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7. (2024·苏州工业园区期中改编)勾股定理在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图②所示的方式放置在最大的正方形内.若知道图②中涂色部分的面积,则一定能求出 (
A.直角三角形的面积
B.最大的正方形的面积
C.图②中较小的两个正方形重叠部分的面积
D.最大的正方形与直角三角形的面积之和
C
)A.直角三角形的面积
B.最大的正方形的面积
C.图②中较小的两个正方形重叠部分的面积
D.最大的正方形与直角三角形的面积之和
答案
7. C 解析：设直角三角形的斜边长为$c$，较长直角边长为$b$，较短直角边长为$a$. 由勾股定理，得$c^2 = a^2 + b^2$，$\therefore$题图②中涂色部分的面积为$c^2 - b^2 - a(c - b) = a^2 - ac + ab = a(a + b - c)$. $\because$题图②中较小的两个正方形重叠部分的长为$a$，宽为$a - (c - b) = a + b - c$，$\therefore$题图②中较小的两个正方形重叠部分的面积为$a(a + b - c)$.
8. (2024·浙江)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE的长为
$\sqrt{17}$
.答案
8. $\sqrt{17}$ 解析：$\because$Rt$\triangle DAH \cong$ Rt$\triangle ABE$，$\therefore DH = AE = 4$，$AH = BE = 3$，$\therefore EH = AE - AH = 4 - 3 = 1$. $\because$四边形$EFGH$是正方形，$\therefore \angle DHE = 90°$，$\therefore DE^2 = DH^2 + EH^2$，$\therefore DE = \sqrt{17}$.
解析
证明：
$\because$ 正方形 $ABCD$ 由四个全等的直角三角形组成，
$\therefore Rt\triangle DAH \cong Rt\triangle ABE$，
$\therefore DH = AE = 4$，$AH = BE = 3$，
$\therefore EH = AE - AH = 4 - 3 = 1$，
$\because$ 四边形 $EFGH$ 是正方形，
$\therefore \angle DHE = 90°$，
在 $Rt\triangle DHE$ 中，由勾股定理得：
$DE^2 = DH^2 + EH^2 = 4^2 + 1^2 = 17$，
$\therefore DE = \sqrt{17}$.
$\sqrt{17}$
$\because$ 正方形 $ABCD$ 由四个全等的直角三角形组成，
$\therefore Rt\triangle DAH \cong Rt\triangle ABE$，
$\therefore DH = AE = 4$，$AH = BE = 3$，
$\therefore EH = AE - AH = 4 - 3 = 1$，
$\because$ 四边形 $EFGH$ 是正方形，
$\therefore \angle DHE = 90°$，
在 $Rt\triangle DHE$ 中，由勾股定理得：
$DE^2 = DH^2 + EH^2 = 4^2 + 1^2 = 17$，
$\therefore DE = \sqrt{17}$.
$\sqrt{17}$
9. 如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,教材第100页例3通过勾股定理与完全平方公式证明出了结论:$CD^{2}=AD\cdot DB$.请你利用上述结论与学过的数学知识,求证:
(1) $AC^{2}=AD\cdot AB$;
(2) $BC^{2}=DB\cdot AB$.
(1) $AC^{2}=AD\cdot AB$;
(2) $BC^{2}=DB\cdot AB$.
答案
9.
(1) $\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore$在Rt$\triangle ADC$中，$AC^2 = CD^2 + AD^2$. $\because CD^2 = AD \cdot DB$，$\therefore AC^2 = AD \cdot DB + AD^2 = AD \cdot (DB + AD)$. $\because AB = DB + AD$，$\therefore AC^2 = AD \cdot AB$
(2) $\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore$在Rt$\triangle BDC$中，$BC^2 = CD^2 + DB^2$. $\because CD^2 = AD \cdot DB$，$\therefore BC^2 = AD \cdot DB + DB^2 = DB \cdot (AD + DB)$. $\because AB = AD + DB$，$\therefore BC^2 = DB \cdot AB$
(1) $\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore$在Rt$\triangle ADC$中，$AC^2 = CD^2 + AD^2$. $\because CD^2 = AD \cdot DB$，$\therefore AC^2 = AD \cdot DB + AD^2 = AD \cdot (DB + AD)$. $\because AB = DB + AD$，$\therefore AC^2 = AD \cdot AB$
(2) $\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore$在Rt$\triangle BDC$中，$BC^2 = CD^2 + DB^2$. $\because CD^2 = AD \cdot DB$，$\therefore BC^2 = AD \cdot DB + DB^2 = DB \cdot (AD + DB)$. $\because AB = AD + DB$，$\therefore BC^2 = DB \cdot AB$
10. (2024·陕西)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF//AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,求四边形EBFC的面积.
答案
10. 如图，过点$A$作$AH \perp BC$，垂足为$H$，过点$C$分别作$CM \perp AB$，$CN \perp BF$，垂足分别为$M$，$N$. $\because AB = AC$，$AH \perp BC$，$\therefore CH = \frac{1}{2}BC = 5$，$\therefore$在Rt$\triangle AHC$中，$AH^2 = AC^2 - CH^2$，$\therefore AH = 12$，$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2} × 10 × 12 = 60$. $\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC = \angle ACB$. $\because BF // AC$，$\therefore \angle ACB = \angle CBF$，$\therefore \angle ABC = \angle CBF$. $\because CM \perp AB$，$CN \perp BF$，$\therefore CM = CN$. $\because S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2}AE \cdot CM$，$S_{\triangle CBF} = \frac{1}{2}BF \cdot CN$，$AE = BF$，$\therefore S_{\triangle ACE} = S_{\triangle CBF}$，$\therefore S_{四边形EBFC} = S_{\triangle CBF} + S_{\triangle CBE} = S_{\triangle ACE} + S_{\triangle CBE} = S_{\triangle ABC} = 60$
