10. 如图，定义：在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，锐角 $α$ 的邻边与对边的比叫作 $∠ α$ 的余切，记作 $\cot α$，即 $\cot α = \frac{∠ α \mathrm{ 的邻边}}{∠ α \mathrm{ 的对边}} = \frac{AC}{BC}$.
根据上述角的余切定义，解答下列问题：
(1)$\cot 30^{\circ} =$；
(2)如图，已知 $\tan A = \frac{3}{4}$，其中 $∠ A$ 为锐角，试求 $\cot A$ 的值.
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10. (1) $\sqrt{3}$ (2) $\because \tan A=\frac{3}{4}$,$\therefore$ 设$BC=3x$,$AC=4x$,$\therefore \cot A=\frac{AC}{BC}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$.

11. 如图，折叠矩形 $ABCD$ 的一边 $AD$，使点 $D$ 落在 $BC$ 边的点 $F$ 处，已知 $AB = 8\ \mathrm{cm}$，$BC = 10\ \mathrm{cm}$，求 $\tan ∠ EAF$ 的值.

11. $\frac{1}{2}$

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AB=CD=8\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=10\ \mathrm{cm}$，$∠ B=∠ C=90°$。
由折叠性质得：$AF=AD=10\ \mathrm{cm}$，$EF=DE$，设 $EC=x\ \mathrm{cm}$，则 $DE=EF=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中，$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $FC=BC-BF=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ EFC$ 中，$FC^2+EC^2=EF^2$，即 $4^2+x^2=(8-x)^2$，
解得 $x=3$，
∴ $EC=3\ \mathrm{cm}$，$EF=5\ \mathrm{cm}$。
∵ $∠ AFE=∠ D=90°$，
∴ $∠ AFB+∠ EFC=90°$，
又 $∠ BAF+∠ AFB=90°$，
∴ $∠ BAF=∠ EFC$。
在 $\mathrm{Rt}△ EFC$ 中，$\tan∠ EFC=\frac{EC}{FC}=\frac{3}{4}$，
∴ $\tan∠ BAF=\frac{3}{4}$，即 $\frac{BF}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$（验证一致）。
设 $∠ BAF=α$，$∠ EAF=θ$，则 $∠ DAE=α+θ$，
由折叠得 $∠ DAE=∠ FAE=θ$，故 $∠ DAE=θ$，
又 $∠ BAD=90°$，
∴ $α+θ=90°-∠ DAE=90°-θ$，即 $α+2θ=90°$，
∴ $\tan(2θ)=\tan(90°-α)=\cotα=\frac{4}{3}$。
由二倍角公式 $\tan(2θ)=\frac{2\tanθ}{1-\tan^2θ}=\frac{4}{3}$，
设 $t=\tanθ$，则 $\frac{2t}{1-t^2}=\frac{4}{3}$，解得 $t=\frac{1}{2}$（负值舍去）。
∴ $\tan∠ EAF=\frac{1}{2}$。
答案：$\frac{1}{2}$

12. 如图，$△ ABC$ 内接于半径为 5 的 $\odot O$，圆心 $O$ 到弦 $BC$ 的距离等于 3，则 $∠ A$ 的正切值等于()

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

12. D

解：连接 $OB$，$OC$，过点 $O$ 作 $OD ⊥ BC$ 于点 $D$，则 $OD=3$，$OB=OC=5$。
在 $Rt△ OBD$ 中，$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，故 $BC=2BD=8$。
设 $∠ BOC = 2α$，则 $∠ A = α$（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。
在 $Rt△ OBD$ 中，$\tanα = \frac{BD}{OD} = \frac{4}{3}$，即 $\tan A = \frac{4}{3}$。
答案：D

13. 如图，$CD$ 是平面镜，光线从 $A$ 点出发经 $CD$ 上点 $O$ 反射后照射到 $B$ 点，若入射角为 $α$，反射角为 $β$(反射角等于入射角)，$AC ⊥ CD$ 于点 $C$，$BD ⊥ CD$ 于点 $D$，且 $AC = 3$，$BD = 6$，$CD = 12$，则 $\tan α$ 的值为.
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13. $\frac{4}{3}$

解：由反射定律知$α=β$，设$OC=x$，则$OD=12 - x$。
因为$AC⊥ CD$，$BD⊥ CD$，所以$∠ ACO=∠ BDO=90°$，且$∠ AOC=90°-α$，$∠ BOD=90°-β$，故$∠ AOC=∠ BOD$。
因此$△ ACO∼△ BDO$，则$\frac{AC}{BD}=\frac{OC}{OD}$，即$\frac{3}{6}=\frac{x}{12 - x}$。
解得$x = 4$，即$OC = 4$。
在$Rt△ ACO$中，$\tanα=\tan(90°-∠ AOC)=\frac{OC}{AC}=\frac{4}{3}$。
$\frac{4}{3}$

14. (2024·深圳)如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = BC$，$\tan ∠ B = \frac{5}{12}$.$D$ 为 $BC$ 上一点，且满足 $\frac{BD}{CD} = \frac{8}{5}$，过 $D$ 作 $DE ⊥ AD$ 交 $AC$ 延长线于点 $E$，则 $\frac{CE}{AC} =$.
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14. $\frac{20}{21}$

解：设 $BD = 8k$，$CD = 5k$，则 $BC = 13k$，$AB = BC = 13k$。
过 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ 于 $F$，设 $AF = 5m$，$BF = 12m$，由勾股定理得 $AB^2 = AF^2 + BF^2$，即 $(13k)^2 = (5m)^2 + (12m)^2$，解得 $m = k$，故 $AF = 5k$，$BF = 12k$，$FC = BC - BF = k$。
以 $F$ 为原点，$FC$ 为 $x$ 轴，$FA$ 为 $y$ 轴建立坐标系，则 $A(0,5k)$，$C(k,0)$，$D(-4k,0)$。
直线 $AC$ 的解析式为 $y = -5x + 5k$。
$AD$ 的斜率为 $\frac{5k - 0}{0 - (-4k)} = \frac{5}{4}$，故 $DE$ 的斜率为 $-\frac{4}{5}$，$DE$ 的方程为 $y = -\frac{4}{5}(x + 4k)$。
联立 $AC$ 与 $DE$ 的方程：$\begin{cases}y = -5x + 5k \\ y = -\frac{4}{5}(x + 4k)\end{cases}$，解得 $x = \frac{41k}{21}$，$y = -\frac{80k}{21}$，即 $E(\frac{41k}{21}, -\frac{80k}{21})$。
$AC = \sqrt{(k - 0)^2 + (0 - 5k)^2} = \sqrt{26}k$，$CE = \sqrt{(\frac{41k}{21} - k)^2 + (-\frac{80k}{21} - 0)^2} = \frac{20\sqrt{26}k}{21}$。
因此，$\frac{CE}{AC} = \frac{20}{21}$。
$\frac{20}{21}$