac{2}{3}$得：$\frac{AG}{3CD}=\frac{2}{3}$，解得$AG=2CD$。
将$AG=2CD$代入$\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{EC}$，可得$\frac{AE}{EC}=\frac{2CD}{CD}=2$。
综上，②依次填$△ BFD$、$△ CED$；③依次填$BD$、$FB$、$\frac{2}{3}$、$CD$、$EC$；④填$2$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段比例计算
【点评】
构造平行线得到相似三角形是转化线段比例的常用方法，本题的核心是借助公共线段AG建立已知线段比和所求线段比之间的联系，掌握这种辅助线的做法能有效解决同类线段比问题。
【难度系数】
0.65
1.如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，BD：CD＝2：5，连接AD，BE，交点为F，DF：AF＝1：4，那么$\frac{CE}{AE}$的值是
$\frac{7}{8}$
。答案
1.$\frac{7}{8}$
解析
【分析】
要求$\frac{CE}{AE}$的值，已知两组线段比$BD:CD$、$DF:AF$，直接无法建立关联，可通过作平行线构造相似三角形，引入中间量转化比例关系。我们过点D作$DG// AC$交BE于G：第一步，先利用$△ DGF$与$△ AEF$相似，结合$DF:AF=1:4$，得到AE与DG的比例关系；第二步，利用$△ BDG$与$△ BCE$相似，结合$BD:CD=2:5$得到BD与BC的比，进而得到CE与DG的比例关系；最后消去中间量DG，即可求出$\frac{CE}{AE}$的值。
【解析】
解：过点D作$DG// AC$，交BE于点G。
1. 证明$△ DGF ∽ △ AEF$：
$\because DG// AC$，$\therefore ∠ GDF=∠ EAF$，$∠ DGF=∠ AEF$，
$\therefore △ DGF ∽ △ AEF$，
$\therefore \frac{DG}{AE}=\frac{DF}{AF}=\frac{1}{4}$，即$AE=4DG$ ①。
2. 证明$△ BDG ∽ △ BCE$：
$\because DG// AC$，$\therefore △ BDG ∽ △ BCE$，
已知$BD:CD=2:5$，则$BD:BC=2:(2+5)=2:7$，
$\therefore \frac{DG}{CE}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{7}$，即$CE=\frac{7}{2}DG$ ②。
3. 计算$\frac{CE}{AE}$：
将①②代入得：$\frac{CE}{AE}=\frac{\frac{7}{2}DG}{4DG}=\frac{7}{8}$。
【答案】
$\frac{7}{8}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的利用作辅助线转化线段比的题型，核心思路是通过构造平行线得到相似三角形，用中间量关联已知比例和待求比例，解题的关键是合理选择辅助线的位置，简化比例转化过程。
【难度系数】
0.6
要求$\frac{CE}{AE}$的值，已知两组线段比$BD:CD$、$DF:AF$，直接无法建立关联，可通过作平行线构造相似三角形，引入中间量转化比例关系。我们过点D作$DG// AC$交BE于G：第一步，先利用$△ DGF$与$△ AEF$相似，结合$DF:AF=1:4$，得到AE与DG的比例关系；第二步，利用$△ BDG$与$△ BCE$相似，结合$BD:CD=2:5$得到BD与BC的比，进而得到CE与DG的比例关系；最后消去中间量DG，即可求出$\frac{CE}{AE}$的值。
【解析】
解：过点D作$DG// AC$，交BE于点G。
1. 证明$△ DGF ∽ △ AEF$：
$\because DG// AC$，$\therefore ∠ GDF=∠ EAF$，$∠ DGF=∠ AEF$，
$\therefore △ DGF ∽ △ AEF$，
$\therefore \frac{DG}{AE}=\frac{DF}{AF}=\frac{1}{4}$，即$AE=4DG$ ①。
2. 证明$△ BDG ∽ △ BCE$：
$\because DG// AC$，$\therefore △ BDG ∽ △ BCE$，
已知$BD:CD=2:5$，则$BD:BC=2:(2+5)=2:7$，
