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19. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-3=0$有实数根.
(1)求实数$m$的取值范围.
(2)当$m$取满足条件的最大整数时,求方程的解.
(1)求实数$m$的取值范围.
(2)当$m$取满足条件的最大整数时,求方程的解.
答案
19.解:(1)$\because$方程有实数根,$\therefore \Delta=(2m-1)^2-4(m^2-3)=13-4m\ge0$.$\therefore m\le\frac{13}{4}$.(2)$\because m\le\frac{13}{4}$,且$m$取最大的整数,$\therefore m=3$.$\therefore$一元二次方程为$x^2+5x+6=0$.$\therefore$方程的解为$x_1=-2$,$x_2=-3$.
解析
【分析】
（1）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。我们只需将本题中方程对应的$a、b、c$的值代入判别式，列出关于$m$的不等式，求解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）先根据第一问得到的$m$的取值范围，找出满足条件的最大整数$m$，再将$m$的值代入原方程，通过因式分解法解这个一元二次方程，就能得到方程的解。
【解析】
(1) 已知一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-3=0$有实数根，其中$a=1$，$b=2m-1$，$c=m^2-3$，
根据根的判别式与实数根的关系可得：
$\Delta = b^2-4ac = (2m-1)^2 - 4×1×(m^2-3) ≥ 0$
展开计算得：
$4m^2 -4m +1 -4m^2 +12 ≥ 0$
化简得：$13-4m ≥ 0$
解得：$m ≤ \frac{13}{4}$
(2) 由(1)知$m ≤ \frac{13}{4}=3.25$，且$m$取满足条件的最大整数，因此$m=3$。
将$m=3$代入原方程，得：
$x^2 + (2×3 -1)x + 3^2 -3 = 0$
化简得：$x^2 +5x +6 = 0$
因式分解得：$(x+2)(x+3)=0$
所以$x+2=0$或$x+3=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=-3$
【答案】
(1) $m≤ \dfrac{13}{4}$；
(2) $x_1=-2$，$x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，核心考查根的判别式和方程根的关系，解题时先通过判别式求出参数范围，再代入参数解方程即可，整体逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
（1）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。我们只需将本题中方程对应的$a、b、c$的值代入判别式，列出关于$m$的不等式，求解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）先根据第一问得到的$m$的取值范围，找出满足条件的最大整数$m$，再将$m$的值代入原方程，通过因式分解法解这个一元二次方程，就能得到方程的解。
【解析】
(1) 已知一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-3=0$有实数根，其中$a=1$，$b=2m-1$，$c=m^2-3$，
根据根的判别式与实数根的关系可得：
$\Delta = b^2-4ac = (2m-1)^2 - 4×1×(m^2-3) ≥ 0$
展开计算得：
$4m^2 -4m +1 -4m^2 +12 ≥ 0$
化简得：$13-4m ≥ 0$
解得：$m ≤ \frac{13}{4}$
(2) 由(1)知$m ≤ \frac{13}{4}=3.25$，且$m$取满足条件的最大整数，因此$m=3$。
将$m=3$代入原方程，得：
$x^2 + (2×3 -1)x + 3^2 -3 = 0$
化简得：$x^2 +5x +6 = 0$
因式分解得：$(x+2)(x+3)=0$
所以$x+2=0$或$x+3=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=-3$
【答案】
(1) $m≤ \dfrac{13}{4}$；
(2) $x_1=-2$，$x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，核心考查根的判别式和方程根的关系，解题时先通过判别式求出参数范围，再代入参数解方程即可，整体逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
20.【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角$ r $等于入射角$ i $.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点$ G $处，手电筒的光从平面镜上点$ B $处反射后，恰好经过木板的边缘点$ F $，落在墙上的点$ E $处，点$ E $到地面的高度$ DE=3.5 \ \mathrm{m} $，点$ F $到地面的高度$ CF=1.5 \ \mathrm{m} $，灯泡到木板的水平距离$ AC=5.4 \ \mathrm{m} $，木板到墙的水平距离$ CD=4 \ \mathrm{m} $.图中点$ A,B,C,D $在同一条直线上.
(1)求$ BC $的长.
(2)求灯泡到地面的高度$ AG $.
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点$ G $处，手电筒的光从平面镜上点$ B $处反射后，恰好经过木板的边缘点$ F $，落在墙上的点$ E $处，点$ E $到地面的高度$ DE=3.5 \ \mathrm{m} $，点$ F $到地面的高度$ CF=1.5 \ \mathrm{m} $，灯泡到木板的水平距离$ AC=5.4 \ \mathrm{m} $，木板到墙的水平距离$ CD=4 \ \mathrm{m} $.图中点$ A,B,C,D $在同一条直线上.
