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1. 下列方程最适合用因式分解来解的是 (
A.$(x-3)(x+1)=2$
B.$2(x-5)^{2}=x^{2}-25$
C.$y^{2}+3y-1=0$
D.$8(3-x)^{2}=5$
B
)A.$(x-3)(x+1)=2$
B.$2(x-5)^{2}=x^{2}-25$
C.$y^{2}+3y-1=0$
D.$8(3-x)^{2}=5$
答案
1. B
2. 当用公式法解方程$2x^{2}-1=3x$时，$b^{2}-4ac$的值为 (
A.2
B.-3
C.17
D.-1
C
)A.2
B.-3
C.17
D.-1
答案
2. C
解析
解：将方程化为一般形式：$2x^{2}-3x - 1=0$，
其中$a = 2$，$b=-3$，$c=-1$，
$b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-1)=9 + 8=17$。
C
其中$a = 2$，$b=-3$，$c=-1$，
$b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-1)=9 + 8=17$。
C
3. 方程$x^{2}-x=56$的根是 (
A.$x_{1}=7,x_{2}=8$
B.$x_{1}=7,x_{2}=-8$
C.$x_{1}=-7,x_{2}=8$
D.$x_{1}=-7,x_{2}=-8$
C
)A.$x_{1}=7,x_{2}=8$
B.$x_{1}=7,x_{2}=-8$
C.$x_{1}=-7,x_{2}=8$
D.$x_{1}=-7,x_{2}=-8$
答案
3. C
解析
解：方程整理得：$x^{2}-x-56=0$，
分解因式得：$(x-8)(x+7)=0$，
可得$x-8=0$或$x+7=0$，
解得：$x_{1}=8$，$x_{2}=-7$，
故选C。
分解因式得：$(x-8)(x+7)=0$，
可得$x-8=0$或$x+7=0$，
解得：$x_{1}=8$，$x_{2}=-7$，
故选C。
4. 若关于x的一元二次方程$(a+3)x^{2}-ax+9-a^{2}=0$的一个根为$x=0$，则a的值为
3
.答案
4. 3
解析
将$x=0$代入方程$(a + 3)x^2 - ax + 9 - a^2 = 0$，得：
$9 - a^2 = 0$
解得$a = 3$或$a=-3$。
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$a + 3 \neq 0$，即$a \neq -3$。
综上，$a$的值为$3$。
$9 - a^2 = 0$
解得$a = 3$或$a=-3$。
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$a + 3 \neq 0$，即$a \neq -3$。
综上，$a$的值为$3$。
5. 对于任意实数a、b，定义一种运算：$a※b=a^{2}+b^{2}-ab$，等式右边为通常的混合运算. 若$x※(x-1)=3$，则x的值为
2或-1
.答案
5. 2或-1
解析
由题意得：$x※(x - 1)=x^{2}+(x - 1)^{2}-x(x - 1)=3$
展开得：$x^{2}+x^{2}-2x + 1 - x^{2}+x=3$
化简得：$x^{2}-x - 2=0$
因式分解得：$(x - 2)(x + 1)=0$
解得：$x=2$或$x=-1$
展开得：$x^{2}+x^{2}-2x + 1 - x^{2}+x=3$
化简得：$x^{2}-x - 2=0$
因式分解得：$(x - 2)(x + 1)=0$
解得：$x=2$或$x=-1$
6. 用适当的方法解下列方程：
（1）$x^{2}+2\sqrt {2}x+2=0$；
（2）$x^{2}-2x-399=0$；
（3）$3x^{2}=2(2-x)$；
（4）$(3y+2)^{2}-4y^{2}=0$.
（1）$x^{2}+2\sqrt {2}x+2=0$；
（2）$x^{2}-2x-399=0$；
（3）$3x^{2}=2(2-x)$；
（4）$(3y+2)^{2}-4y^{2}=0$.
