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9. 若方程$x^{2} - 3x = 0$的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，则$x_{1} - x_{2}$的值为
$ \pm 3 $
.答案
9. $ \pm 3 $
解析
解：方程$x^{2}-3x=0$可化为$x(x - 3)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=3$或$x_{1}=3$，$x_{2}=0$。
当$x_{1}=0$，$x_{2}=3$时，$x_{1}-x_{2}=0 - 3=-3$；
当$x_{1}=3$，$x_{2}=0$时，$x_{1}-x_{2}=3 - 0=3$。
故$x_{1}-x_{2}=\pm 3$。
当$x_{1}=0$，$x_{2}=3$时，$x_{1}-x_{2}=0 - 3=-3$；
当$x_{1}=3$，$x_{2}=0$时，$x_{1}-x_{2}=3 - 0=3$。
故$x_{1}-x_{2}=\pm 3$。
10. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2} - 10x + 21 = 0$的两个根，则这个三角形的周长为
17
.答案
10. 17
解析
解方程$x^{2}-10x + 21=0$，
$(x - 3)(x - 7)=0$，
$x - 3=0$或$x - 7=0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=7$。
情况一：腰长为$3$，底边长为$7$。
$3 + 3=6$，$6\lt7$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：腰长为$7$，底边长为$3$。
$7 + 3=10\gt7$，$7 + 7=14\gt3$，满足三角形三边关系。
周长为$7 + 7 + 3=17$。
17
$(x - 3)(x - 7)=0$，
$x - 3=0$或$x - 7=0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=7$。
情况一：腰长为$3$，底边长为$7$。
$3 + 3=6$，$6\lt7$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：腰长为$7$，底边长为$3$。
$7 + 3=10\gt7$，$7 + 7=14\gt3$，满足三角形三边关系。
周长为$7 + 7 + 3=17$。
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11. 用因式分解法解下列方程：
（1）$2(x - 3) = -3(x - 3)^{2}$；
（2）$5y(3y - 2) = 6y - 4$；
（3）$4(x - 2)^{2} = 25(x + 3)^{2}$；
（4）$-x^{2} - 5 = 2\sqrt{5}x$；
（5）$2(8 - x)^{2} = x^{2} - 64$；
（6）$(y - 1)^{2} - 6(1 - y) + 9 = 0$.
（1）$2(x - 3) = -3(x - 3)^{2}$；
（2）$5y(3y - 2) = 6y - 4$；
（3）$4(x - 2)^{2} = 25(x + 3)^{2}$；
（4）$-x^{2} - 5 = 2\sqrt{5}x$；
（5）$2(8 - x)^{2} = x^{2} - 64$；
（6）$(y - 1)^{2} - 6(1 - y) + 9 = 0$.
答案
11. (1) $ x_{1}=3 $，$ x_{2}=\frac{7}{3} $ (2) $ y_{1}=\frac{2}{5} $，$ y_{2}=\frac{2}{3} $ (3) $ x_{1}=-\frac{11}{7} $，$ x_{2}=-\frac{19}{3} $ (4) $ x_{1}=x_{2}=-\sqrt{5} $ (5) $ x_{1}=8 $，$ x_{2}=24 $ (6) $ y_{1}=y_{2}=-2 $
解析
（1）$2(x - 3) = -3(x - 3)^{2}$
移项得$3(x - 3)^{2} + 2(x - 3) = 0$
提取公因式$(x - 3)$得$(x - 3)[3(x - 3) + 2] = 0$
即$(x - 3)(3x - 9 + 2) = 0$
化简得$(x - 3)(3x - 7) = 0$
则$x - 3 = 0$或$3x - 7 = 0$
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{7}{3}$
（2）$5y(3y - 2) = 6y - 4$
移项得$5y(3y - 2) - (6y - 4) = 0$
变形得$5y(3y - 2) - 2(3y - 2) = 0$
