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1. (2024·宿豫期末)下列各式成立的是(
A.$\sqrt {(-2)^{2}}=-2$
B.$\sqrt {(-2)^{2}}=2$
C.$\sqrt {(-2)^{2}}=\pm 2$
D.$\sqrt {(-2)^{2}}=4$
B
)A.$\sqrt {(-2)^{2}}=-2$
B.$\sqrt {(-2)^{2}}=2$
C.$\sqrt {(-2)^{2}}=\pm 2$
D.$\sqrt {(-2)^{2}}=4$
答案
1. B
2. 若 $x$ 为任意实数,则下列各式成立的是(
A.$\sqrt {x^{4}}=x^{2}$
B.$\sqrt {x^{4}}=-x^{2}$
C.$\sqrt {x^{2}}=x$
D.$\sqrt {x^{2}}=-x$
A
)A.$\sqrt {x^{4}}=x^{2}$
B.$\sqrt {x^{4}}=-x^{2}$
C.$\sqrt {x^{2}}=x$
D.$\sqrt {x^{2}}=-x$
答案
2. A
3. (易错题)若实数 $x$ 满足$\sqrt {x^{2}}=33$,则 $x$ 的值为
±33
.答案
3. ±33 [易错分析]忽略 $\sqrt{a^{2}} = |a|$ 而致错.
4. 如果实数 $a$ 满足$\sqrt {(2a - 1)^{2}}=2a - 1$,那么 $a$ 的取值范围是
$a ≥ \frac{1}{2}$
.答案
4. $a ≥ \frac{1}{2}$
解析
解：由题意得，$\sqrt{(2a - 1)^2} = 2a - 1$，根据二次根式的性质，$\sqrt{x^2} = |x|$，所以$|2a - 1| = 2a - 1$，绝对值等于本身的数是非负数，因此$2a - 1 ≥ 0$，解得$a ≥ \frac{1}{2}$。
$a ≥ \frac{1}{2}$
$a ≥ \frac{1}{2}$
5. (2025·宿豫期末改编)实数 $a$ 在数轴上的对应点的位置如图所示,化简:$\sqrt {a^{2}}+\sqrt {(a + 2)^{2}}=$
]
2
.]答案
5. 2
解析
解：由数轴可知，$-2 ＜ a ＜ -1$，则$a ＜ 0$，$a + 2 ＞ 0$。
$\sqrt{a^2} + \sqrt{(a + 2)^2} = |a| + |a + 2| = -a + (a + 2) = 2$。
2
$\sqrt{a^2} + \sqrt{(a + 2)^2} = |a| + |a + 2| = -a + (a + 2) = 2$。
2
6. 计算:
(1) $\sqrt {(-\dfrac {2}{3})^{2}}$;
(2) $\sqrt {64a^{2}}(a≥ 0)$;
(3) $\sqrt {(3 - \sqrt {13})^{2}}$.
(1) $\sqrt {(-\dfrac {2}{3})^{2}}$;
(2) $\sqrt {64a^{2}}(a≥ 0)$;
(3) $\sqrt {(3 - \sqrt {13})^{2}}$.
答案
6. (1) $\frac{2}{3}$ (2) $8a$ (3) $\sqrt{13} - 3$
解析
(1) $\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^{2}}=\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$
(2) $\sqrt{64a^{2}}=\sqrt{(8a)^{2}}=|8a|$，因为$a≥0$，所以$|8a|=8a$
(3) $\sqrt{(3 - \sqrt{13})^{2}}=|3 - \sqrt{13}|$，因为$3＜\sqrt{13}$，所以$|3 - \sqrt{13}|=\sqrt{13}-3$
(2) $\sqrt{64a^{2}}=\sqrt{(8a)^{2}}=|8a|$，因为$a≥0$，所以$|8a|=8a$
(3) $\sqrt{(3 - \sqrt{13})^{2}}=|3 - \sqrt{13}|$，因为$3＜\sqrt{13}$，所以$|3 - \sqrt{13}|=\sqrt{13}-3$
7. 若 $1＜ x＜ 2$,则化简$\vert x - 3\vert+\sqrt {(x - 1)^{2}}$的结果是(
A.$2x - 4$
B.$-2$
C.$4 - 2x$
D.$2$
D
)A.$2x - 4$
B.$-2$
C.$4 - 2x$
D.$2$
答案
7. D
解析
因为$1 ＜ x ＜ 2$，所以$x - 3 ＜ 0$，$x - 1 ＞ 0$。
$\vert x - 3\vert = 3 - x$，$\sqrt{(x - 1)^2} = x - 1$。
则$\vert x - 3\vert+\sqrt{(x - 1)^2} = (3 - x) + (x - 1) = 3 - x + x - 1 = 2$。