答案
6. (1) $ x_{1}=x_{2}=-\sqrt{2} $ (2) $ x_{1}=-19, x_{2}=21 $ (3) $ x_{1}=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}, x_{2}=\frac{-1-\sqrt{13}}{3} $ (4) $ y_{1}=-\frac{2}{5}, y_{2}=-2 $
解析
（1）$x^{2}+2\sqrt{2}x+2=0$，$(x+\sqrt{2})^{2}=0$，$x+\sqrt{2}=0$，$x_{1}=x_{2}=-\sqrt{2}$；
（2）$x^{2}-2x-399=0$，$x^{2}-2x=399$，$x^{2}-2x+1=400$，$(x-1)^{2}=400$，$x-1=\pm20$，$x_{1}=-19$，$x_{2}=21$；
（3）$3x^{2}=2(2-x)$，$3x^{2}+2x-4=0$，$a=3$，$b=2$，$c=-4$，$\Delta=4+48=52$，$x=\frac{-2\pm\sqrt{52}}{6}=\frac{-2\pm2\sqrt{13}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$，$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$；
（4）$(3y+2)^{2}-4y^{2}=0$，$(3y+2+2y)(3y+2-2y)=0$，$(5y+2)(y+2)=0$，$5y+2=0$或$y+2=0$，$y_{1}=-\frac{2}{5}$，$y_{2}=-2$。
（2）$x^{2}-2x-399=0$，$x^{2}-2x=399$，$x^{2}-2x+1=400$，$(x-1)^{2}=400$，$x-1=\pm20$，$x_{1}=-19$，$x_{2}=21$；
（3）$3x^{2}=2(2-x)$，$3x^{2}+2x-4=0$，$a=3$，$b=2$，$c=-4$，$\Delta=4+48=52$，$x=\frac{-2\pm\sqrt{52}}{6}=\frac{-2\pm2\sqrt{13}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$，$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$；
（4）$(3y+2)^{2}-4y^{2}=0$，$(3y+2+2y)(3y+2-2y)=0$，$(5y+2)(y+2)=0$，$5y+2=0$或$y+2=0$，$y_{1}=-\frac{2}{5}$，$y_{2}=-2$。
7. 若直角三角形的两边长分别是方程$x^{2}-7x+12=0$的两根，则该直角三角形的面积是 (
A.6
B.12
C.12或$\frac {3\sqrt {7}}{2}$
D.6或$\frac {3\sqrt {7}}{2}$
D
)A.6
B.12
C.12或$\frac {3\sqrt {7}}{2}$
D.6或$\frac {3\sqrt {7}}{2}$
答案
7. D
解析
解方程$x^{2}-7x+12=0$，得$x_1=3$，$x_2=4$。
情况1：两直角边为3和4，面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$。
情况2：斜边为4，一直角边为3，另一直角边$a=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，面积$S=\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
该直角三角形面积是6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
情况1：两直角边为3和4，面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$。
情况2：斜边为4，一直角边为3，另一直角边$a=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，面积$S=\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
该直角三角形面积是6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
8. (整体思想)已知$(x+y)(x+y+2)-8=0$，则$x+y$的值是 (
A.-4或2
B.-2或4
C.2或-3
D.3或-2
A
)A.-4或2
B.-2或4
C.2或-3
D.3或-2
答案
8. A
解析
设$t = x + y$，则原方程可化为$t(t + 2)-8=0$，展开得$t^2 + 2t - 8 = 0$，因式分解为$(t + 4)(t - 2)=0$，解得$t=-4$或$t=2$，即$x + y=-4$或$2$。A
9. (2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为
$ \sqrt{2}+1 $
.答案
9. $ \sqrt{2}+1 $ 解析: 根据题意, 得 $ a^{2}-2a=1 $, 解得 $ a=1\pm\sqrt{2} $. $ \because a $ 为正数, $ \therefore a=1+\sqrt{2} $.
解析
根据题意，得$a^{2} - 2a = 1$，
移项可得$a^{2} - 2a - 1 = 0$，
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$，求根公式为$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
在方程$a^{2} - 2a - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c=-1$，
则$a=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{4 + 4}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$，
$\because a$为正数，$\therefore a = 1+\sqrt{2}$。
$1+\sqrt{2}$
移项可得$a^{2} - 2a - 1 = 0$，
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$，求根公式为$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
在方程$a^{2} - 2a - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c=-1$，
则$a=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{4 + 4}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$，
$\because a$为正数，$\therefore a = 1+\sqrt{2}$。
$1+\sqrt{2}$
10. (化归思想)已知$m^{2}+mn-n^{2}=0$，且$mn≠0$，则$\frac {n}{m}$的值为
$ \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} $
.答案
10. $ \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} $ 解析: 由 $ mn\neq0 $, 得 $ m\neq0 $. 在 $ m^{2}+mn-n^{2}=0 $ 的两边同时除以 $ m^{2} $, 得 $ 1+\frac{n}{m}-\left(\frac{n}{m}\right)^{2}=0 $, 即 $ \left(\frac{n}{m}\right)^{2}-\frac{n}{m}-1=0 $, 用公式法解关于 $ \frac{n}{m} $ 的一元二次方程, 得 $ \frac{n}{m}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} $.
解析
由$mn \neq 0$，得$m \neq 0$。在$m^{2}+mn - n^{2}=0$的两边同时除以$m^{2}$，得$1+\frac{n}{m}-\left(\frac{n}{m}\right)^{2}=0$，即$\left(\frac{n}{m}\right)^{2}-\frac{n}{m}-1=0$。设$t = \frac{n}{m}$，则方程化为$t^{2}-t - 1=0$。根据一元二次方程求根公式$t=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，所以$\frac{n}{m}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。