$\therefore \frac{DG}{CE}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{7}$，即$CE=\frac{7}{2}DG$ ②。
3. 计算$\frac{CE}{AE}$：
将①②代入得：$\frac{CE}{AE}=\frac{\frac{7}{2}DG}{4DG}=\frac{7}{8}$。
【答案】
$\frac{7}{8}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的利用作辅助线转化线段比的题型，核心思路是通过构造平行线得到相似三角形，用中间量关联已知比例和待求比例，解题的关键是合理选择辅助线的位置，简化比例转化过程。
【难度系数】
0.6
2.如图，在$△ ABC$中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长，交BC于点E.若$BF:FD=3:1$，$BC=10$，则BE的长为
6
.答案
2.6
解析
【分析】
本题是三角形中线段长度求解问题，已知线段比与中点条件，核心解题思路是作平行线构造相似三角形，将已知比例转化为与所求BE相关的比例关系。首先过点D作BC的平行线交AE于点G，先利用△DFG与△BFE相似，结合BF:FD=3:1得到BE与DG的比例，再利用D是AC中点，通过△ADG与△ACE相似得到EC与DG的关系，最后结合BC=BE+EC=10即可求出BE的长度。
【解析】
解：过点D作$DG// BC$，交AE于点G。
1. 因为$DG// BC$，所以$∠ GDF=∠ EBF$，$∠ DGF=∠ BEF$，
可得$△ DFG ∽ △ BFE$，
则$\frac{BE}{DG}=\frac{BF}{FD}=\frac{3}{1}$，即$BE=3DG$，变形得$DG=\frac{1}{3}BE$。
2. 因为D是AC的中点，$DG// BC$，可得$△ ADG ∽ △ ACE$，相似比为$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
则$\frac{DG}{EC}=\frac{1}{2}$，即$EC=2DG$。
3. 将$DG=\frac{1}{3}BE$代入$EC=2DG$，得$EC=\frac{2}{3}BE$。
已知$BC=BE+EC=10$，所以$BE+\frac{2}{3}BE=10$，
化简得$\frac{5}{3}BE=10$，解得$BE=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的性质，平行线分线段成比例，线段比例计算
【点评】
本题是三角形比例线段的典型题型，通过作平行线构造相似三角形的辅助线方法，是解决这类问题的常用技巧，需要熟练掌握比例转化的逻辑，将分散的条件集中到与所求线段相关的关系式中求解。
【难度系数】
0.6
本题是三角形中线段长度求解问题，已知线段比与中点条件，核心解题思路是作平行线构造相似三角形，将已知比例转化为与所求BE相关的比例关系。首先过点D作BC的平行线交AE于点G，先利用△DFG与△BFE相似，结合BF:FD=3:1得到BE与DG的比例，再利用D是AC中点，通过△ADG与△ACE相似得到EC与DG的关系，最后结合BC=BE+EC=10即可求出BE的长度。
【解析】
解：过点D作$DG// BC$，交AE于点G。
1. 因为$DG// BC$，所以$∠ GDF=∠ EBF$，$∠ DGF=∠ BEF$，
可得$△ DFG ∽ △ BFE$，
则$\frac{BE}{DG}=\frac{BF}{FD}=\frac{3}{1}$，即$BE=3DG$，变形得$DG=\frac{1}{3}BE$。
2. 因为D是AC的中点，$DG// BC$，可得$△ ADG ∽ △ ACE$，相似比为$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
则$\frac{DG}{EC}=\frac{1}{2}$，即$EC=2DG$。
3. 将$DG=\frac{1}{3}BE$代入$EC=2DG$，得$EC=\frac{2}{3}BE$。
已知$BC=BE+EC=10$，所以$BE+\frac{2}{3}BE=10$，
化简得$\frac{5}{3}BE=10$，解得$BE=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的性质，平行线分线段成比例，线段比例计算
【点评】
本题是三角形比例线段的典型题型，通过作平行线构造相似三角形的辅助线方法，是解决这类问题的常用技巧，需要熟练掌握比例转化的逻辑，将分散的条件集中到与所求线段相关的关系式中求解。
【难度系数】
0.6
