1. 如图，已知$l_1 // l_2 // l_3$，下列比例式中错误的是（）

A.$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$
B.$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BF}$
C.$\frac{CE}{AE}=\frac{DF}{BF}$
D.$\frac{AE}{CE}=\frac{BD}{BF}$

1.D

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先明确定理内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。先确定两条被截直线上的对应线段：第一条被截线上的线段AC、CE、AE，分别对应第二条被截线上的BD、DF、BF，再逐一验证四个选项的比例式对应关系是否正确，即可找出错误选项。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，$l_1// l_2// l_3$，截两条直线所得对应线段成比例：
选项A：AC与BD是$l_1$、$l_2$截得的对应线段，CE与DF是$l_2$、$l_3$截得的对应线段，因此$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，该选项正确，不符合题意；
选项B：AC与BD对应，AE与BF是$l_1$、$l_3$截得的总对应线段，因此$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BF}$，该选项正确，不符合题意；
选项C：CE与DF对应，AE与BF对应，因此$\frac{CE}{AE}=\frac{DF}{BF}$，该选项正确，不符合题意；
选项D：AE的对应线段是BF，CE的对应线段是DF，正确比例应为$\frac{AE}{CE}=\frac{BF}{DF}$，选项中比例的线段对应关系完全错误，该选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础考查题，解题的核心是准确找准不同被截线上的对应线段，避免对应关系混淆即可快速作答。
【难度系数】
0.8

2. 生活情境·人字梯 如图，这是一架人字梯及其侧面示意图，已知$AB// CD// EF$，$AC=50\ \mathrm{cm}$，$CE=30\ \mathrm{cm}$，$BD=45\ \mathrm{cm}$，则$DF$的长为 （）

A.27 cm
B.50 cm
C.72 cm
D.80 cm

2.A

【分析】
观察题目条件可知存在三组平行线$AB // CD // EF$，这组平行线同时截两条侧棱$AE$、$BF$，符合平行线分线段成比例定理的适用场景。我们可以根据该定理得到对应线段的比例关系，再代入已知线段的长度，解比例式即可求出$DF$的长度。
【解析】
解：$\because AB // CD // EF$
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$
将$AC=50\ \mathrm{cm}$，$CE=30\ \mathrm{cm}$，$BD=45\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{50}{30}=\frac{45}{DF}$
交叉相乘得：$50DF=30×45$
计算得：$50DF=1350$
解得：$DF=27\ \mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例；解比例方程
【点评】
本题结合生活中常见的人字梯情境考查几何定理的实际应用，解题关键是找准被平行线截得的对应线段，列出正确的比例式，属于基础题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$AB// CD// EF$，$AD=9$，$BC=DF=6$，则$CE$的长为（）

A.2
B.3
C.4
D.6

3.C

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先观察图形可知有三条平行直线截两条直线，符合平行线分线段成比例定理的适用条件；其次找到两条被截直线上的对应线段，明确线段的对应关系：AD与BC是一组对应线段，DF与CE是另一组对应线段；最后根据对应线段成比例列出比例式，代入已知数值计算即可求出CE的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$
已知$AD=9$，$BC=DF=6$，将数值代入比例式得：
$\frac{9}{6}=\frac{6}{CE}$
交叉相乘得：$9CE=6×6$
即$9CE=36$
解得：$CE=4$
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题型，核心是对平行线分线段成比例定理的理解和运用，解题的关键是准确识别对应线段，避免因对应关系找错导致计算错误，熟练掌握定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.如图，直线$a// b// c$，它们依次交直线$m,n$于点$A,B,C$和点$D,E,F$.
(1)如果$AB=6$，$BC=9$，$DE=7$，求$EF$的长.
(2)如果$AB:BC=2:3$，$DF=10$，求$DE$的长.

4. 解:(1)$\because a// b// c,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}.\therefore \frac{6}{9}=\frac{7}{EF}.\therefore EF=\frac{21}{2}$.(2)$\because AB:BC=2:3,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}.\because a// b// c,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}.\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}.\therefore \frac{2}{5}=\frac{DE}{10}.\therefore DE=4.$

【分析】
本题可依据平行线分线段成比例定理求解：首先观察到三条平行直线a、b、c截两条直线m、n，符合平行线分线段成比例的适用条件。(1)问中已知AB、BC、DE的长度，直接找到对应成比例的线段AB、BC与DE、EF，列比例式代入数值即可求出EF；(2)问中已知AB与BC的比值和DF的总长，先将AB与BC的比转化为AB与总线段AC的比，对应得到DE与总线段DF的比，代入DF的数值即可求出DE。
【解析】
(1) $\because a// b// c$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
将$AB=6$，$BC=9$，$DE=7$代入比例式，得$\frac{6}{9}=\frac{7}{EF}$，
交叉相乘计算得：$6EF=7×9=63$，解得$EF=\frac{63}{6}=\frac{21}{2}$。
(2) $\because AB:BC=2:3$，$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
则$\frac{AB}{AB+BC}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{5}$。
$\because a// b// c$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，
将$DF=10$代入，得$\frac{2}{5}=\frac{DE}{10}$，解得$DE=\frac{2×10}{5}=4$。
【答案】
(1) $EF=\frac{21}{2}$；(2) $DE=4$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理 2. 比例运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题核心是准确识别对应成比例的线段，正确列出比例式计算即可，掌握定理内容是顺利解题的关键。
【难度系数】
0.8

5.如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AB,AC$上,且$DE// BC$,则下列比例式不成立的是（）

