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6.如图，点E在$□ ABCD$的边BC的延长线上，连接AE，交边CD于点F。在不添加辅助线的情况下，图中的相似三角形有（
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
）A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，先找出直接由平行线得到的两对相似三角形，再结合相似的传递性得到第三对相似三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，∠D=∠B。
① 由AD//BE（E在BC延长线上），可得∠DAF=∠E，∠D=∠ECF，
∴△ADF∽△ECF（两角分别相等的两个三角形相似）；
② 由AB//CD，可得∠EAB=∠EFC，∠B=∠ECF，又∠E为公共角，
∴△ECF∽△EBA（两角分别相等的两个三角形相似）；
③ 根据相似的传递性，由△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，可得△ADF∽△EBA。
综上，图中共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题时要注意不要遗漏由相似传递性得到的第三对相似三角形，梳理所有组合时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，先找出直接由平行线得到的两对相似三角形，再结合相似的传递性得到第三对相似三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，∠D=∠B。
① 由AD//BE（E在BC延长线上），可得∠DAF=∠E，∠D=∠ECF，
∴△ADF∽△ECF（两角分别相等的两个三角形相似）；
② 由AB//CD，可得∠EAB=∠EFC，∠B=∠ECF，又∠E为公共角，
∴△ECF∽△EBA（两角分别相等的两个三角形相似）；
③ 根据相似的传递性，由△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，可得△ADF∽△EBA。
综上，图中共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题时要注意不要遗漏由相似传递性得到的第三对相似三角形，梳理所有组合时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
7.如图,四边形ABCD,四边形CDEF和四边形EFGH都是正方形,则△ACF∽
△GCA
,∠1+∠2=45
°.答案
7. $△ GCA$ 45
解析
【分析】
解题可按以下思路展开：1. 先设每个小正方形的边长为1，便于计算各线段长度；2. 计算△ACF的边长，再寻找图形中和△ACF边成比例、夹角相等的三角形，用相似判定定理证明相似；3. 借助相似三角形对应角相等的性质转化∠1，再结合三角形外角性质求两个角的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 证明△ACF∽△GCA
由正方形的性质可得，AC是正方形ABCD的对角线，因此$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
且$CF=1$，$CG=1+1=2$，因此$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{CG}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{CF}{AC}=\frac{AC}{CG}$；
又∠ACF是△ACF和△GCA的公共角，即$∠ ACF=∠ GCA$；
根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ ACF ∽ △ GCA$。
2. 求$∠ 1+∠ 2$的度数
由$△ ACF ∽ △ GCA$，得对应角$∠ 1=∠ CAF$；
根据三角形外角的性质，$∠ ACB$是$△ ACF$的外角，因此$∠ ACB=∠ CAF+∠ 2$；
又$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=45°$，因此$∠ 1+∠ 2=∠ CAF+∠ 2=∠ ACB=45°$。
【答案】
$△ GCA$；$45$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题通过设参数计算边长构造比例线段，结合相似判定定理证明三角形相似，再利用相似性质和外角性质求解角度，解题关键是准确找到线段的比例关系，完成角度的转化。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路展开：1. 先设每个小正方形的边长为1，便于计算各线段长度；2. 计算△ACF的边长，再寻找图形中和△ACF边成比例、夹角相等的三角形，用相似判定定理证明相似；3. 借助相似三角形对应角相等的性质转化∠1，再结合三角形外角性质求两个角的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 证明△ACF∽△GCA
由正方形的性质可得，AC是正方形ABCD的对角线，因此$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
且$CF=1$，$CG=1+1=2$，因此$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{CG}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{CF}{AC}=\frac{AC}{CG}$；
又∠ACF是△ACF和△GCA的公共角，即$∠ ACF=∠ GCA$；
根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ ACF ∽ △ GCA$。
2. 求$∠ 1+∠ 2$的度数
由$△ ACF ∽ △ GCA$，得对应角$∠ 1=∠ CAF$；
根据三角形外角的性质，$∠ ACB$是$△ ACF$的外角，因此$∠ ACB=∠ CAF+∠ 2$；
又$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=45°$，因此$∠ 1+∠ 2=∠ CAF+∠ 2=∠ ACB=45°$。
【答案】
$△ GCA$；$45$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题通过设参数计算边长构造比例线段，结合相似判定定理证明三角形相似，再利用相似性质和外角性质求解角度，解题关键是准确找到线段的比例关系，完成角度的转化。
【难度系数】
0.6
