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1. (2023·天津)若 $ x_1 $、$ x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 6x - 7 = 0 $ 的两个根，则下列结论正确的是(
A.$ x_1 + x_2 = 6 $
B.$ x_1 + x_2 = -6 $
C.$ x_1x_2 = \frac{7}{6} $
D.$ x_1x_2 = 7 $
A
)A.$ x_1 + x_2 = 6 $
B.$ x_1 + x_2 = -6 $
C.$ x_1x_2 = \frac{7}{6} $
D.$ x_1x_2 = 7 $
答案
1. A
解析
对于一元二次方程$x^2 - 6x - 7 = 0$，其中$a = 1$，$b = -6$，$c = -7$。
根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{1} = -7$。
A选项正确，B、C、D选项错误。
A
根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{1} = -7$。
A选项正确，B、C、D选项错误。
A
2. 下列一元二次方程的两个实数根之和为 -4 的是(
A.$ x^2 + 2x - 4 = 0 $
B.$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
C.$ x^2 + 4x + 10 = 0 $
D.$ x^2 + 4x - 5 = 0 $
D
)A.$ x^2 + 2x - 4 = 0 $
B.$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
C.$ x^2 + 4x + 10 = 0 $
D.$ x^2 + 4x - 5 = 0 $
答案
2. D
解析
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
A选项：$x^2 + 2x - 4 = 0$，$a=1$，$b=2$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2\neq -4$。
B选项：$x^2 - 4x + 4 = 0$，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4\neq -4$。
C选项：$x^2 + 4x + 10 = 0$，判别式$\Delta = 4^2 - 4×1×10=16 - 40=-24＜0$，无实数根。
D选项：$x^2 + 4x - 5 = 0$，$a=1$，$b=4$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$。
D
A选项：$x^2 + 2x - 4 = 0$，$a=1$，$b=2$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2\neq -4$。
B选项：$x^2 - 4x + 4 = 0$，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4\neq -4$。
C选项：$x^2 + 4x + 10 = 0$，判别式$\Delta = 4^2 - 4×1×10=16 - 40=-24＜0$，无实数根。
D选项：$x^2 + 4x - 5 = 0$，$a=1$，$b=4$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$。
D
3. (教材 P23 习题 1.3 第 2 题变式)(2023·怀化)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + mx - 2 = 0 $ 的一个根为 -1，则 $ m $ 的值与另一个根分别为(
A.2、-1
B.-1、2
C.1、-2
D.-2、1
C
)A.2、-1
B.-1、2
C.1、-2
D.-2、1
答案
3. C
解析
设方程的另一个根为$x_1$。
因为$-1$是方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根，将$x=-1$代入方程得：$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$，即$1 - m - 2 = 0$，解得$m = -1$。
由韦达定理，两根之积为$-2$，已知一个根为$-1$，则$-1× x_1 = -2$，解得$x_1 = 2$。
所以$m$的值为$-1$，另一个根为$2$，答案选B。
1
因为$-1$是方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根，将$x=-1$代入方程得：$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$，即$1 - m - 2 = 0$，解得$m = -1$。
由韦达定理，两根之积为$-2$，已知一个根为$-1$，则$-1× x_1 = -2$，解得$x_1 = 2$。
所以$m$的值为$-1$，另一个根为$2$，答案选B。
1
4. (2023·遂宁)若 $ a $、$ b $ 是方程 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的两个实数根，则 $ a + b - ab $ 的值为
2
。答案
4. 2
解析
解：因为$a$、$b$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个实数根，由韦达定理得$a + b = 3$，$ab = 1$。所以$a + b - ab = 3 - 1 = 2$。
5. (2024·眉山)已知方程 $ x^2 + x - 2 = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，则 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $ 的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
5. $\frac{1}{2}$
解析
由韦达定理得，$x_1 + x_2 = -1$，$x_1 x_2 = -2$。
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
