1. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$DE$ 平分 $∠ ADC$ 交边 $BC$ 于点 $E$. 过点 $E$ 作 $EF // DC$ 交边 $AD$ 于点 $F$. 求证：四边形 $EFDC$ 是正方形.

证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$∠ADC=∠C=90°$。
∵$EF// DC$，
∴四边形$EFDC$是平行四边形。
∵$∠C=90°$，
∴平行四边形$EFDC$是矩形。
∵$DE$平分$∠ADC$，
∴$∠EDC=\frac{1}{2}∠ADC=45°$。
在$Rt△ EDC$中，$∠DEC=90°-∠EDC=45°$，
∴$∠EDC=∠DEC$，
∴$DC=EC$。
∵四边形$EFDC$是矩形，且$DC=EC$，
∴四边形$EFDC$是正方形。

2. 如图，$Rt△ CEF$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ CEF$，$∠ CFE$ 的外角平分线交于点 $A$，过点 $A$ 作 $AB ⊥ CE$ 的延长线于 $B$，过点 $A$ 作 $AD ⊥ CF$ 的延长线于 $D$. 求证：四边形 $ABCD$ 是正方形.

证明：
1. ∵∠C=90°，AB⊥CE延长线于B，AD⊥CF延长线于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD中∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠A=360°-∠B-∠C-∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形（四个角都是直角的四边形是矩形）。
2. 过点A作AG⊥EF于G，
∵A是∠CEF外角平分线的交点，
∴点A到∠CEF外角两边距离相等，
∵∠CEF外角两边为CE延长线（EB）和EF延长线，
∴AB=AG（角平分线上的点到角两边距离相等）。
3. 同理，A是∠CFE外角平分线的交点，
∴点A到∠CFE外角两边距离相等，
∵∠CFE外角两边为CF延长线（FD）和EF延长线，
∴AD=AG。
4. ∴AB=AD。
5. ∵四边形ABCD是矩形且AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。

学习盘点
如图，已知平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$ 是 $DB$ 延长线上一点，且 $△ ACE$ 是等边三角形.
（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.
（2）若 $∠ AEB = 2∠ EAB$，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形.

1. 将四块直角三角形按图示方式围成 $□ ABCD$，其中 $△ ABF ≌ △ CDH$，$∠ ABF = 45°$，其内部四个顶点构成正方形 $EFGH$，已知 $□ ABCD$ 的面积为 5，则 $AB$ 的长是()

A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
D.$\sqrt{10}$

1. B

2. 如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$，$E$，$F$ 分别在边 $BC$，$CA$，$AB$ 上(不与顶点重合)，满足 $DF // AC$，$DE // AB$，连接 $AD$. 下列说法一定正确的是()


A.四边形 $AFDE$ 的周长等于 $△ ABC$ 的周长
B.当 $AD$ 平分 $∠ BAC$ 时，四边形 $AFDE$ 为菱形
C.当 $D$，$E$ 为 $BC$，$AC$ 的中点时，四边形 $AFDE$ 的面积等于 $△ ABC$ 的面积的 $\frac{2}{3}$
D.当 $△ ABC$ 为等腰直角三角形时，四边形 $AFDE$ 为正方形

2. B