A.$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$
B.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
C.$\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
D.$\dfrac{AB}{DB}=\dfrac{AC}{EC}$

5.C

【分析】
看到题目中DE平行于BC的条件，首先想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。解题时先明确各条线段的对应关系，再逐个验证四个选项的比例式是否符合推论，即可找出不成立的选项。
【解析】
∵ DE//BC，根据平行线分线段成比例的推论（平行于三角形一边的直线截三角形的两边，所得对应线段成比例），可得：
1. 上部分线段比下部分线段：$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$，故A选项比例式成立，不符合题意；
2. 上部分线段比全长：$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$，故B选项比例式成立，不符合题意；
3. 下部分线段比全长：$\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{EC}{AC}≠\dfrac{AE}{AC}$，故C选项比例式不成立，符合题意；
4. 全长比下部分线段：将$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$两边同时加1，可得$\dfrac{AD+DB}{DB}=\dfrac{AE+EC}{EC}$，即$\dfrac{AB}{DB}=\dfrac{AC}{EC}$，故D选项比例式成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例推论
【点评】
本题是基础类题型，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确识别对应线段，避免因线段对应关系混淆出错，熟练掌握定理的各类比例变形即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在$△ ABC$中,$DE // BC$.若$AD=2$,$BD=1$,则$\frac{AE}{AC}=$ ()

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

6.D

【分析】
解题思路：首先观察到$DE // BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截三角形的另外两边，所得的对应线段成比例，因此$\frac{AE}{AC}$与$\frac{AD}{AB}$相等。第一步先计算$AB$的总长度，第二步代入比例式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$AD=2$，$BD=1$，
$\therefore AB = AD + BD = 2 + 1 = 3$，
$\because DE // BC$，
根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，比例线段计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对平行线分线段成比例推论的应用，解题时需准确识别对应成比例的线段，结合线段和差运算即可快速求解，是几何中比例线段计算的常见考法。
【难度系数】
0.8

7.如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,BC$上,$DE// AC$.若$DB=4$,$AB=6$,$BE=3$,则$EC$的长为.

7.$\frac{3}{2}$

【分析】
已知$DE// AC$，根据平行线的性质，可判定$△ BDE$与$△ BAC$相似，也可直接利用平行线分线段成比例的推论得到对应线段的比例关系。我们可以先通过已知的线段长度代入比例式求出$BC$的长度，再用$BC$减去$BE$即可得到$EC$的长，解题时需注意对应线段不要混淆。
【解析】
解：$\because DE// AC$
$\therefore △ BDE ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{DB}{AB}=\frac{BE}{BC}$
将$DB=4$，$AB=6$，$BE=3$代入上式得：
$\frac{4}{6}=\frac{3}{BC}$
交叉相乘得：$4BC=18$
解得$BC=\frac{9}{2}$
$\therefore EC=BC-BE=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查平行线相关的比例性质应用，解题关键是准确匹配成比例的对应线段，计算难度较低，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8

8.如图,已知$EG// BC,GF// CD,AE=5,EB=3,AF=10$,求$AD$的长.

8. 解:$\because EG// BC,\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}.\because GF// CD,\therefore \frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}.\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$,即$\frac{5}{3}=\frac{10}{FD}.\therefore FD=6.\therefore AD=AF+FD=16.$

【分析】
解题时先观察题中的平行线条件，结合平行线分线段成比例的推论思考：第一步，由$EG// BC$，可得$△ ABC$中对应线段成比例，即$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$；第二步，由$GF// CD$，可得$△ ACD$中对应线段成比例，即$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$；第三步，以$\frac{AG}{GC}$为中间比等量代换，得到已知线段$AE、EB、AF$和未知线段$FD$的比例关系，代入数值求出$FD$，最后通过$AD=AF+FD$计算$AD$的长度即可。
【解析】
解：$\because EG// BC$，
$\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$，
$\because GF// CD$，
$\therefore \frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$，
$\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$，
将$AE=5,EB=3,AF=10$代入比例式，得$\frac{5}{3}=\frac{10}{FD}$，
解得$FD=6$，
$\therefore AD=AF+FD=10+6=16$。
【答案】
$\boxed{16}$
【知识点】
平行线分线段成比例；比例计算；线段和差运算
【点评】
本题属于平行线分线段成比例的基础应用题，解题的核心是找到两组平行线对应的公共中间比，通过等量代换建立已知和未知线段的联系，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8

9. 生活情境·五线谱 如图，五线谱的基本结构是由五条等距离的平行线组成的.已知直线$ l $被这五条平行线所截，若线段$ AC=9 $，则线段$ AB $的长为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

9.A

【分析】
解题时首先回忆平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。本题中五线谱的五条平行线是等距离的，因此截直线l得到的相邻线段长度相等，首先观察点A、B、C所在的位置，确定AB、AC对应的间隔份数比，再结合AC的长度即可求出AB的长。
【解析】
∵五线谱的五条平行线为等距离平行线，
∴直线l被这组平行线截得的相邻线段长度相等，
由图可知，线段AB对应1个相邻平行线间距的截线段，线段BC对应2个相邻平行线间距的截线段，
∴$AB:BC=1:2$，
∴$AB:AC=AB:(AB+BC)=1:(1+2)=1:3$，
已知$AC=9$，代入得$AB=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×9=3$。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例；比例线段计算
【点评】
本题结合生活中的五线谱情境考查基础几何定理的应用，解题的关键是根据平行线等距的特点确定线段的比例关系，将生活场景转化为几何模型求解，贴合实际，注重对基础知识点的理解和应用。
【难度系数】
0.8