8. 如图, 在$△ ABC$中,$∠ C=90°, BC=8\ \mathrm{cm}$, $AC:AB=3:5$. 动点$P,Q$分别从点$B,C$同时出发,点$P$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BC$向点$C$移动,点$Q$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$CA$向点$A$移动.经过
$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$
$\mathrm{s}$,以$C,P,Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似.答案
8. $\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$
解析
【分析】
首先利用直角三角形的边长比例关系和勾股定理求出AC的长度；其次设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，用含$t$的代数式分别表示出$CP$、$CQ$的长度；最后因为两个直角三角形有公共直角$∠ C$，相似存在两种对应边的情况，分情况列比例式求解，再验证解是否符合动点运动范围即可得到答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC:AB=3:5$，设$AC=3x\ \mathrm{cm}$，$AB=5x\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x\ \mathrm{cm}$。
已知$BC=8\ \mathrm{cm}$，则$4x=8$，解得$x=2$，因此$AC=6\ \mathrm{cm}$。
设经过$t\ \mathrm{s}$时，以$C,P,Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，此时$BP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=t\ \mathrm{cm}$，$CP=BC-BP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ C=∠ C=90°$，分两种情况讨论：
1. 当$△ CPQ ∽ △ CBA$时，对应边成比例：$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$
代入得$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$，交叉相乘得$6(8-2t)=8t$，解得$t=\frac{12}{5}$。
2. 当$△ CPQ ∽ △ CAB$时，对应边成比例：$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$
代入得$\frac{8-2t}{6}=\frac{t}{8}$，交叉相乘得$8(8-2t)=6t$，解得$t=\frac{32}{11}$。
验证两个解均满足$0＜t＜4$（$P$到$C$的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$），符合题意。
【答案】
$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定，动点问题
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定，解题时需注意直角三角形共直角时相似有两种对应情况，不要漏解，同时要验证所求时间是否符合动点的运动范围。
【难度系数】
0.65
首先利用直角三角形的边长比例关系和勾股定理求出AC的长度；其次设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，用含$t$的代数式分别表示出$CP$、$CQ$的长度；最后因为两个直角三角形有公共直角$∠ C$，相似存在两种对应边的情况，分情况列比例式求解，再验证解是否符合动点运动范围即可得到答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC:AB=3:5$，设$AC=3x\ \mathrm{cm}$，$AB=5x\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x\ \mathrm{cm}$。
已知$BC=8\ \mathrm{cm}$，则$4x=8$，解得$x=2$，因此$AC=6\ \mathrm{cm}$。
设经过$t\ \mathrm{s}$时，以$C,P,Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，此时$BP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=t\ \mathrm{cm}$，$CP=BC-BP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ C=∠ C=90°$，分两种情况讨论：
1. 当$△ CPQ ∽ △ CBA$时，对应边成比例：$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$
代入得$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$，交叉相乘得$6(8-2t)=8t$，解得$t=\frac{12}{5}$。
2. 当$△ CPQ ∽ △ CAB$时，对应边成比例：$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$
代入得$\frac{8-2t}{6}=\frac{t}{8}$，交叉相乘得$8(8-2t)=6t$，解得$t=\frac{32}{11}$。
验证两个解均满足$0＜t＜4$（$P$到$C$的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$），符合题意。
【答案】
$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定，动点问题
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定，解题时需注意直角三角形共直角时相似有两种对应情况，不要漏解，同时要验证所求时间是否符合动点的运动范围。
【难度系数】
0.65
9.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°$,以点A为圆心,适当长为半径画圆弧,与边BC交于点E,F,$BE＜BF$,连接AE,AF,$∠ EAF=60°$.
(1)求证:$△ ABE ∽ △ CAF$.
(2)若$BE=2$,$EF=3$,求线段CF的长.
(1)求证:$△ ABE ∽ △ CAF$.
(2)若$BE=2$,$EF=3$,求线段CF的长.