提取公因式$(3y - 2)$得$(3y - 2)(5y - 2) = 0$
则$3y - 2 = 0$或$5y - 2 = 0$
解得$y_{1}=\frac{2}{3}$，$y_{2}=\frac{2}{5}$
（3）$4(x - 2)^{2} = 25(x + 3)^{2}$
移项得$4(x - 2)^{2} - 25(x + 3)^{2} = 0$
利用平方差公式得$[2(x - 2) + 5(x + 3)][2(x - 2) - 5(x + 3)] = 0$
即$(2x - 4 + 5x + 15)(2x - 4 - 5x - 15) = 0$
化简得$(7x + 11)(-3x - 19) = 0$
则$7x + 11 = 0$或$-3x - 19 = 0$
解得$x_{1}=-\frac{11}{7}$，$x_{2}=-\frac{19}{3}$
（4）$-x^{2} - 5 = 2\sqrt{5}x$
移项得$x^{2} + 2\sqrt{5}x + 5 = 0$
变形得$(x + \sqrt{5})^{2} = 0$
解得$x_{1}=x_{2}=-\sqrt{5}$
（5）$2(8 - x)^{2} = x^{2} - 64$
变形得$2(x - 8)^{2} - (x^{2} - 64) = 0$
利用平方差公式得$2(x - 8)^{2} - (x - 8)(x + 8) = 0$
提取公因式$(x - 8)$得$(x - 8)[2(x - 8) - (x + 8)] = 0$
即$(x - 8)(2x - 16 - x - 8) = 0$
化简得$(x - 8)(x - 24) = 0$
则$x - 8 = 0$或$x - 24 = 0$
解得$x_{1}=8$，$x_{2}=24$
（6）$(y - 1)^{2} - 6(1 - y) + 9 = 0$
变形得$(y - 1)^{2} + 6(y - 1) + 9 = 0$
利用完全平方公式得$(y - 1 + 3)^{2} = 0$
即$(y + 2)^{2} = 0$
解得$y_{1}=y_{2}=-2$
移项得$3(x - 3)^{2} + 2(x - 3) = 0$
提取公因式$(x - 3)$得$(x - 3)[3(x - 3) + 2] = 0$
即$(x - 3)(3x - 9 + 2) = 0$
化简得$(x - 3)(3x - 7) = 0$
则$x - 3 = 0$或$3x - 7 = 0$
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{7}{3}$
（2）$5y(3y - 2) = 6y - 4$
移项得$5y(3y - 2) - (6y - 4) = 0$
变形得$5y(3y - 2) - 2(3y - 2) = 0$
提取公因式$(3y - 2)$得$(3y - 2)(5y - 2) = 0$
则$3y - 2 = 0$或$5y - 2 = 0$
解得$y_{1}=\frac{2}{3}$，$y_{2}=\frac{2}{5}$
（3）$4(x - 2)^{2} = 25(x + 3)^{2}$
移项得$4(x - 2)^{2} - 25(x + 3)^{2} = 0$
利用平方差公式得$[2(x - 2) + 5(x + 3)][2(x - 2) - 5(x + 3)] = 0$
即$(2x - 4 + 5x + 15)(2x - 4 - 5x - 15) = 0$
化简得$(7x + 11)(-3x - 19) = 0$
则$7x + 11 = 0$或$-3x - 19 = 0$
解得$x_{1}=-\frac{11}{7}$，$x_{2}=-\frac{19}{3}$
（4）$-x^{2} - 5 = 2\sqrt{5}x$
移项得$x^{2} + 2\sqrt{5}x + 5 = 0$
变形得$(x + \sqrt{5})^{2} = 0$
解得$x_{1}=x_{2}=-\sqrt{5}$
（5）$2(8 - x)^{2} = x^{2} - 64$
变形得$2(x - 8)^{2} - (x^{2} - 64) = 0$
利用平方差公式得$2(x - 8)^{2} - (x - 8)(x + 8) = 0$
提取公因式$(x - 8)$得$(x - 8)[2(x - 8) - (x + 8)] = 0$
即$(x - 8)(2x - 16 - x - 8) = 0$
化简得$(x - 8)(x - 24) = 0$
则$x - 8 = 0$或$x - 24 = 0$
解得$x_{1}=8$，$x_{2}=24$
（6）$(y - 1)^{2} - 6(1 - y) + 9 = 0$
变形得$(y - 1)^{2} + 6(y - 1) + 9 = 0$
利用完全平方公式得$(y - 1 + 3)^{2} = 0$
即$(y + 2)^{2} = 0$
解得$y_{1}=y_{2}=-2$
12. （新考法·阅读理解）阅读下面的解答过程，请判断是否有错，若有错，请你写出正确的解答过程.
