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1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ BC = 5 $，$ AC = 12 $，则 $ \sin B $ 的值是(
A.$ \dfrac{5}{12} $
B.$ \dfrac{12}{5} $
C.$ \dfrac{5}{13} $
D.$ \dfrac{12}{13} $
D
)A.$ \dfrac{5}{12} $
B.$ \dfrac{12}{5} $
C.$ \dfrac{5}{13} $
D.$ \dfrac{12}{13} $
答案
1. D
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$BC=5$，$AC=12$，
由勾股定理得，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$，
$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{13}$。
答案：D
由勾股定理得，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$，
$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{13}$。
答案：D
2. 如图，已知在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AB = 5 $，$ BC = 3 $，则 $ \cos B $ 的值是(
A.$ \dfrac{3}{5} $
B.$ \dfrac{4}{5} $
C.$ \dfrac{3}{4} $
D.$ \dfrac{4}{3} $
A
)A.$ \dfrac{3}{5} $
B.$ \dfrac{4}{5} $
C.$ \dfrac{3}{4} $
D.$ \dfrac{4}{3} $
答案
2. A
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AB=5$，$BC=3$。
$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$
A
$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$
A
3. 如图，在平面直角坐标系内有一点 $ P(3,4) $，连接 $ OP $，则 $ OP $ 与 $ x $ 轴正方向所夹锐角 $ α $ 的正弦值是(
A.$ \dfrac{3}{4} $
B.$ \dfrac{4}{3} $
C.$ \dfrac{3}{5} $
D.$ \dfrac{4}{5} $
D
)A.$ \dfrac{3}{4} $
B.$ \dfrac{4}{3} $
C.$ \dfrac{3}{5} $
D.$ \dfrac{4}{5} $
答案
3. D
解析
解：过点 $ P(3,4) $ 作 $ PA ⊥ x $ 轴于点 $ A $，则 $ OA=3 $，$ PA=4 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ OPA $ 中，由勾股定理得：$ OP=\sqrt{OA^{2}+PA^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 $。
$\sinα=\dfrac{PA}{OP}=\dfrac{4}{5}$。
D
在 $ \mathrm{Rt}△ OPA $ 中，由勾股定理得：$ OP=\sqrt{OA^{2}+PA^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 $。
$\sinα=\dfrac{PA}{OP}=\dfrac{4}{5}$。
D
4. 如图，由边长为 $ 1 $ 的小正方形构成的网格中，点 $ A $，$ B $，$ C $ 都在格点上，以 $ AB $ 为直径的圆经过点 $ C $，$ D $，则 $ \cos ∠ ADC $ 的值为(
A.$ \dfrac{2\sqrt{13}}{13} $
B.$ \dfrac{3\sqrt{13}}{13} $
C.$ \dfrac{2}{3} $
D.$ \dfrac{\sqrt{5}}{3} $
B
)A.$ \dfrac{2\sqrt{13}}{13} $
B.$ \dfrac{3\sqrt{13}}{13} $
C.$ \dfrac{2}{3} $
D.$ \dfrac{\sqrt{5}}{3} $
答案
4. B
5. 如图，在 $ 4 × 4 $ 网格正方形中，每个小正方形的边长为 $ 1 $，顶点为格点，若 $ △ ABC $ 的顶点均是格点，则 $ \cos ∠ BAC $ 的值是(
A.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \dfrac{\sqrt{10}}{5} $
C.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
D.$ \dfrac{4}{5} $
C
)A.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \dfrac{\sqrt{10}}{5} $
C.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
D.$ \dfrac{4}{5} $
答案
5. C
解析
解：设网格左下角为原点，建立平面直角坐标系，得$A(4,4)$，$B(0,1)$，$C(3,2)$。
$\overrightarrow{AB}=(-4,-3)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,-2)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=(-4)×(-1)+(-3)×(-2)=4 + 6=10$。
$\cos∠ BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{10}{5×\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
C
$\overrightarrow{AB}=(-4,-3)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,-2)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=(-4)×(-1)+(-3)×(-2)=4 + 6=10$。
$\cos∠ BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{10}{5×\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
C
6. 如图，$ △ ABC $ 中，$ DE $ 是 $ BC $ 的垂直平分线，$ DE $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，连接 $ BE $，若 $ BE = 9 $，$ BC = 12 $，则点 $ E $ 到直线 $ BC $ 的距离是
$3\sqrt{5}$
.答案
6. $3\sqrt{5}$
解析
解：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=6，∠EDB=90°，
在Rt△EDB中，BE=9，BD=6，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{BE^2-BD^2}=\sqrt{9^2-6^2}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，
即点E到直线BC的距离是$3\sqrt{5}$.
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=6，∠EDB=90°，
在Rt△EDB中，BE=9，BD=6，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{BE^2-BD^2}=\sqrt{9^2-6^2}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，
即点E到直线BC的距离是$3\sqrt{5}$.
7. 如图，在 $ \odot O $ 中，过直径 $ AB $ 延长线上的点 $ C $ 作 $ \odot O $ 的一条切线，切点为 $ D $，若 $ AC = 7 $，$ AB = 4 $，则 $ \sin C $ 的值为
$ \frac{2}{5} $
.答案
7. $ \frac{2}{5} $
解析
7. $ \frac{2}{5} $
8. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ AC = 6 $，$ BD = 8 $，则 $ \sin ∠ ABC = $
$ \frac{24}{25} $
.答案
8. $ \frac{24}{25} $
解析
8. $ \frac{24}{25} $
9. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AB $，$ D $ 为垂足，$ CD = 2 $，$ BD = 4 $，求 $ \cos ∠ ACD $ 的值.
答案
9. $ \frac{2\sqrt{5}}{5} $
解析
9. $ \frac{2\sqrt{5}}{5} $
