22.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件.第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格.第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元.
(1)填表(不需化简)：

(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的销售单价应是多少元？

22.解:(1)略 (2)根据题意,得$80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9\ 000$.整理,得$x^2-20x+100=0$.解得$x_1=x_2=10$.当$x=10$时,$80-x=70＞50$,符合题意.答:第二个月的销售单价应是70元.

【分析】
（1）填表部分：第二个月单价在第一个月80元的基础上降低x元，因此单价为(80-x)元；单价每降低1元多售出10件，降低x元就多售出10x件，在原本预计销量200件的基础上，第二个月总销量为(200+10x)件；清仓时的销量为总进货量减去前两个月的销量，即总进货800件减第一个月200件，再减第二个月(200+10x)件。
（2）利润计算部分：销售总利润的等量关系为“总销售额 - 总成本 = 目标利润”。总销售额为三个月销售额之和，总成本为进货单价乘总进货量，据此列方程求解，最后要验证求出的单价是否满足“高于购进价50元”的要求，舍去不符合实际的解。
【解析】
（1）表格填写内容：
第二个月单价：$\boxed{80-x}$；第二个月销售量：$\boxed{200+10x}$；清仓时销售量：$\boxed{800-200-(200+10x)}$
（2）根据题意列方程：
$80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9000$
展开并整理方程：
$16000+16000+600x-10x^2+16000-400x-40000=9000$
合并同类项得：$x^2-20x+100=0$
因式分解得：$(x-10)^2=0$
解得：$x_1=x_2=10$
检验：当$x=10$时，第二个月单价$80-x=70$元，$70＞50$，符合“最低单价高于购进价格”的要求。
【答案】
(1) 第二个月单价填$80-x$，第二个月销售量填$200+10x$，清仓时销售量填$800-200-(200+10x)$
(2) 第二个月的销售单价应是70元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，实际问题解方程
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清各销售阶段的单价、销量的表达式，抓住利润计算公式找到等量关系列方程，求解后注意验证结果是否符合题目的实际限制条件，避免出现不符合题意的答案。
【难度系数】
0.7

23.综合实践课上,同学们以“四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动,探究其中的数学规律.
(1)操作发现:
如图,四边形纸片ABCD是平行四边形,点E在边BC上,将四边形ABCD沿过点E的直线折叠,点B的对应点为B'.根据以上操作,若E是BC的中点,折痕过点A,连接CB',则CB'与AE的位置关系是.
(2)迁移探究:
如图,若四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,折痕交边AB于点F,点B'落在AC上且AB'=2,CB'=6,求CE的长度.
(3)拓展应用:
如图,若四边形ABCD是矩形,AB=6,AD=8,折痕过点A,点B'落在矩形ABCD的对称轴上,求BE的长度.