(1)求$ BC $的长.
(2)求灯泡到地面的高度$ AG $.
答案
20.解:(1)由题意,得$FC// DE$,则$△ BFC∽ BED$,$\therefore \frac{BC}{BD}=\frac{FC}{ED}$,即$\frac{BC}{BC+4}=\frac{1.5}{3.5}$,解得$BC=3\ \mathrm{m}$.答:$BC$的长为$3\ \mathrm{m}$.(2)$\because AC=5.4\ \mathrm{m}$,$\therefore AB=5.4-3=2.4(\mathrm{m})$.$\because$光在镜面反射中的反射角等于入射角,$\therefore ∠ GBA=∠ FBC$.又$\because ∠ GAB=∠ FCB$,$\therefore △ BGA∽△ BFC$.$\therefore \frac{AG}{CF}=\frac{AB}{CB}$.$\therefore \frac{AG}{1.5}=\frac{2.4}{3}$,解得$AG=1.2\ \mathrm{m}$.答:灯泡到地面的高度$AG$为$1.2\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 首先观察到FC、DE均垂直于地面，可得FC//DE，进而可判定△BFC和△BED相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的FC、DE、CD的长度，列方程即可求出BC的长。
(2) 先根据AC和BC的长度求出AB的长度，再结合光的反射定律“反射角等于入射角”推导得到∠GBA=∠FBC，又AG、FC均垂直于地面，∠GAB和∠FCB都是直角，可判定△BGA和△BFC相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求出AG的高度。
【解析】
(1) 由题意可知FC⊥BD，ED⊥BD，因此FC//DE，可得∠BFC=∠BED，∠BCF=∠BDE=90°，所以△BFC∽△BED。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BC}{BD}=\frac{FC}{ED}$。
已知BD=BC+CD=BC+4，FC=1.5m，ED=3.5m，代入得：
$\frac{BC}{BC+4}=\frac{1.5}{3.5}$
交叉相乘得$3.5BC=1.5(BC+4)$
化简得$2BC=6$，解得$BC=3\ \mathrm{m}$。
(2) 已知AC=5.4m，BC=3m，因此$AB=AC-BC=5.4-3=2.4(\mathrm{m})$。
根据光的反射定律，反射角等于入射角，可得$∠GBA=∠FBC$。
又因为AG⊥AB，FC⊥BC，所以$∠GAB=∠FCB=90°$，因此△BGA∽△BFC。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AG}{CF}=\frac{AB}{CB}$。
代入CF=1.5m，AB=2.4m，CB=3m，得：
$\frac{AG}{1.5}=\frac{2.4}{3}$
解得$AG=1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$3\ \mathrm{m}$；
(2) 灯泡到地面的高度$AG$为$1.2\ \mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；光的反射定律
【点评】
本题是数理融合的实际应用题，结合物理光学的反射规律，考查相似三角形在实际测量中的应用。解题的核心是通过平行或者角相等的条件判定相似三角形，再利用相似的性质列方程求解，贴近生活场景，能锻炼跨学科知识运用的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察到FC、DE均垂直于地面，可得FC//DE，进而可判定△BFC和△BED相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的FC、DE、CD的长度，列方程即可求出BC的长。
(2) 先根据AC和BC的长度求出AB的长度，再结合光的反射定律“反射角等于入射角”推导得到∠GBA=∠FBC，又AG、FC均垂直于地面，∠GAB和∠FCB都是直角，可判定△BGA和△BFC相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求出AG的高度。
【解析】
(1) 由题意可知FC⊥BD，ED⊥BD，因此FC//DE，可得∠BFC=∠BED，∠BCF=∠BDE=90°，所以△BFC∽△BED。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BC}{BD}=\frac{FC}{ED}$。
已知BD=BC+CD=BC+4，FC=1.5m，ED=3.5m，代入得：
$\frac{BC}{BC+4}=\frac{1.5}{3.5}$
交叉相乘得$3.5BC=1.5(BC+4)$
化简得$2BC=6$，解得$BC=3\ \mathrm{m}$。
(2) 已知AC=5.4m，BC=3m，因此$AB=AC-BC=5.4-3=2.4(\mathrm{m})$。
根据光的反射定律，反射角等于入射角，可得$∠GBA=∠FBC$。
又因为AG⊥AB，FC⊥BC，所以$∠GAB=∠FCB=90°$，因此△BGA∽△BFC。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AG}{CF}=\frac{AB}{CB}$。
代入CF=1.5m，AB=2.4m，CB=3m，得：
$\frac{AG}{1.5}=\frac{2.4}{3}$
解得$AG=1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$3\ \mathrm{m}$；
(2) 灯泡到地面的高度$AG$为$1.2\ \mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；光的反射定律
【点评】
本题是数理融合的实际应用题，结合物理光学的反射规律，考查相似三角形在实际测量中的应用。解题的核心是通过平行或者角相等的条件判定相似三角形，再利用相似的性质列方程求解，贴近生活场景，能锻炼跨学科知识运用的能力。
【难度系数】
0.7
21.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE//AC,CE//BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形.
