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10. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，点 $ D $ 在 $ BC $ 上，$ AD = BC = 5 $，$ \cos ∠ ADC = \frac{3}{5} $，求 $ \sin B $ 的值。
答案
10.
∵AD=BC=5,cos∠ADC=$\frac{3}{5}$，
∴CD=3,在Rt△ACD中,
∵AD=5,CD=3,
∴AC=$\sqrt{AD^{2} - CD^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$。在Rt△ACB中,
∵AC=4,BC=5,
∴AB=$\sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{41}$，
∴sinB=$\frac{AC}{AB} = \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{4\sqrt{41}}{41}$。
∵AD=BC=5,cos∠ADC=$\frac{3}{5}$，
∴CD=3,在Rt△ACD中,
∵AD=5,CD=3,
∴AC=$\sqrt{AD^{2} - CD^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$。在Rt△ACB中,
∵AC=4,BC=5,
∴AB=$\sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{41}$，
∴sinB=$\frac{AC}{AB} = \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{4\sqrt{41}}{41}$。
11. 已知 $ α $ 为锐角，则 $ m = \sin α + \cos α $ 的值(
A.$ m ＞ 1 $
B.$ m = 1 $
C.$ m ＜ 1 $
D.$ m ≥ 1 $
A
)A.$ m ＞ 1 $
B.$ m = 1 $
C.$ m ＜ 1 $
D.$ m ≥ 1 $
答案
11.A
解析
设直角三角形中，锐角$α$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$。
则$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$，所以$m = \sinα + \cosα=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a + b}{c}$。
因为在三角形中，两边之和大于第三边，即$a + b＞c$，所以$\frac{a + b}{c}＞1$，即$m＞1$。
A
则$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$，所以$m = \sinα + \cosα=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a + b}{c}$。
因为在三角形中，两边之和大于第三边，即$a + b＞c$，所以$\frac{a + b}{c}＞1$，即$m＞1$。
A
12. 已知 $ α $ 为锐角，化简：$ \sqrt{\sin^{2}α - 2\sin α + 1} = $
1−sinα
。答案
12.1−sinα
解析
$\sqrt{\sin^{2}α - 2\sinα + 1}$
$=\sqrt{(\sinα - 1)^{2}}$
$=| \sinα - 1 |$
因为$α$为锐角，所以$0 ＜ \sinα ＜ 1$，则$\sinα - 1 ＜ 0$
所以$| \sinα - 1 | = 1 - \sinα$
$1 - \sinα$
$=\sqrt{(\sinα - 1)^{2}}$
$=| \sinα - 1 |$
因为$α$为锐角，所以$0 ＜ \sinα ＜ 1$，则$\sinα - 1 ＜ 0$
所以$| \sinα - 1 | = 1 - \sinα$
$1 - \sinα$
13. 已知：如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $。
（1）求证：$ \sin^{2}A + \cos^{2}A = 1 $；
（2）若 $ \sin A + \cos A = \frac{4}{3} $，求 $ \sin A · \cos A $ 的值。
（1）求证：$ \sin^{2}A + \cos^{2}A = 1 $；
（2）若 $ \sin A + \cos A = \frac{4}{3} $，求 $ \sin A · \cos A $ 的值。
答案
13.(1)
∵sinA=$\frac{BC}{AB}$，cosA=$\frac{AC}{AB}$，
∴sin²A+cos²A=$\frac{BC^{2} + AC^{2}}{AB^{2}}$。
∵∠C = 90°，
∴根据勾股定理，得BC² + AC² = AB²，
∴sin²A+cos²A = 1；(2)
∵sinA + cosA = $\frac{4}{3}$，
∴(sinA + cosA)² = ($\frac{4}{3}$)²，即sin²A + cos²A + 2sinA·cosA = $\frac{16}{9}$。
∵sin²A + cos²A = 1，
∴1 + 2sinA·cosA = $\frac{16}{9}$，
∴sinA·cosA = $\frac{7}{18}$。
∵sinA=$\frac{BC}{AB}$，cosA=$\frac{AC}{AB}$，
∴sin²A+cos²A=$\frac{BC^{2} + AC^{2}}{AB^{2}}$。
∵∠C = 90°，
∴根据勾股定理，得BC² + AC² = AB²，
∴sin²A+cos²A = 1；(2)
∵sinA + cosA = $\frac{4}{3}$，
∴(sinA + cosA)² = ($\frac{4}{3}$)²，即sin²A + cos²A + 2sinA·cosA = $\frac{16}{9}$。
∵sin²A + cos²A = 1，
∴1 + 2sinA·cosA = $\frac{16}{9}$，
∴sinA·cosA = $\frac{7}{18}$。
14. 如图，半径为 10 的 $ \odot O $ 内有一点 $ A $，$ OA = 6 $，点 $ P $ 在 $ \odot O $ 上，当 $ ∠ OPA $ 最大时，$ S_{△ OPA} $ 等于(
A.34
B.36
C.24
D.48
C
)A.34
B.36
C.24
D.48
答案
14.C
解析
解：在△OPA中，由正弦定理得$\frac{OA}{\sin∠ OPA}=\frac{OP}{\sin∠ OAP}$。
已知$OP=10$，$OA=6$，则$\sin∠ OPA=\frac{OA·\sin∠ OAP}{OP}=\frac{6\sin∠ OAP}{10}=\frac{3}{5}\sin∠ OAP$。
因为$\sin∠ OAP≤1$，所以当$\sin∠ OAP=1$，即$∠ OAP=90°$时，$\sin∠ OPA$最大，此时$∠ OPA$最大。
此时$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
$S_{△ OPA}=\frac{1}{2}× OA× PA=\frac{1}{2}×6×8=24$。
答案：C
已知$OP=10$，$OA=6$，则$\sin∠ OPA=\frac{OA·\sin∠ OAP}{OP}=\frac{6\sin∠ OAP}{10}=\frac{3}{5}\sin∠ OAP$。
因为$\sin∠ OAP≤1$，所以当$\sin∠ OAP=1$，即$∠ OAP=90°$时，$\sin∠ OPA$最大，此时$∠ OPA$最大。
此时$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
$S_{△ OPA}=\frac{1}{2}× OA× PA=\frac{1}{2}×6×8=24$。
答案：C
15. （2024·浙江）如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AD ⊥ BC $，$ AE $ 是 $ BC $ 边上的中线，$ AB = 10 $，$ AD = 6 $，$ \tan ∠ ACB = 1 $。求：
（1）$ BC $ 的长；
（2）$ \sin ∠ DAE $ 的值。
（1）$ BC $ 的长；
（2）$ \sin ∠ DAE $ 的值。
答案
15.(1)
∵AD⊥BC，AB = 10，AD = 6，
∴BD = $\sqrt{AB^{2} - AD^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$。
∵tan∠ACB = 1，
∴CD = AD = 6，
∴BC = BD + CD = 8 + 6 = 14；(2)
∵AE是BC边上的中线，
∴CE = $\frac{1}{2}$BC = 7，
∴DE = CE - CD = 7 - 6 = 1。
∵AD⊥BC，
∴AE = $\sqrt{AD^{2} + DE^{2}} = \sqrt{6^{2} + 1^{2}} = \sqrt{37}$，
∴sin∠DAE = $\frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$。