6. 设一元二次方程 $ \frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，则 $ (x_1 - x_2)^2 $ 的值为
20
。答案
6. 20 解析：由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=-6$，$x_{1}x_{2}=4$，$\therefore (x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=(-6)^{2}-4×4=36-16=20$。
7. 已知一元二次方程 $ 2x^2 - 3x - 1 = 0 $ 的两根分别为 $ m $、$ n $，求 $ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} $ 的值。
答案
7. $\because$ 一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$的两根分别为$m$、$n$，$\therefore m+n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^{2}+m^{2}}{mn}=\frac{(m+n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x - a = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $。若 $ x_1 = -1 $，则 $ a - x_1^2 - x_2^2 $ 的值为(
A.7
B.-7
C.6
D.-6
B
)A.7
B.-7
C.6
D.-6
答案
8. B
解析
∵方程$x^2 - 2x - a = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，且$x_1=-1$，
∴将$x_1=-1$代入方程得：$(-1)^2 - 2×(-1) - a = 0$，
即$1 + 2 - a = 0$，解得$a=3$。
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2=-a=-3$。
$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=2^2 - 2×(-3)=4 + 6=10$。
$a - x_1^2 - x_2^2=3 - 10=-7$。
B
9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0 $ 的两实数根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $。若 $ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3 $，则 $ m $ 的值为(
A.-3
B.-1
C.-3 或 1
D.-1 或 3
A
)A.-3
B.-1
C.-3 或 1
D.-1 或 3
答案
9. A 解析：由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=2m-1$，$x_{1}x_{2}=m^{2}$。$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=3$，$\therefore m^{2}+2m-1+1=3$，解得$m_{1}=1$，$m_{2}=-3$。$\because$ 方程有两实数根，$\therefore [-(2m-1)]^{2}-4m^{2}≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$，$\therefore m=1$不合题意，舍去，$\therefore m=-3$。
10. (2023·乐山)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 8x + m = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ x_1 = 3x_2 $，则 $ m $ 的值为
12
。答案
10. 12
解析
解：由韦达定理得$x_1 + x_2 = 8$，$x_1 x_2 = m$。
因为$x_1 = 3x_2$，所以$3x_2 + x_2 = 8$，解得$x_2 = 2$，则$x_1 = 6$。
因此$m = x_1 x_2 = 6×2 = 12$。
12
因为$x_1 = 3x_2$，所以$3x_2 + x_2 = 8$，解得$x_2 = 2$，则$x_1 = 6$。
因此$m = x_1 x_2 = 6×2 = 12$。
12
11. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x - 2m + 1 = 0 $ 的两个实数根之积为负数，则实数 $ m $ 的取值范围是
$m＞\frac{1}{2}$
。答案
11. $m＞\frac{1}{2}$ 解析：由题意，得$\begin{cases}-2m+1＜0,\\4-4(-2m+1)＞0,\end{cases}$解得$m＞\frac{1}{2}$。
解析
解：由题意，得
$\begin{cases}-2m + 1 ＜ 0, \\4 - 4(-2m + 1) ＞ 0,\end{cases}$
解第一个不等式：$-2m + 1 ＜ 0$，移项得$-2m ＜ -1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$m ＞ \frac{1}{2}$。
解第二个不等式：$4 - 4(-2m + 1) ＞ 0$，先计算括号内：$-2m + 1$，则$4 - 4(-2m + 1) = 4 + 8m - 4 = 8m$，所以$8m ＞ 0$，得$m ＞ 0$。
综合两个不等式的解，取交集得$m ＞ \frac{1}{2}$。
$m ＞ \frac{1}{2}$
$\begin{cases}-2m + 1 ＜ 0, \\4 - 4(-2m + 1) ＞ 0,\end{cases}$
解第一个不等式：$-2m + 1 ＜ 0$，移项得$-2m ＜ -1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$m ＞ \frac{1}{2}$。
解第二个不等式：$4 - 4(-2m + 1) ＞ 0$，先计算括号内：$-2m + 1$，则$4 - 4(-2m + 1) = 4 + 8m - 4 = 8m$，所以$8m ＞ 0$，得$m ＞ 0$。
综合两个不等式的解，取交集得$m ＞ \frac{1}{2}$。
$m ＞ \frac{1}{2}$
