12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + 2m - 1 = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $。
(1) 若 $ x_1 = 1 $，求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值。
(2) 是否存在实数 $ m $，满足 $ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = \frac{6}{m - 5} $？若存在，求出实数 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由。

12. （1）由题意，得$\begin{cases}1+x_{2}=6,\\1· x_{2}=2m-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_{2}=5,\\m=3\end{cases}$ （2）存在 根据题意，得$(-6)^{2}-4(2m-1)≥0$，解得$m≤5$。假设存在实数$m$，满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m-5}$，即$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m-5}$。$\because x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=2m-1$，$\therefore 2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$。化简，得$m^{2}-8m+12=0$，解得$m_{1}=2$，$m_{2}=6$。$\because m≤5$且$m-5≠0$，$\therefore m=2$。经检验，$m=2$是原分式方程的解，且符合题意。$\therefore$ 假设成立，即存在实数$m=2$，满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m-5}$

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2k = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $。
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围。
(2) 是否存在实数 $ k $，使得 $ x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 \geq 0 $ 成立？若存在，请求出 $ k $ 的值；若不存在，请说明理由。

13. （1）$\because$ 方程有两个实数根，$\therefore b^{2}-4ac=[-(2k+1)]^{2}-4(k^{2}+2k)=1-4k≥0$，解得$k≤\frac{1}{4}$ （2）不存在 理由：假设存在实数$k$，使得$x_{1}(x_{2}-x_{1})-x_{2}^{2}≥0$成立。$\because x_{1}$、$x_{2}$是原方程的两个实数根，$\therefore x_{1}+x_{2}=2k+1$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$。$\because x_{1}(x_{2}-x_{1})-x_{2}^{2}≥0$，即$x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}≥0$，$\therefore 3x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}≥0$，即$3(k^{2}+2k)-(2k+1)^{2}≥0$。整理，得$(k-1)^{2}≤0$。$\therefore k=1$。由（1），知$k≤\frac{1}{4}$，$\therefore$ 不存在实数$k$，使得$x_{1}(x_{2}-x_{1})-x_{2}^{2}≥0$成立。

14. (2024·烟台)若一元二次方程 $ 2x^2 - 4x - 1 = 0 $ 的两个实数根为 $ m $、$ n $，求 $ 3m^2 - 4m + n^2 $ 的值。

14. $\because$ 一元二次方程$2x^{2}-4x-1=0$的两个实数根为$m$、$n$，$\therefore 2m^{2}-4m-1=0$，$m+n=-\frac{-4}{2}=2$，$mn=-\frac{1}{2}$，$\therefore 2m^{2}-4m=1$，$\therefore 3m^{2}-4m+n^{2}=2m^{2}-4m+m^{2}+n^{2}=1+(m+n)^{2}-2mn=1+2^{2}-2×(-\frac{1}{2})=6$