答案
9. 解:(1)由作图方法可得,$AE=AF. 又 \because ∠ EAF=60°, \therefore △ AEF$为等边三角形. $\therefore ∠ AEF=∠ AFE=60°. \therefore ∠ AEB=∠ AFC=120°. \because ∠ BAC=120°, \therefore ∠ B+∠ C=60°. \because ∠ AEF=∠ BAE+∠ B=60°, \therefore ∠ BAE=∠ C. \therefore △ ABE ∽ △ CAF.$ (2)$\because △ AEF$为等边三角形,$\therefore AE=AF=EF=3. \because △ ABE ∽ △ CAF, \therefore AE:CF=BE:AF$,即$3:CF=2:3. \therefore CF=\frac{9}{2}.$
解析
【分析】
(1)要证明$△ ABE ∽ △ CAF$，需找两组对应角相等：首先根据作图可知$AE=AF$，结合$∠ EAF=60°$可判定$△ AEF$是等边三角形，得到$∠ AEF=∠ AFE=60°$，进而推出$∠ AEB=∠ AFC=120°$；再结合$∠ BAC=120°$，由三角形内角和得$∠ B+∠ C=60°$，根据三角形外角性质得$∠ B+∠ BAE=∠ AEF=60°$，等量代换得$∠ BAE=∠ C$，即可证明两三角形相似。
(2)先由等边三角形性质得$AE=AF=EF=3$，再结合(1)的相似结论，利用相似三角形对应边成比例列等式，代入已知数值即可求解$CF$的长度。
【解析】
(1)证明：由作图方法可得，$AE=AF$。
又$\because ∠ EAF=60°$，$\therefore △ AEF$为等边三角形。
$\therefore ∠ AEF=∠ AFE=60°$，$\therefore ∠ AEB=∠ AFC=180°-60°=120°$。
$\because ∠ BAC=120°$，$\therefore ∠ B+∠ C=180°-120°=60°$。
$\because ∠ AEF$是$△ ABE$的外角，$\therefore ∠ AEF=∠ BAE+∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BAE=∠ C$，
$\therefore △ ABE ∽ △ CAF$。
(2)解：$\because △ AEF$为等边三角形，$\therefore AE=AF=EF=3$。
$\because △ ABE ∽ △ CAF$，$\therefore \frac{AE}{CF}=\frac{BE}{AF}$，
将$BE=2$，$AE=AF=3$代入得：$\frac{3}{CF}=\frac{2}{3}$，
解得$CF=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\boldsymbol{CF=\frac{9}{2}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题核心是先通过等边三角形的性质得到相等的角，再通过角的等量代换证明三角形相似，最后利用相似的性质求解线段长度，逻辑清晰，侧重对基础几何定理的考查。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$△ ABE ∽ △ CAF$，需找两组对应角相等：首先根据作图可知$AE=AF$，结合$∠ EAF=60°$可判定$△ AEF$是等边三角形，得到$∠ AEF=∠ AFE=60°$，进而推出$∠ AEB=∠ AFC=120°$；再结合$∠ BAC=120°$，由三角形内角和得$∠ B+∠ C=60°$，根据三角形外角性质得$∠ B+∠ BAE=∠ AEF=60°$，等量代换得$∠ BAE=∠ C$，即可证明两三角形相似。
(2)先由等边三角形性质得$AE=AF=EF=3$，再结合(1)的相似结论，利用相似三角形对应边成比例列等式，代入已知数值即可求解$CF$的长度。
【解析】
(1)证明：由作图方法可得，$AE=AF$。
又$\because ∠ EAF=60°$，$\therefore △ AEF$为等边三角形。
$\therefore ∠ AEF=∠ AFE=60°$，$\therefore ∠ AEB=∠ AFC=180°-60°=120°$。
$\because ∠ BAC=120°$，$\therefore ∠ B+∠ C=180°-120°=60°$。
$\because ∠ AEF$是$△ ABE$的外角，$\therefore ∠ AEF=∠ BAE+∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BAE=∠ C$，
$\therefore △ ABE ∽ △ CAF$。
(2)解：$\because △ AEF$为等边三角形，$\therefore AE=AF=EF=3$。
$\because △ ABE ∽ △ CAF$，$\therefore \frac{AE}{CF}=\frac{BE}{AF}$，
将$BE=2$，$AE=AF=3$代入得：$\frac{3}{CF}=\frac{2}{3}$，
解得$CF=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\boldsymbol{CF=\frac{9}{2}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题核心是先通过等边三角形的性质得到相等的角，再通过角的等量代换证明三角形相似，最后利用相似的性质求解线段长度，逻辑清晰，侧重对基础几何定理的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$BD⊥ AC$，E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且$AF=CF$，过点F作$FH⊥ AC$于点H。
(1) 求证：$△ ADE ∽ △ CDB$。
(2) 求证：$AE=2EF$。
(3) 若$FH=\sqrt{3}$，求BC的长。
(1) 求证：$△ ADE ∽ △ CDB$。
