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1. (2023·辽宁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,根据尺规作图的痕迹作射线AG,交BC于点D,则BD的长为 (
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
D
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
1.D
解析
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由尺规作图痕迹可知，AG平分∠BAC。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AG平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=DC。
设BD=x，则DC=DE=3-x。
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DC\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AE=AC=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE²+BE²=BD²，
即$(3-x)^2+1^2=x^2$，
解得$x=\frac{5}{3}$，
∴BD的长为$\frac{5}{3}$。
D
由勾股定理得：AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由尺规作图痕迹可知，AG平分∠BAC。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AG平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=DC。
设BD=x，则DC=DE=3-x。
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DC\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AE=AC=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE²+BE²=BD²，
即$(3-x)^2+1^2=x^2$，
解得$x=\frac{5}{3}$，
∴BD的长为$\frac{5}{3}$。
D
2. 如图,在每个小正方形的边长均为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则AB的长为
$\sqrt{17}$
,BC的长为$\sqrt{34}$
,AC的长为$\sqrt{37}$
.答案
2. $\sqrt{17}$ $\sqrt{34}$ $\sqrt{37}$
解析
解：
AB的长为$\sqrt{17}$，BC的长为$\sqrt{34}$，AC的长为$\sqrt{37}$。
AB的长为$\sqrt{17}$，BC的长为$\sqrt{34}$，AC的长为$\sqrt{37}$。
3. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3.若P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为
$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$
.答案
3. $\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$ 解析：$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，$\angle C = 90°$，$AC = 3$，$\therefore BC = AC = 3$. 在 Rt$\triangle ACP$中，$AP^2 = AC^2 + PC^2$，$\because P$为边$BC$的三等分点，$\therefore$ ① 当$PC = \frac{1}{3}BC = 1$时，$AP = \sqrt{10}$; ② 当$PC = \frac{2}{3}BC = 2$时，$AP = \sqrt{13}$. 综上所述，$AP$的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$.
解析
解：$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=3$，
$\therefore BC=AC=3$.
$\because P$为边$BC$的三等分点，
$\therefore$①当$PC=\dfrac{1}{3}BC=1$时，在$Rt\triangle ACP$中，$AP=\sqrt{AC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$；
②当$PC=\dfrac{2}{3}BC=2$时，在$Rt\triangle ACP$中，$AP=\sqrt{AC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$.
综上所述，$AP$的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$.
$\therefore BC=AC=3$.
$\because P$为边$BC$的三等分点，
$\therefore$①当$PC=\dfrac{1}{3}BC=1$时，在$Rt\triangle ACP$中，$AP=\sqrt{AC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$；
②当$PC=\dfrac{2}{3}BC=2$时，在$Rt\triangle ACP$中，$AP=\sqrt{AC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$.
综上所述，$AP$的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$.
4. (2023·扬州)如图所示为由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的“赵爽弦图”,直角三角形的两条直角边的长分别为a,b,斜边的长为c.若b−a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为
96
.答案
4. 96 解析：将$b - a = 4$两边平方后展开，得$b^2 - 2ab + a^2 = 16$. 由勾股定理，得$a^2 + b^2 = c^2 = 400$，$\therefore ab = 192$，$\therefore$每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = 96$.
解析
解：
∵$b - a = 4$，
∴$(b - a)^2 = 16$，即$b^2 - 2ab + a^2 = 16$。
由勾股定理，得$a^2 + b^2 = c^2$，
∵$c = 20$，
∴$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$。
将$a^2 + b^2 = 400$代入$b^2 - 2ab + a^2 = 16$，得$400 - 2ab = 16$，
解得$ab = 192$。
∴每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 192 = 96$。
96
∵$b - a = 4$，
∴$(b - a)^2 = 16$，即$b^2 - 2ab + a^2 = 16$。
由勾股定理，得$a^2 + b^2 = c^2$，
∵$c = 20$，
∴$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$。
将$a^2 + b^2 = 400$代入$b^2 - 2ab + a^2 = 16$，得$400 - 2ab = 16$，
解得$ab = 192$。
∴每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 192 = 96$。
96
5. 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示$-\sqrt{10}$的点.
答案
5. 作法不唯一，如图，点$A$即为所求
6. 如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为边AB上一点.求证:
(1) △ACE≌△BCD;
(2) $AD^{2}+DB^{2}=2CD^{2}$.
(1) △ACE≌△BCD;
(2) $AD^{2}+DB^{2}=2CD^{2}$.
答案
6.
(1) $\because \triangle ACB$和$\triangle ECD$都是等腰直角三角形，$\therefore AC = BC$，$CD = CE$. $\because \angle ACB = \angle ECD = 90°$，$\therefore \angle BCD + \angle ACD = \angle ACE + \angle ACD$，$\therefore \angle BCD = \angle ACE$. 在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$中，$\begin{cases} AC = BC, \\ \angle ACE = \angle BCD, \\ CE = CD, \end{cases}$ $\therefore \triangle ACE \cong \triangle BCD$
(2) $\because \triangle ACB$是等腰直角三角形，$\therefore \angle B = \angle BAC = 45°$ $\because \triangle ACE \cong \triangle BCD$，$\therefore EA = DB$，$\angle CAE = \angle B = 45°$，$\therefore \angle DAE = \angle CAE + \angle BAC = 45° + 45° = 90°$，$\therefore AD^2 + EA^2 = DE^2$，$\therefore AD^2 + DB^2 = DE^2$. 又$\because \triangle ECD$是等腰直角三角形，$\therefore CD^2 + CE^2 = 2CD^2 = DE^2$，$\therefore AD^2 + DB^2 = 2CD^2$
(1) $\because \triangle ACB$和$\triangle ECD$都是等腰直角三角形，$\therefore AC = BC$，$CD = CE$. $\because \angle ACB = \angle ECD = 90°$，$\therefore \angle BCD + \angle ACD = \angle ACE + \angle ACD$，$\therefore \angle BCD = \angle ACE$. 在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$中，$\begin{cases} AC = BC, \\ \angle ACE = \angle BCD, \\ CE = CD, \end{cases}$ $\therefore \triangle ACE \cong \triangle BCD$
(2) $\because \triangle ACB$是等腰直角三角形，$\therefore \angle B = \angle BAC = 45°$ $\because \triangle ACE \cong \triangle BCD$，$\therefore EA = DB$，$\angle CAE = \angle B = 45°$，$\therefore \angle DAE = \angle CAE + \angle BAC = 45° + 45° = 90°$，$\therefore AD^2 + EA^2 = DE^2$，$\therefore AD^2 + DB^2 = DE^2$. 又$\because \triangle ECD$是等腰直角三角形，$\therefore CD^2 + CE^2 = 2CD^2 = DE^2$，$\therefore AD^2 + DB^2 = 2CD^2$