D
$\vert x - 3\vert = 3 - x$，$\sqrt{(x - 1)^2} = x - 1$。
则$\vert x - 3\vert+\sqrt{(x - 1)^2} = (3 - x) + (x - 1) = 3 - x + x - 1 = 2$。
D
8. (2025·沭阳期末)实数 $a,b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简$(\sqrt {a})^{2}+\sqrt {(b - a)^{2}}-\sqrt {(a + b)^{2}}$的结果为(
A.$3a$
B.$2b - a$
C.$a + 2b$
D.$a - 2b$
A
)A.$3a$
B.$2b - a$
C.$a + 2b$
D.$a - 2b$
答案
8. A
解析
解：由数轴可知，$b ＜ 0 ＜ a$，且$|b| ＞ a$，则$b - a ＜ 0$，$a + b ＜ 0$。
$\begin{aligned}(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{(b - a)^{2}}-\sqrt{(a + b)^{2}}&=a + |b - a| - |a + b|\\&=a + (a - b) - [-(a + b)]\\&=a + a - b + a + b\\&=3a\end{aligned}$
A
$\begin{aligned}(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{(b - a)^{2}}-\sqrt{(a + b)^{2}}&=a + |b - a| - |a + b|\\&=a + (a - b) - [-(a + b)]\\&=a + a - b + a + b\\&=3a\end{aligned}$
A
9. 已知化简$\sqrt {(3 - a)^{2}}+\sqrt {(a - 5)^{2}}$的结果为 $2$,则实数 $a$ 应满足的条件为(
A.$a≥ 5$
B.$3≤ a≤ 5$
C.$a≤ 3$
D.$a = 3$ 或 $a = 5$
B
)A.$a≥ 5$
B.$3≤ a≤ 5$
C.$a≤ 3$
D.$a = 3$ 或 $a = 5$
答案
9. B
解析
$\sqrt{(3 - a)^2} + \sqrt{(a - 5)^2} = |3 - a| + |a - 5|$
当$a ＜ 3$时，$|3 - a| + |a - 5| = (3 - a) + (5 - a) = 8 - 2a$，令$8 - 2a = 2$，解得$a = 3$，与$a ＜ 3$矛盾，舍去；
当$3 ≤ a ≤ 5$时，$|3 - a| + |a - 5| = (a - 3) + (5 - a) = 2$，符合题意；
当$a ＞ 5$时，$|3 - a| + |a - 5| = (a - 3) + (a - 5) = 2a - 8$，令$2a - 8 = 2$，解得$a = 5$，与$a ＞ 5$矛盾，舍去。
综上，实数$a$应满足的条件为$3 ≤ a ≤ 5$。
B
当$a ＜ 3$时，$|3 - a| + |a - 5| = (3 - a) + (5 - a) = 8 - 2a$，令$8 - 2a = 2$，解得$a = 3$，与$a ＜ 3$矛盾，舍去；
当$3 ≤ a ≤ 5$时，$|3 - a| + |a - 5| = (a - 3) + (5 - a) = 2$，符合题意；
当$a ＞ 5$时，$|3 - a| + |a - 5| = (a - 3) + (a - 5) = 2a - 8$，令$2a - 8 = 2$，解得$a = 5$，与$a ＞ 5$矛盾，舍去。
综上，实数$a$应满足的条件为$3 ≤ a ≤ 5$。
B
10. 若实数 $m$ 满足$\sqrt {(m + 4)^{2}}=(\sqrt {m + 4})^{2}$,则 $m$ 的取值范围是
$m ≥ -4$
.答案
10. $m ≥ -4$
解析
$m ≥ -4$
11. 若实数 $x$ 满足$\sqrt {x^{2}-4x + 4}+x = 2$,则 $x$ 的取值范围是
$x ≤ 2$
.答案
11. $x ≤ 2$
解析
解：$\sqrt{x^2 - 4x + 4} + x = 2$
$\sqrt{(x - 2)^2} + x = 2$
$|x - 2| + x = 2$
当$x ≥ 2$时，$x - 2 + x = 2$，$2x = 4$，$x = 2$
当$x ＜ 2$时，$2 - x + x = 2$，$2 = 2$恒成立
综上，$x ≤ 2$
$x ≤ 2$
$\sqrt{(x - 2)^2} + x = 2$
$|x - 2| + x = 2$
当$x ≥ 2$时，$x - 2 + x = 2$，$2x = 4$，$x = 2$
当$x ＜ 2$时，$2 - x + x = 2$，$2 = 2$恒成立
综上，$x ≤ 2$
$x ≤ 2$