(2) 求证：$AE=2EF$。
(3) 若$FH=\sqrt{3}$，求BC的长。
答案
10. 解:(1)证明:$\because BD ⊥ AC, FH ⊥ AC, \therefore ∠ ADE=∠ CDB=90°. \because AF=CF, \therefore ∠ DAE=∠ DCB. \therefore △ ADE ∽ △ CDB.$ (2)证明:$\because E$为BD的中点,$\therefore DE=BE=\frac{1}{2}BD. \because △ ADE ∽ △ CDB, \therefore \frac{AD}{CD}=\frac{DE}{DB}=\frac{1}{2}.$ 设$AD=a(a＞0)$,则$CD=2a, AC=AD+CD=3a. \because FH ⊥ AC, AF=CF, \therefore AH=CH=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}a. \therefore DH=AH-AD=\frac{1}{2}a. 又 \because BD ⊥ AC, FH ⊥ AC, \therefore BD // FH. \therefore \frac{AE}{EF}=\frac{AD}{DH}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2. \therefore AE=2EF.$ (3)由(2)知,$AE=2EF, \therefore AE=\frac{2}{3}AF. \because BD // FH, \therefore ∠ AED=∠ AFH. \therefore △ ADE ∽ △ AHF. \therefore \frac{DE}{FH}=\frac{AE}{AF}$,即$\frac{DE}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}. \therefore DE=\frac{2\sqrt{3}}{3}. \therefore BD=2DE=\frac{4\sqrt{3}}{3}. \because ∠ ABC=90°, BD ⊥ AC, \therefore ∠ BAC+∠ ABD=∠ BAC+∠ C=90°. \therefore ∠ ABD=∠ C. \because ∠ ADB=∠ BDC, ∠ ABD=∠ C, \therefore △ ABD ∽ △ BCD. \therefore \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}.$ 设$AD=b(b＞0)$,则$CD=2b. \therefore \frac{b}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2b}$,解得$b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$或$b=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$(舍去). $\therefore CD=2b=\frac{4\sqrt{6}}{3}. \therefore BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2+(\frac{4\sqrt{6}}{3})^2}=4.$
解析
【分析】
(1) 证明三角形相似优先考虑两角对应相等：首先由BD⊥AC可得∠ADE=∠CDB=90°，再结合AF=CF推出∠DAE=∠C，即可满足两角对应相等，证得相似。
(2) 先结合E是BD中点，利用(1)的相似结论得到AD与CD的比例；再由等腰三角形三线合一可知H是AC中点，求出DH的长度，最后根据BD//FH，利用平行线分线段成比例即可得到AE与EF的比值。
(3) 首先由BD//FH证△ADE∽△AHF，结合AE=2EF求出DE的长度，进而得到BD的长；再证明△ABD∽△BCD，利用相似的比例关系求出AD、CD的长度，最后在Rt△BCD中用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵$BD⊥AC$，
∴$∠ADE=∠CDB=90°$，
∵$AF=CF$，
∴$∠DAE=∠DCB$，
∴$△ADE ∽ △CDB$。
(2) 证明：
∵$E$为$BD$的中点，
∴$DE=BE=\frac{1}{2}BD$，
∵$△ADE ∽ △CDB$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{DE}{DB}=\frac{1}{2}$，
设$AD=a(a＞0)$，则$CD=2a$，$AC=AD+CD=3a$，
∵$FH⊥AC$，$AF=CF$，
∴$AH=CH=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}a$，
∴$DH=AH-AD=\frac{3}{2}a - a=\frac{1}{2}a$，
又
∵$BD⊥AC$，$FH⊥AC$，
∴$BD// FH$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AD}{DH}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$，
∴$AE=2EF$。
(3) 由(2)知，$AE=2EF$，
∴$AE=\frac{2}{3}AF$，
∵$BD// FH$，
∴$∠AED=∠AFH$，
又
∵$∠ADE=∠AHF=90°$，
∴$△ADE ∽ △AHF$，
∴$\frac{DE}{FH}=\frac{AE}{AF}$，即$\frac{DE}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$，解得$DE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$BD=2DE=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵$∠ABC=90°$，$BD⊥AC$，
