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9. (易错题)(2025·广州)要使式子$\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 3}$有意义，则实数$x$的取值范围是_______.
答案
.9.x≥−1且x≠3 [易错分析]容易忽略分母不为0致错.
解析
要使式子$\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 3}$有意义，需满足：
1. 二次根式被开方数非负：$x + 1 ≥ 0$，解得$x ≥ -1$；
2. 分母不为零：x - 3 ≠ 0，解得x ≠3。
综上，实数$x$的取值范围是$x ≥ -1$且x≠3。
1. 二次根式被开方数非负：$x + 1 ≥ 0$，解得$x ≥ -1$；
2. 分母不为零：x - 3 ≠ 0，解得x ≠3。
综上，实数$x$的取值范围是$x ≥ -1$且x≠3。
10. 计算：
(1) $(-\frac{3\sqrt{5}}{5})^{2} =$
(2) $(\sqrt{10^{-2}})^{2} - (\sqrt{10})^{2} =$
(1) $(-\frac{3\sqrt{5}}{5})^{2} =$
$ \frac{9}{5} $
；(2) $(\sqrt{10^{-2}})^{2} - (\sqrt{10})^{2} =$
$ -9 \frac{99}{100} $
.答案
10. (1) $ \frac{9}{5} $ (2) $ -9 \frac{99}{100} $
解析
(1) $(-\frac{3\sqrt{5}}{5})^2 = (\frac{3\sqrt{5}}{5})^2 = \frac{(3\sqrt{5})^2}{5^2} = \frac{9×5}{25} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$；
(2) $(\sqrt{10^{-2}})^2 - (\sqrt{10})^2 = 10^{-2} - 10 = \frac{1}{100} - 10 = -9\frac{99}{100}$
(2) $(\sqrt{10^{-2}})^2 - (\sqrt{10})^2 = 10^{-2} - 10 = \frac{1}{100} - 10 = -9\frac{99}{100}$
11. (2024·上海)已知实数$x$满足$\sqrt{2x - 1} = 1$，则$x$的值为
1
.答案
11. 1
解析
$\sqrt{2x - 1} = 1$
两边平方得：$2x - 1 = 1$
移项得：$2x = 1 + 1$
计算得：$2x = 2$
解得：$x = 1$
经检验，$x = 1$是原方程的解。
1
两边平方得：$2x - 1 = 1$
移项得：$2x = 1 + 1$
计算得：$2x = 2$
解得：$x = 1$
经检验，$x = 1$是原方程的解。
1
12. 要使下列各式有意义，$x$应是怎样的实数？
(1) $-\sqrt{6 - 5x}$；
(2) $\sqrt{-(x - 6)^{2}}$；
(3) $\frac{\sqrt{3 - 2x}}{x - 2}$；
(4) $\sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 1}$.
(1) $-\sqrt{6 - 5x}$；
(2) $\sqrt{-(x - 6)^{2}}$；
(3) $\frac{\sqrt{3 - 2x}}{x - 2}$；
(4) $\sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 1}$.
答案
12. (1) $ x ≤ \frac{6}{5} $ (2) $ x = 6 $ (3) $ x ≤ \frac{3}{2} $ (4) $ 1 ≤ x ≤ 2 $
解析
(1) 要使$-\sqrt{6 - 5x}$有意义，则$6 - 5x ≥ 0$，解得$x ≤ \frac{6}{5}$。
(2) 要使$\sqrt{-(x - 6)^{2}}$有意义，则$-(x - 6)^{2} ≥ 0$，即$(x - 6)^{2} ≤ 0$，因为$(x - 6)^{2} ≥ 0$，所以$x - 6 = 0$，解得$x = 6$。
(3) 要使$\frac{\sqrt{3 - 2x}}{x - 2}$有意义，则$\begin{cases}3 - 2x ≥ 0 \\ x - 2 ≠ 0\end{cases}$，由$3 - 2x ≥ 0$得$x ≤ \frac{3}{2}$，由$x - 2 ≠ 0$得$x ≠ 2$，所以$x ≤ \frac{3}{2}$。
(4) 要使$\sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 1}$有意义，则$\begin{cases}2 - x ≥ 0 \\ x - 1 ≥ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x ≤ 2 \\ x ≥ 1\end{cases}$，即$1 ≤ x ≤ 2$。
(2) 要使$\sqrt{-(x - 6)^{2}}$有意义，则$-(x - 6)^{2} ≥ 0$，即$(x - 6)^{2} ≤ 0$，因为$(x - 6)^{2} ≥ 0$，所以$x - 6 = 0$，解得$x = 6$。
(3) 要使$\frac{\sqrt{3 - 2x}}{x - 2}$有意义，则$\begin{cases}3 - 2x ≥ 0 \\ x - 2 ≠ 0\end{cases}$，由$3 - 2x ≥ 0$得$x ≤ \frac{3}{2}$，由$x - 2 ≠ 0$得$x ≠ 2$，所以$x ≤ \frac{3}{2}$。
(4) 要使$\sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 1}$有意义，则$\begin{cases}2 - x ≥ 0 \\ x - 1 ≥ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x ≤ 2 \\ x ≥ 1\end{cases}$，即$1 ≤ x ≤ 2$。
13. (2024·沭阳期末)已知$x$，$y$是实数，且满足$y = \sqrt{x - 2024} + \sqrt{2024 - x}$，求$x^{y}$的值.
答案
13. $ \because x $，$ y $是实数，且满足$ y = \sqrt{x - 2024} + \sqrt{2024 - x} $，$ \therefore \{ \begin{array} { l } { x - 2024 ≥ 0, } \\ { 2024 - x ≥ 0, } \end{array} $解得$ x = 2024 $. $ \therefore y = 0 $. $ \therefore x ^ { y } = 2024 ^ { 0 } = 1 $
14. 请判断是否存在整数$a$，使它同时满足下列条件：① 式子$\sqrt{a - 13}$和$\sqrt{20 - a}$在实数范围内均有意义；② $\sqrt{a}$的值仍为整数；③ 若$b = \sqrt{a}$，则$\sqrt{b}$也是整数. 若存在，请求出$a$的值；若不存在，请说明理由.
答案
14. 存在 由条件①，可得$ \{ \begin{array} { l } { a - 13 ≥ 0, } \\ { 20 - a ≥ 0, } \end{array} $解得$ 13 ≤ a ≤ 20 $. $ \therefore $整数$ a $的取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20.其中，符合条件②的整数$ a $只有16，且$ a = 16 $同时符合条件③. $ \therefore a $的值为16
解析
存在
由条件①，可得$\{ \begin{array}{l} a - 13 ≥ 0, \\ 20 - a ≥ 0, \end{array} $解得$13 ≤ a ≤ 20$.
整数$a$的取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20.
由条件②，$\sqrt{a}$为整数，符合条件的整数$a$为16.
由条件③，$b = \sqrt{16} = 4$，则$\sqrt{b} = \sqrt{4} = 2$，是整数.
$\therefore a$的值为16.
由条件①，可得$\{ \begin{array}{l} a - 13 ≥ 0, \\ 20 - a ≥ 0, \end{array} $解得$13 ≤ a ≤ 20$.
整数$a$的取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20.
由条件②，$\sqrt{a}$为整数，符合条件的整数$a$为16.
由条件③，$b = \sqrt{16} = 4$，则$\sqrt{b} = \sqrt{4} = 2$，是整数.
$\therefore a$的值为16.