23.解:(1)$CB'// AE$ (2)$\because AB'=2$,$CB'=6$,$\therefore AC=2+6=8$.$\because$四边形ABCD是菱形,$\therefore AB=BC$,$∠ BAC=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×120°=60°$.$\therefore △ ABC$是等边三角形.$\therefore ∠ ACB=60°$,$BC=AC=8$.过点$E$作$EG⊥ AC$于点$G$.$\therefore ∠ EGC=90°$.$\therefore ∠ CEG=30°$.$\therefore CE=2CG$.设$CG=a$,$CE=2a$,则$EG=\sqrt{3}a$,$B'G=6-a$.$\therefore BE=B'E=8-2a$.在$\mathrm{Rt}△ B'EG$中,由勾股定理,得$EG^2+GB'^2=B'E^2$,$\therefore (\sqrt{3}a)^2+(6-a)^2=(8-2a)^2$.$\therefore a=\frac{7}{5}$.$\therefore CE=2a=\frac{14}{5}$.(3)由折叠的性质,得$AB'=AB=6$,$BE=B'E$,设$BE=x$,则$B'E=x$.分两种情况讨论:①如图1,点$B'$落在矩形ABCD的对称轴MN上,过点$B'$作$PQ⊥ BC$于点P,交AD于点Q.$\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore AD// BC$.$\therefore PQ⊥ AD$.$\therefore ∠ AQB'=∠ EPB'=90°$.$\because MN$是矩形ABCD的对称轴,$\therefore B'P=B'Q=3$.由勾股定理,得$AQ=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,$\therefore BP=3\sqrt{3}$.$\therefore EP=3\sqrt{3}-x$.在$\mathrm{Rt}△ B'EP$中,$B'E^2=B'P^2+EP^2$,$\therefore x^2=3^2+(3\sqrt{3}-x)^2$,解得$x=2\sqrt{3}$.$\therefore BE=2\sqrt{3}$.②如图2,点$B'$落在矩形ABCD的对称轴IH上,$\therefore AH=BI=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$.由勾股定理,得$B'H=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore IB'=6-2\sqrt{5}$.$\because BE=x$,$BI=4$,$\therefore EI=4-x$.在$\mathrm{Rt}△ B'EI$中,由勾股定理,得$B'E^2=B'I^2+EI^2$,$\therefore x^2=(6-2\sqrt{5})^2+(4-x)^2$,解得$x=9-3\sqrt{5}$.$\therefore BE=9-3\sqrt{5}$.综上所述,$BE$的长度为$2\sqrt{3}$或$9-3\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 本小问先利用折叠性质得BE=B'E，结合E是BC中点推出B'E=EC，得到∠EB'C=∠ECB'；再由折叠得∠AEB=∠AEB'，利用三角形外角性质推导得∠AEB=∠ECB'，即可判定两直线的位置关系。
(2) 本小问先求出AC总长，结合菱形性质和∠BAD=120°证得△ABC为等边三角形，得到BC长度和∠ACB的度数；过E作AC的垂线，利用30°直角三角形的性质用参数表示相关线段，再结合折叠性质得BE=B'E，最后在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
(3) 本小问先由折叠得AB'=AB、BE=B'E，矩形共有2条对称轴，因此分两种情况讨论：点B'落在水平对称轴上、点B'落在竖直对称轴上；两种情况均构造直角三角形，结合对称轴性质求出相关线段长度，再利用勾股定理列方程求解BE的长。
【解析】
(1) 由折叠性质可知BE=B'E，
∵E是BC中点，
∴BE=EC，
∴B'E=EC，
∴∠EB'C=∠ECB'。由折叠得∠BEA=∠B'EA，又
∵∠BEB'=∠BEA+∠B'EA=∠EB'C+∠ECB'，
∴∠BEA=∠ECB'，
∴$CB'// AE$。
(2)
∵$AB'=2$，$CB'=6$，
∴$AC=2+6=8$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB=BC$，$∠ BAC=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∴$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ACB=60°$，$BC=AC=8$。
过点$E$作$EG⊥ AC$于点$G$，
∴$∠ EGC=90°$，
∴$∠ CEG=30°$，
∴$CE=2CG$。
设$CG=a$，$CE=2a$，则$EG=\sqrt{3}a$，$B'G=6-a$。由折叠性质得$BE=B'E=8-2a$。
在$\mathrm{Rt}△ B'EG$中，由勾股定理得$EG^2+GB'^2=B'E^2$，
∴$(\sqrt{3}a)^2+(6-a)^2=(8-2a)^2$，解得$a=\frac{7}{5}$，
∴$CE=2a=\frac{14}{5}$。
(3) 由折叠的性质得$AB'=AB=6$，$BE=B'E$，设$BE=x$，则$B'E=x$，分两种情况讨论：
①如图1，点$B'$落在矩形ABCD的对称轴MN上，过点$B'$作$PQ⊥ BC$于点P，交AD于点Q。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，
∴$PQ⊥ AD$，
∴$∠ AQB'=∠ EPB'=90°$。
∵MN是矩形ABCD的对称轴，
∴$B'P=B'Q=3$。由勾股定理得$AQ=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴$BP=3\sqrt{3}$，
∴$EP=3\sqrt{3}-x$。
在$\mathrm{Rt}△ B'EP$中，$B'E^2=B'P^2+EP^2$，
∴$x^2=3^2+(3\sqrt{3}-x)^2$，解得$x=2\sqrt{3}$，
∴$BE=2\sqrt{3}$。
②如图2，点$B'$落在矩形ABCD的对称轴IH上，
∴$AH=BI=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$。由勾股定理得$B'H=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$，
∴$IB'=6-2\sqrt{5}$。
∵$BE=x$，$BI=4$，
∴$EI=4-x$。在$\mathrm{Rt}△ B'EI$中，由勾股定理得$B'E^2=B'I^2+EI^2$，
∴$x^2=(6-2\sqrt{5})^2+(4-x)^2$，解得$x=9-3\sqrt{5}$，
∴$BE=9-3\sqrt{5}$。
综上所述，$BE$的长度为$2\sqrt{3}$或$9-3\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $CB'// AE$
(2) $CE=\frac{14}{5}$
(3) $BE$的长度为$2\sqrt{3}$或$9-3\sqrt{5}$

【知识点】
折叠的性质；特殊四边形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题以四边形折叠为载体，综合考查了平行四边形、菱形、矩形的性质，以及勾股定理在折叠问题中的应用，第三问需要结合矩形对称轴的特点分类讨论，能够有效考查几何推理能力、方程思想和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.4