∴$∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠C=90°$，
∴$∠ABD=∠C$，
又
∵$∠ADB=∠BDC=90°$，
∴$△ABD ∽ △BCD$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，
设$AD=b(b＞0)$，则$CD=2b$，
代入得$\frac{b}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2b}$，解得$b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$（负值舍去），
∴$CD=2b=\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
在$Rt△BCD$中，$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2+(\frac{4\sqrt{6}}{3})^2}=4$。
【答案】
(1) 已证$△ADE ∽ △CDB$；
(2) 已证$AE=2EF$；
(3) $BC$的长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
相似三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，三小问层层递进，前问结论可作为后问的推导条件，解题时需熟练掌握相似三角形的判定定理、等腰三角形三线合一性质以及平行线分线段成比例的应用，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 证明三角形相似优先考虑两角对应相等：首先由BD⊥AC可得∠ADE=∠CDB=90°，再结合AF=CF推出∠DAE=∠C，即可满足两角对应相等，证得相似。
(2) 先结合E是BD中点，利用(1)的相似结论得到AD与CD的比例；再由等腰三角形三线合一可知H是AC中点，求出DH的长度，最后根据BD//FH，利用平行线分线段成比例即可得到AE与EF的比值。
(3) 首先由BD//FH证△ADE∽△AHF，结合AE=2EF求出DE的长度，进而得到BD的长；再证明△ABD∽△BCD，利用相似的比例关系求出AD、CD的长度，最后在Rt△BCD中用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵$BD⊥AC$，
∴$∠ADE=∠CDB=90°$，
∵$AF=CF$，
∴$∠DAE=∠DCB$，
∴$△ADE ∽ △CDB$。
(2) 证明：
∵$E$为$BD$的中点，
∴$DE=BE=\frac{1}{2}BD$，
∵$△ADE ∽ △CDB$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{DE}{DB}=\frac{1}{2}$，
设$AD=a(a＞0)$，则$CD=2a$，$AC=AD+CD=3a$，
∵$FH⊥AC$，$AF=CF$，
∴$AH=CH=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}a$，
∴$DH=AH-AD=\frac{3}{2}a - a=\frac{1}{2}a$，
又
∵$BD⊥AC$，$FH⊥AC$，
∴$BD// FH$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AD}{DH}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$，
∴$AE=2EF$。
(3) 由(2)知，$AE=2EF$，
∴$AE=\frac{2}{3}AF$，
∵$BD// FH$，
∴$∠AED=∠AFH$，
又
∵$∠ADE=∠AHF=90°$，
∴$△ADE ∽ △AHF$，
∴$\frac{DE}{FH}=\frac{AE}{AF}$，即$\frac{DE}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$，解得$DE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$BD=2DE=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵$∠ABC=90°$，$BD⊥AC$，
∴$∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠C=90°$，
∴$∠ABD=∠C$，
又
∵$∠ADB=∠BDC=90°$，
∴$△ABD ∽ △BCD$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，
设$AD=b(b＞0)$，则$CD=2b$，
代入得$\frac{b}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2b}$，解得$b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$（负值舍去），
∴$CD=2b=\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
在$Rt△BCD$中，$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2+(\frac{4\sqrt{6}}{3})^2}=4$。
【答案】
(1) 已证$△ADE ∽ △CDB$；
(2) 已证$AE=2EF$；
(3) $BC$的长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
相似三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，三小问层层递进，前问结论可作为后问的推导条件，解题时需熟练掌握相似三角形的判定定理、等腰三角形三线合一性质以及平行线分线段成比例的应用，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