(2)连接AE,BE,AE与BE相等吗?请说明理由.
(1)求证:四边形OCED是菱形.
(2)连接AE,BE,AE与BE相等吗?请说明理由.
答案
21.解:(1)证明:$\because DE// AC$,$CE// BD$,$\therefore$四边形OCED是平行四边形.$\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore AC=BD$,且$AC,BD$互相平分.$\therefore OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=OD$.$\therefore$平行四边形OCED是菱形.(2)$AE=BE$.理由:$\because$四边形OCED是菱形,$\therefore DE=CE$,$∠ EDC=∠ ECD$.又$\because$在矩形ABCD中,$AD=BC$,$∠ ADC=∠ BCD=90°$,$\therefore ∠ ADE=∠ BCE$.在$△ ADE$和$△ BCE$中,$\begin{cases} AD=BC, \\ ∠ ADE=∠ BCE, \\ DE=CE, \end{cases}$$\therefore △ ADE≌△ BCE$(SAS).$\therefore AE=BE$.
解析
【分析】
(1) 要证四边形OCED是菱形，遵循“先证平行四边形，再证邻边相等”的思路：首先由两组对边分别平行判定四边形OCED是平行四边形，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到OC=OD，即可证明平行四边形OCED是菱形。
(2) 判断AE和BE是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：首先结合菱形性质得到DE=CE、∠EDC=∠ECD，再结合矩形性质得到AD=BC、∠ADC=∠BCD=90°，进而推出∠ADE=∠BCE，利用SAS证明△ADE和△BCE全等，即可得到AE=BE。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// AC$，$CE// BD$，
$\therefore$四边形OCED是平行四边形。
$\because$四边形ABCD是矩形，
$\therefore AC=BD$，且$AC,BD$互相平分，
$\therefore OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore$平行四边形OCED是菱形。
(2) $AE=BE$，理由如下：
$\because$四边形OCED是菱形，
$\therefore DE=CE$，$∠ EDC=∠ ECD$。
$\because$在矩形ABCD中，$AD=BC$，$∠ ADC=∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ADC+∠EDC=∠BCD+∠ECD$，即$∠ ADE=∠ BCE$。
在$△ ADE$和$△ BCE$中，
$\begin{cases} AD=BC, \\ ∠ ADE=∠ BCE, \\ DE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BCE$(SAS)，
$\therefore AE=BE$。
【答案】
(1) 四边形OCED是菱形，证明见解析；
(2) $AE=BE$，理由见解析。
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，融合了特殊四边形的性质、判定以及全等三角形的相关知识，解题的核心是熟练掌握各类特殊四边形的性质与判定定理，学会通过证明三角形全等推导线段相等。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形OCED是菱形，遵循“先证平行四边形，再证邻边相等”的思路：首先由两组对边分别平行判定四边形OCED是平行四边形，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到OC=OD，即可证明平行四边形OCED是菱形。
(2) 判断AE和BE是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：首先结合菱形性质得到DE=CE、∠EDC=∠ECD，再结合矩形性质得到AD=BC、∠ADC=∠BCD=90°，进而推出∠ADE=∠BCE，利用SAS证明△ADE和△BCE全等，即可得到AE=BE。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// AC$，$CE// BD$，
$\therefore$四边形OCED是平行四边形。
$\because$四边形ABCD是矩形，
$\therefore AC=BD$，且$AC,BD$互相平分，
$\therefore OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore$平行四边形OCED是菱形。
(2) $AE=BE$，理由如下：
$\because$四边形OCED是菱形，
$\therefore DE=CE$，$∠ EDC=∠ ECD$。
$\because$在矩形ABCD中，$AD=BC$，$∠ ADC=∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ADC+∠EDC=∠BCD+∠ECD$，即$∠ ADE=∠ BCE$。
在$△ ADE$和$△ BCE$中，
$\begin{cases} AD=BC, \\ ∠ ADE=∠ BCE, \\ DE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BCE$(SAS)，
$\therefore AE=BE$。
【答案】
(1) 四边形OCED是菱形，证明见解析；
(2) $AE=BE$，理由见解析。
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，融合了特殊四边形的性质、判定以及全等三角形的相关知识，解题的核心是熟练掌握各类特殊四边形的性质与判定定理，学会通过证明三角形全等推导线段相等。
【难度系数】
0.7
