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10. 如图，以 $ O $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的弧交坐标轴于 $ A $，$ B $ 两点，$ P $ 是 $ \overset{\frown}{AB} $ 上一点(不与 $ A $，$ B $ 重合)，连接 $ OP $，设 $ ∠ POB = α $，则点 $ P $ 的坐标是(
A.$ (\sin α,\sin α) $
B.$ (\cos α,\cos α) $
C.$ (\cos α,\sin α) $
D.$ (\sin α,\cos α) $
C
)A.$ (\sin α,\sin α) $
B.$ (\cos α,\cos α) $
C.$ (\cos α,\sin α) $
D.$ (\sin α,\cos α) $
答案
10. C
解析
过点 $ P $ 作 $ PC ⊥ x $ 轴于点 $ C $，$ PD ⊥ y $ 轴于点 $ D $。
在 $ \mathrm{Rt}△ POC $ 中，$ OP = 1 $，$ ∠ POB = α $，
则 $ OC = OP · \cosα = \cosα $，$ PC = OP · \sinα = \sinα $。
因此，点 $ P $ 的坐标为 $ (\cosα, \sinα) $。
C
在 $ \mathrm{Rt}△ POC $ 中，$ OP = 1 $，$ ∠ POB = α $，
则 $ OC = OP · \cosα = \cosα $，$ PC = OP · \sinα = \sinα $。
因此，点 $ P $ 的坐标为 $ (\cosα, \sinα) $。
C
11. 如图，在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC = 5 $，$ BC = 6 $.求 $ \sin B $，$ \cos B $ 和 $ \tan B $ 的值.
答案
11. $ \sin B=\frac{4}{5} $，$ \cos B=\frac{3}{5} $，$ \tan B=\frac{4}{3} $
解析
过点 $ A $ 作 $ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $.
因为 $ AB = AC $，所以 $ BD = \frac{1}{2}BC = 3 $.
在 $ \mathrm{Rt}△ ABD $ 中，$ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 $.
$ \sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{5} $，
$ \cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{3}{5} $，
$ \tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{4}{3} $.
因为 $ AB = AC $，所以 $ BD = \frac{1}{2}BC = 3 $.
在 $ \mathrm{Rt}△ ABD $ 中，$ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 $.
$ \sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{5} $，
$ \cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{3}{5} $，
$ \tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{4}{3} $.
12. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ D $ 为 $ AC $ 上一点，已知 $ AD = 4 $，$ AB = 15 $，$ \sin A = \dfrac{4}{5} $，求 $ \tan ∠ BDC $ 的值.
答案
12. 在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ ACB=90^{\circ} $，$ AD=4 $，$ AB=15 $，$ \sin A=\frac{4}{5} $，$ \therefore \sin A=\frac{BC}{AB} $，即 $ \frac{BC}{15}=\frac{4}{5} $，可得 $ BC=12 $，根据勾股定理得 $ AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=9 $，$ \therefore DC=AC-AD=9-4=5 $，在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ \tan ∠ BDC=\frac{BC}{DC}=\frac{12}{5} $。
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{5}$，$AB=15$，
$\therefore BC=AB· \sin A=15× \dfrac{4}{5}=12$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$，
$\because AD=4$，
$\therefore DC=AC-AD=9-4=5$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\tan ∠ BDC=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{12}{5}$。
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{5}$，$AB=15$，
$\therefore BC=AB· \sin A=15× \dfrac{4}{5}=12$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$，
$\because AD=4$，
$\therefore DC=AC-AD=9-4=5$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\tan ∠ BDC=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{12}{5}$。
13. 如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 为原点，点 $ A $ 的坐标为 $ (10,0) $，点 $ B $ 在第一象限内，$ BO = 5 $，$ \sin ∠ BOA = \dfrac{3}{5} $.求：
（1）点 $ B $ 的坐标；
（2）$ \cos ∠ BAO $ 的值.
（1）点 $ B $ 的坐标；
（2）$ \cos ∠ BAO $ 的值.
答案
13. (1) 过点 $ B $ 作 $ BD⊥ OA $，垂足为点 $ D $，$ \because \sin ∠ BOA=\frac{BD}{BO}=\frac{3}{5} $，$ BO=5 $，$ \therefore BD=3 $，$ \therefore OD=\sqrt{OB^{2}-BD^{2}}=4 $，$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ (4,3) $；(2) $ \because AO=OD+AD=10 $，$ OD=4 $，$ \therefore AD=6 $，$ \therefore AB=\sqrt{BD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5} $，$ \therefore \cos ∠ BAO=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5} $。
