11. 用适当的方法解下列方程：
（1）$\frac {1}{2}x(x+2)=\frac {3}{4}-\frac {1}{2}x$；
（2）$(5x-1)(2x+4)=3x+6$；
（3）$4(2x-1)^{2}-9(x+1)^{2}=0$；
（4）$4(t-5)^{2}+4(5-t)+1=0$.

11. (1) $ x_{1}=\frac{-3+\sqrt{15}}{2}, x_{2}=\frac{-3-\sqrt{15}}{2} $ (2) $ x_{1}=-2, x_{2}=\frac{1}{2} $ (3) $ x_{1}=5, x_{2}=-\frac{1}{7} $ (4) $ t_{1}=t_{2}=\frac{11}{2} $

（1）方程两边同乘4得：$2x(x+2)=3-2x$，
展开得：$2x^2 + 4x = 3 - 2x$，
移项合并同类项得：$2x^2 + 6x - 3 = 0$，
$a=2$，$b=6$，$c=-3$，
$\Delta = 6^2 - 4×2×(-3) = 36 + 24 = 60$，
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2×2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$，
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$，$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$；
（2）原方程变形为$(5x - 1)(2x + 4) - 3(x + 2) = 0$，
提取公因式得$(5x - 1)×2(x + 2) - 3(x + 2) = 0$，
即$(x + 2)(10x - 2 - 3) = 0$，
$(x + 2)(10x - 5) = 0$，
$x + 2 = 0$或$10x - 5 = 0$，
$x_1 = -2$，$x_2 = \frac{1}{2}$；
（3）原方程变形为$[2(2x - 1)]^2 - [3(x + 1)]^2 = 0$，
利用平方差公式得$[2(2x - 1) + 3(x + 1)][2(2x - 1) - 3(x + 1)] = 0$，
即$(4x - 2 + 3x + 3)(4x - 2 - 3x - 3) = 0$，
$(7x + 1)(x - 5) = 0$，
$7x + 1 = 0$或$x - 5 = 0$，
$x_1 = 5$，$x_2 = -\frac{1}{7}$；
（4）原方程变形为$4(t - 5)^2 - 4(t - 5) + 1 = 0$，
令$m = t - 5$，则方程为$4m^2 - 4m + 1 = 0$，
$(2m - 1)^2 = 0$，
$2m - 1 = 0$，
$m = \frac{1}{2}$，
即$t - 5 = \frac{1}{2}$，
$t = \frac{11}{2}$，
$t_1 = t_2 = \frac{11}{2}$。

12. 已知关于x的一元二次方程$mx^{2}-(3m-1)x+2m-1=0$的根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根.

12. 根据题意, 得 $ m\neq0 $, 且 $ b^{2}-4ac=[-(3m-1)]^{2}-4m(2m-1)=m^{2}-2m+1=1 $, 解得 $ m_{1}=0 $ (不合题意, 舍去), $ m_{2}=2 $. $ \therefore m=2 $, $ \therefore $ 原方程为 $ 2x^{2}-5x+3=0 $, 解得 $ x_{1}=\frac{3}{2} $, $ x_{2}=1 $

解：因为方程是一元二次方程，所以$m\neq0$。
根的判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，其中$a = m$，$b=-(3m - 1)$，$c=2m - 1$。
$\Delta=[-(3m - 1)]^{2}-4m(2m - 1)$
$=(3m - 1)^{2}-4m(2m - 1)$
$=9m^{2}-6m + 1 - 8m^{2}+4m$
$=m^{2}-2m + 1$
已知$\Delta = 1$，所以$m^{2}-2m + 1=1$，即$m^{2}-2m=0$，$m(m - 2)=0$，解得$m_{1}=0$（不合题意，舍去），$m_{2}=2$。
当$m = 2$时，原方程为$2x^{2}-(3×2 - 1)x + 2×2 - 1=0$，即$2x^{2}-5x + 3=0$。
$a = 2$，$b=-5$，$c = 3$，$\Delta=(-5)^{2}-4×2×3=25 - 24=1$。
$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{5\pm1}{4}$，解得$x_{1}=\frac{5 + 1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=\frac{5 - 1}{4}=\frac{4}{4}=1$。
综上，$m$的值为$2$，方程的根为$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=1$。

13. 已知$\triangle ABC$的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$的两个实数根，第三边BC的长为5.
（1）当k为何值时，$\triangle ABC$是直角三角形？
（2）当k为何值时，$\triangle ABC$是等腰三角形？请求出此时$\triangle ABC$的周长.

13. (1) 由方程 $ x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0 $, 得 $ b^{2}-4ac=[-(2k+3)]^{2}-4(k^{2}+3k+2)=1＞0 $, $ \therefore $ 无论 $ k $ 取何值, 方程总有两个不相等的实数根. 利用求根公式解方程, 得 $ x_{1}=k+1 $, $ x_{2}=k+2 $. 设 $ AB=k+1, AC=k+2 $. $ \because $ 第三边 $ BC $ 的长为 5, $ \therefore $ 当 $ \triangle ABC $ 是直角三角形时, 分两种情况讨论: ① 当 $ BC $ 是斜边时, 有 $ AB^{2}+AC^{2}=BC^{2} $, 即 $ (k+1)^{2}+(k+2)^{2}=5^{2} $, 解得 $ k_{1}=2, k_{2}=-5 $ (不合题意, 舍去); ② 当 $ AC $ 是斜边时, 有 $ AB^{2}+BC^{2}=AC^{2} $, 即 $ (k+1)^{2}+5^{2}=(k+2)^{2} $, 解得 $ k=11 $. $ \therefore $ 当 $ k=2 $ 或 11 时, $ \triangle ABC $ 是直角三角形 (2) 由 (1), 不妨设 $ AB=k+1, AC=k+2 $. $ \because BC=5 $, $ \therefore $ 当 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形时, 分两种情况讨论: ① 当 $ AC=BC=5 $ 时, $ k+2=5 $, $ \therefore k=3 $, 则 $ AB=4 $, 此时 $ \triangle ABC $ 的周长为 14; ② 当 $ AB=BC=5 $ 时, $ k+1=5 $. $ \therefore k=4 $, 则 $ AC=6 $, 此时 $ \triangle ABC $ 的周长为 16. 综上所述, 当 $ k=3 $ 或 4 时, $ \triangle ABC $ 是等腰三角形, $ \triangle ABC $ 的周长分别是 14 或 16

（1）解方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$，判别式$\Delta =[-(2k+3)]^{2}-4(k^{2}+3k+2)=1＞0$，方程有两个不相等实根。由求根公式得$x_{1}=k+1$，$x_{2}=k+2$，设$AB=k+1$，$AC=k+2$。
当$\triangle ABC$是直角三角形时：
若$BC$为斜边，$(k+1)^{2}+(k+2)^{2}=5^{2}$，解得$k=2$（$k=-5$舍去）；
若$AC$为斜边，$(k+1)^{2}+5^{2}=(k+2)^{2}$，解得$k=11$。
故$k=2$或$11$。
（2）当$\triangle ABC$是等腰三角形时：
若$AC=BC=5$，则$k+2=5$，$k=3$，$AB=4$，周长为$4+5+5=14$；
若$AB=BC=5$，则$k+1=5$，$k=4$，$AC=6$，周长为$5+5+6=16$。
综上，$k=3$时周长为$14$；$k=4$时周长为$16$。