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1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，若 $ \sin A = \frac{5}{13} $，则 $ \cos A $ 的值为(
A.$ \frac{12}{13} $
B.$ \frac{5}{12} $
C.$ \frac{12}{5} $
D.$ \frac{13}{12} $
A
)A.$ \frac{12}{13} $
B.$ \frac{5}{12} $
C.$ \frac{12}{5} $
D.$ \frac{13}{12} $
答案
1.A
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\sin A=\frac{5}{13}$。
设$BC=5k$，$AB=13k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(13k)^{2}-(5k)^{2}}=\sqrt{169k^{2}-25k^{2}}=\sqrt{144k^{2}}=12k$。
则$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$。
A
设$BC=5k$，$AB=13k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(13k)^{2}-(5k)^{2}}=\sqrt{169k^{2}-25k^{2}}=\sqrt{144k^{2}}=12k$。
则$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$。
A
2. 已知 $ \sin 6^{\circ} = a $，$ \sin 36^{\circ} = b $，则 $ \sin^{2}6^{\circ} $ 的值为(
A.$ a^{2} $
B.$ 2a $
C.$ b^{2} $
D.$ b $
A
)A.$ a^{2} $
B.$ 2a $
C.$ b^{2} $
D.$ b $
答案
2.A
解析
已知$\sin 6^{\circ} = a$，则$\sin^{2}6^{\circ}=a^{2}$。
A
A
3. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ a $，$ b $ 分别是 $ ∠ A $，$ ∠ B $ 的对边，如果 $ \sin A:\sin B = 2:3 $，那么 $ a:b $ 等于(
A.$ 2:3 $
B.$ 3:2 $
C.$ 4:9 $
D.$ 9:4 $
A
)A.$ 2:3 $
B.$ 3:2 $
C.$ 4:9 $
D.$ 9:4 $
答案
3.A
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，由正弦定义得$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$。
因为$\sin A:\sin B = 2:3$，所以$\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=2:3$，即$a:b=2:3$。
A
因为$\sin A:\sin B = 2:3$，所以$\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=2:3$，即$a:b=2:3$。
A
4. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ \sin A = \frac{3}{5} $，则 $ \tan A · \cos A $ 的值是(
A.$ \frac{3}{5} $
B.$ \frac{4}{5} $
C.$ \frac{9}{25} $
D.$ \frac{16}{25} $
A
)A.$ \frac{3}{5} $
B.$ \frac{4}{5} $
C.$ \frac{9}{25} $
D.$ \frac{16}{25} $
答案
4.A
解析
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，根据三角函数定义：
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$，
则$\tan A·\cos A=\frac{\sin A}{\cos A}·\cos A=\sin A$，
已知$\sin A=\frac{3}{5}$，
所以$\tan A·\cos A=\frac{3}{5}$。
A
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$，
则$\tan A·\cos A=\frac{\sin A}{\cos A}·\cos A=\sin A$，
已知$\sin A=\frac{3}{5}$，
所以$\tan A·\cos A=\frac{3}{5}$。
A
5. 在 $ △ ABC $ 中，$ AB = c $，$ BC = a $，$ AC = b $，$ ∠ C = 90^{\circ} $，则 $ \cos A · \tan A $ 的值是(
A.$ \frac{a}{c} $
B.$ \frac{c}{a} $
C.$ \frac{a}{b} $
D.$ \frac{b}{a} $
A
)A.$ \frac{a}{c} $
B.$ \frac{c}{a} $
C.$ \frac{a}{b} $
D.$ \frac{b}{a} $
答案
5.A
解析
解：在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AB=c$，$BC=a$，$AC=b$。
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}$。
$\cos A·\tan A=\frac{b}{c}·\frac{a}{b}=\frac{a}{c}$。
答案：A
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}$。
$\cos A·\tan A=\frac{b}{c}·\frac{a}{b}=\frac{a}{c}$。