已知$x = m$是关于$x$的方程$mx^{2} - 2x + m = 0$的一个根，求$m$的值.
解：把$x = m$代入原方程，化简，得$m^{3} = m$.
两边同时除以$m$，得$m^{2} = 1$，解得$m = 1$.
把$m = 1$代入原方程检验，可知$m = 1$符合题意.
∴$m$的值是1.
已知$x = m$是关于$x$的方程$mx^{2} - 2x + m = 0$的一个根，求$m$的值.
解：把$x = m$代入原方程，化简，得$m^{3} = m$.
两边同时除以$m$，得$m^{2} = 1$，解得$m = 1$.
把$m = 1$代入原方程检验，可知$m = 1$符合题意.
∴$m$的值是1.
答案
12. 解答过程有错 正确的解答过程如下：把 $ x=m $ 代入原方程，化简，得 $ m^{3}-m=0 $。$ \therefore m(m+1)(m-1)=0 $，$ \therefore m=0 $ 或 $ m+1=0 $ 或 $ m-1=0 $，$ \therefore m_{1}=0 $，$ m_{2}=-1 $，$ m_{3}=1 $。将 $ m $ 的三个值分别代入原方程检验，均符合题意，$ \therefore m $ 的值是0或-1或1
解析
解答过程有错
正确的解答过程如下：
把$x = m$代入原方程，得$m · m^{2}-2 · m + m=0$，化简得$m^{3}-m = 0$，即$m(m^{2}-1)=0$，进一步因式分解得$m(m + 1)(m - 1)=0$，解得$m_{1}=0$，$m_{2}=-1$，$m_{3}=1$。
将$m = 0$代入原方程，方程变为$0 - 0 + 0=0$，符合题意；
将$m=-1$代入原方程，方程变为$-1 · x^{2}-2x + (-1)=0$，即$-x^{2}-2x - 1=0$，可化为$x^{2}+2x + 1=0$，$(x + 1)^{2}=0$，有解$x=-1$，符合题意；
将$m = 1$代入原方程，方程变为$1 · x^{2}-2x + 1=0$，即$(x - 1)^{2}=0$，有解$x = 1$，符合题意。
$\therefore m$的值是$0$或$-1$或$1$
正确的解答过程如下：
把$x = m$代入原方程，得$m · m^{2}-2 · m + m=0$，化简得$m^{3}-m = 0$，即$m(m^{2}-1)=0$，进一步因式分解得$m(m + 1)(m - 1)=0$，解得$m_{1}=0$，$m_{2}=-1$，$m_{3}=1$。
将$m = 0$代入原方程，方程变为$0 - 0 + 0=0$，符合题意；
将$m=-1$代入原方程，方程变为$-1 · x^{2}-2x + (-1)=0$，即$-x^{2}-2x - 1=0$，可化为$x^{2}+2x + 1=0$，$(x + 1)^{2}=0$，有解$x=-1$，符合题意；
将$m = 1$代入原方程，方程变为$1 · x^{2}-2x + 1=0$，即$(x - 1)^{2}=0$，有解$x = 1$，符合题意。
$\therefore m$的值是$0$或$-1$或$1$
