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15. 如图，$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，弦 $AD$，$BC$ 相交于点 $P$，且 $CD$，$AB$ 的长分别是一元二次方程 $x^2 - 7x + 12 = 0$ 的两根，求 $\tan ∠ DPB$ 的值.
答案
15. 连接BD,如图,则$∠ ADB=90°$,解方程$x^2 - 7x + 12 = 0$,可得$x = 3$,$x = 4$.由于$AB＞CD$,所以$AB = 4$,$CD = 3$.由圆周角定理知:$∠ C = ∠ A$,$∠ CDA = ∠ ABP$,故$△ CPD ∼ △ APB$,得$\frac{PD}{PB}=\frac{CD}{AB}=\frac{3}{4}$.设$PD = 3x$,则$PB = 4x$.在$Rt△ PBD$中,由勾股定理得$BD = \sqrt{PB^2 - PD^2}=\sqrt{7}x$.故$\tan ∠ DPB=\frac{BD}{PD}=\frac{\sqrt{7}}{3}$.
16. 如图，把 $n$ 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 $\tan ∠ BA_1C = 1$，$\tan ∠ BA_2C = \frac{1}{3}$，$\tan ∠ BA_3C = \frac{1}{7}$，计算 $\tan ∠ BA_4C =$
]
$\frac{1}{13}$
，……按此规律，写出 $\tan ∠ BA_nC =$$\frac{1}{n^2 - n + 1}$
(用含 $n$ 的代数式表示).]答案
16. $\frac{1}{13}$ $\frac{1}{n^2 - n + 1}$
17. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $G$ 在边 $AB$ 上（不与点 $A$，$B$ 重合），连接 $DG$，作 $CE ⊥ DG$ 于点 $E$，$AF ⊥ DG$ 于点 $F$，连接 $AE$，$CF$.
（1）求证：$DE = AF$；
（2）若 $AG = \frac{1}{3}AB$，设 $∠ ECF = α$，$∠ EAF = β$，求 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值.
（1）求证：$DE = AF$；
（2）若 $AG = \frac{1}{3}AB$，设 $∠ ECF = α$，$∠ EAF = β$，求 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值.
答案
17. (1) $\because$ 在正方形$ABCD$中,$\therefore AD = CD$,$∠ ADC = 90°$.$\because CE ⊥ DG$于点$E$,$AF ⊥ DG$于点$F$,$\therefore ∠ AFD = ∠ CED = 90°$,$\therefore ∠ ADF + ∠ CDE = ∠ CDE + ∠ DCE = 90°$,$\therefore ∠ ADF = ∠ DCE$.在$△ ADF$与$△ DCE$中,$\begin{cases} ∠ ADF = ∠ DCE \\ ∠ AFD = ∠ CED \\ AD = CD \end{cases}$,$\therefore △ ADF ≌ △ DCE(AAS)$.$\therefore DE = AF$; (2) 在正方形$ABCD$中,$\because AB // CD$,$\therefore ∠ AGF = ∠ CDE$.$\because ∠ CED = ∠ AFG = 90°$,$\therefore △ AFG ∼ △ CED$,$\therefore \frac{AF}{CE}=\frac{AG}{CD}$.$\because AG = \frac{1}{3}AB$,又$AB = CD$,$\therefore \frac{AG}{CD}=\frac{AG}{AB}=\frac{1}{3}$,$\therefore \frac{AF}{CE}=\frac{1}{3}$,$\therefore \frac{\tan α}{\tan β}=\frac{\frac{EF}{CE}}{\frac{AF}{CE}}=\frac{EF}{AF}=\frac{AF}{CE}=\frac{1}{3}$.
解析
（1）证明：在正方形$ABCD$中，$AD = CD$，$∠ ADC = 90°$。
$\because CE ⊥ DG$，$AF ⊥ DG$，
$\therefore ∠ AFD = ∠ CED = 90°$，
$\because ∠ ADF + ∠ CDE = 90°$，$∠ CDE + ∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ ADF = ∠ DCE$。
在$△ ADF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases} ∠ ADF = ∠ DCE \\ ∠ AFD = ∠ CED \\ AD = CD \end{cases}$，
$\therefore △ ADF ≌ △ DCE(AAS)$，
$\therefore DE = AF$。
（2）解：在正方形$ABCD$中，$AB // CD$，$\therefore ∠ AGF = ∠ CDE$。
$\because ∠ CED = ∠ AFG = 90°$，
$\therefore △ AFG ∼ △ CED$，
$\therefore \frac{AF}{CE} = \frac{AG}{CD}$。
$\because AG = \frac{1}{3}AB$，$AB = CD$，
$\therefore \frac{AG}{CD} = \frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AF}{CE} = \frac{1}{3}$。
$\because \tanα = \frac{EF}{CE}$，$\tanβ = \frac{EF}{AF}$，
$\therefore \frac{\tanα}{\tanβ} = \frac{\frac{EF}{CE}}{\frac{EF}{AF}} = \frac{AF}{CE} = \frac{1}{3}$。
答案：（1）见证明过程；（2）$\frac{1}{3}$。
$\because CE ⊥ DG$，$AF ⊥ DG$，
$\therefore ∠ AFD = ∠ CED = 90°$，
$\because ∠ ADF + ∠ CDE = 90°$，$∠ CDE + ∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ ADF = ∠ DCE$。
在$△ ADF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases} ∠ ADF = ∠ DCE \\ ∠ AFD = ∠ CED \\ AD = CD \end{cases}$，
$\therefore △ ADF ≌ △ DCE(AAS)$，
$\therefore DE = AF$。
（2）解：在正方形$ABCD$中，$AB // CD$，$\therefore ∠ AGF = ∠ CDE$。
$\because ∠ CED = ∠ AFG = 90°$，
$\therefore △ AFG ∼ △ CED$，
$\therefore \frac{AF}{CE} = \frac{AG}{CD}$。
$\because AG = \frac{1}{3}AB$，$AB = CD$，
$\therefore \frac{AG}{CD} = \frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AF}{CE} = \frac{1}{3}$。
$\because \tanα = \frac{EF}{CE}$，$\tanβ = \frac{EF}{AF}$，
$\therefore \frac{\tanα}{\tanβ} = \frac{\frac{EF}{CE}}{\frac{EF}{AF}} = \frac{AF}{CE} = \frac{1}{3}$。
答案：（1）见证明过程；（2）$\frac{1}{3}$。