答案：A
6. 如图，在矩形纸片 $ ABCD $ 中，$ AB = 5 $，$ BC = 3 $，将 $ △ BCD $ 沿 $ BD $ 折叠到 $ △ BED $ 位置，$ DE $ 交 $ AB $ 于点 $ F $，则 $ \cos ∠ ADF $ 的值为(
A.$ \frac{8}{17} $
B.$ \frac{7}{15} $
C.$ \frac{15}{17} $
D.$ \frac{8}{15} $
C
)A.$ \frac{8}{17} $
B.$ \frac{7}{15} $
C.$ \frac{15}{17} $
D.$ \frac{8}{15} $
答案
6.C
解析
解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD = BC = 3$，$AB = CD = 5$，$∠ A = 90°$，$AB // CD$，
∴ $∠ CDB = ∠ ABD$。
由折叠性质得：$∠ CDB = ∠ FDB$，$DE = CD = 5$，
∴ $∠ FDB = ∠ ABD$，
∴ $BF = DF$。
设 $AF = x$，则 $BF = AB - AF = 5 - x$，$DF = 5 - x$。
在 $Rt△ ADF$ 中，由勾股定理得：
$AD^2 + AF^2 = DF^2$，
即 $3^2 + x^2 = (5 - x)^2$，
解得 $x = \frac{8}{5}$，
∴ $DF = 5 - \frac{8}{5} = \frac{17}{5}$，
∴ $\cos ∠ ADF = \frac{AD}{DF} = \frac{3}{\frac{17}{5}} = \frac{15}{17}$。
答案：$\boxed{C}$
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD = BC = 3$，$AB = CD = 5$，$∠ A = 90°$，$AB // CD$，
∴ $∠ CDB = ∠ ABD$。
由折叠性质得：$∠ CDB = ∠ FDB$，$DE = CD = 5$，
∴ $∠ FDB = ∠ ABD$，
∴ $BF = DF$。
设 $AF = x$，则 $BF = AB - AF = 5 - x$，$DF = 5 - x$。
在 $Rt△ ADF$ 中，由勾股定理得：
$AD^2 + AF^2 = DF^2$，
即 $3^2 + x^2 = (5 - x)^2$，
解得 $x = \frac{8}{5}$，
∴ $DF = 5 - \frac{8}{5} = \frac{17}{5}$，
∴ $\cos ∠ ADF = \frac{AD}{DF} = \frac{3}{\frac{17}{5}} = \frac{15}{17}$。
答案：$\boxed{C}$
7. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，若 $ \sin A = \frac{4}{5} $，则 $ \cos B = $
$\frac{4}{5}$
。答案
7.$\frac{4}{5}$
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90^{\circ}$，
$\therefore \cos B = \sin A$，
$\because \sin A = \frac{4}{5}$，
$\therefore \cos B = \frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90^{\circ}$，
$\therefore \cos B = \sin A$，
$\because \sin A = \frac{4}{5}$，
$\therefore \cos B = \frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$
8. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，$ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 都在格点处，$ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ P $，则 $ \cos ∠ APC $ 的值为
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
。答案
8.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
9. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 10 $，$ \cos B = \frac{12}{13} $，求 $ AB $ 和 $ \sin B $ 的值。
答案
9.AB=26,sinB=$\frac{5}{13}$
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$，设$BC=12k$，$AB=13k$（$k＞0$）。
由勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$10^{2}+(12k)^{2}=(13k)^{2}$，$100 + 144k^{2}=169k^{2}$，$25k^{2}=100$，$k^{2}=4$，$k=2$（$k=-2$舍去）。
所以$AB=13k=13×2=26$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$。
$AB=26$，$\sin B=\frac{5}{13}$
由勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$10^{2}+(12k)^{2}=(13k)^{2}$，$100 + 144k^{2}=169k^{2}$，$25k^{2}=100$，$k^{2}=4$，$k=2$（$k=-2$舍去）。
所以$AB=13k=13×2=26$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$。
$AB=26$，$\sin B=\frac{5}{13}$
