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1. (2024·淮安)如图,用9个直角三角形拼成一个类似海螺的图形,其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为l,则下列整数与l最接近的是 (
A.14
B.13
C.12
D.11
B
)A.14
B.13
C.12
D.11
答案
1．B 解析：
∵ 易得第一个三角形的斜边长为$\sqrt{2}$；第二个三角形的斜边长为$\sqrt{3}$；⋯；第九个三角形的斜边长为$\sqrt{10}$，
∴ 这个图形的周长$l$为$1+1 × 9+ \sqrt{10}=10+ \sqrt{10}$．
∵ 与$\sqrt{10}$最接近的整数是$3$，
∴ 与$10+ \sqrt{10}$最接近的整数是$13$．
∵ 易得第一个三角形的斜边长为$\sqrt{2}$；第二个三角形的斜边长为$\sqrt{3}$；⋯；第九个三角形的斜边长为$\sqrt{10}$，
∴ 这个图形的周长$l$为$1+1 × 9+ \sqrt{10}=10+ \sqrt{10}$．
∵ 与$\sqrt{10}$最接近的整数是$3$，
∴ 与$10+ \sqrt{10}$最接近的整数是$13$．
2. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.如图②所示的图形是由“弦图”变化得到的,且由八个全等的直角三角形拼接而成.记正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$.若正方形EFGH的边长为4,则$S_{1}+S_{2}+S_{3}$的值为
48
.答案
2．48 解析:设八个全等的直角三角形的长直角边的长为$a$，短直角边的长为$b$，则$S_1=(a+b)^2$，$S_2=4^2=16$，$S_3=(a-b)^2$．由题意，得$a^2+b^2=EF^2=16$，
∴$S_1+S_2+S_3=(a+b)^2+16+(a-b)^2=2(a^2+b^2)+16=2 × 16+16=48$．
∴$S_1+S_2+S_3=(a+b)^2+16+(a-b)^2=2(a^2+b^2)+16=2 × 16+16=48$．
3. (2024·苏州工业园区期中)如图,长方形纸片ABCD的长$AB=8$,宽$AD=4$.将该纸片沿EF折叠,使点A与点C重合,折叠后在其一面着色.求:
(1) FG的长;
(2) 图中涂色部分的面积.
(1) FG的长;
(2) 图中涂色部分的面积.
答案
3．
(1)
∵ 四边形$ABCD$是长方形，
∴$CD=AB=8$，$\angle D=90°$．由折叠的性质，得$\angle G=\angle D=90°$，$FG=DF$，$CG=AD=4$．设$FG=x$，则$DF=x$，$FC=CD-DF=8-x$．
∵ 在${\rm Rt} \triangle FGC$中，$FG^2+CG^2=FC^2$，
∴$x^2+4^2=(8-x)^2$，解得$x=3$，
∴$FG=3$
(2) 由
(1)，知$FC=8-x=5$，
∴$S_{\triangle EFC}=\frac{1}{2} FC \cdot BC=\frac{1}{2} × 5 × 4=10$．由折叠的性质，得$S_{四边形EFGC}=S_{四边形EFDA}$，
∴$S_{涂色部分}=S_{四边形EFGC}+S_{\triangle BEC}=S_{四边形EFDA}+S_{\triangle BEC}=S_{长方形ABCD}-S_{\triangle EFC}=8 × 4-10=32-10=22$
(1)
∵ 四边形$ABCD$是长方形，
∴$CD=AB=8$，$\angle D=90°$．由折叠的性质，得$\angle G=\angle D=90°$，$FG=DF$，$CG=AD=4$．设$FG=x$，则$DF=x$，$FC=CD-DF=8-x$．
∵ 在${\rm Rt} \triangle FGC$中，$FG^2+CG^2=FC^2$，
∴$x^2+4^2=(8-x)^2$，解得$x=3$，
∴$FG=3$
(2) 由
(1)，知$FC=8-x=5$，
∴$S_{\triangle EFC}=\frac{1}{2} FC \cdot BC=\frac{1}{2} × 5 × 4=10$．由折叠的性质，得$S_{四边形EFGC}=S_{四边形EFDA}$，
∴$S_{涂色部分}=S_{四边形EFGC}+S_{\triangle BEC}=S_{四边形EFDA}+S_{\triangle BEC}=S_{长方形ABCD}-S_{\triangle EFC}=8 × 4-10=32-10=22$
4. 如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B与点C之间的距离为5.如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A处爬到点B处,那么它需要爬行的最短路程为
25
.答案
4．25
解析
解：将长方体表面展开，有以下两种情况：
情况一：将前面和上面展开，形成一个长方形，长为 $15 + 10 = 25$，宽为 $20 - 5 = 15$，此时 $AB$ 的距离为 $\sqrt{25^2 + 15^2} = \sqrt{850}$。
情况二：将前面和右面展开，形成一个长方形，长为 $15 + (20 - 5) = 30$，宽为 $10$，此时 $AB$ 的距离为 $\sqrt{30^2 + 10^2} = \sqrt{1000}$。
情况三：将左面和上面展开，形成一个长方形，长为 $10 + (20 - 5) = 25$，宽为 $15$，此时 $AB$ 的距离为 $\sqrt{25^2 + 15^2} = \sqrt{850}$。
比较可得最短路程为 $\sqrt{625} = 25$。
25
情况一：将前面和上面展开，形成一个长方形，长为 $15 + 10 = 25$，宽为 $20 - 5 = 15$，此时 $AB$ 的距离为 $\sqrt{25^2 + 15^2} = \sqrt{850}$。
情况二：将前面和右面展开，形成一个长方形，长为 $15 + (20 - 5) = 30$，宽为 $10$，此时 $AB$ 的距离为 $\sqrt{30^2 + 10^2} = \sqrt{1000}$。
情况三：将左面和上面展开，形成一个长方形，长为 $10 + (20 - 5) = 25$，宽为 $15$，此时 $AB$ 的距离为 $\sqrt{25^2 + 15^2} = \sqrt{850}$。
比较可得最短路程为 $\sqrt{625} = 25$。
25
5. 如图,E是正方形纸片ABCD的边BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为F,延长EF,交边DC于点P.如果$AB=6$,那么DP的长为
2
.答案
5．2
解析
解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB=6$，
∴ $AB=BC=CD=AD=6$，$\angle B=\angle C=\angle D=90°$。
∵ $E$ 是 $BC$ 中点，
∴ $BE=EC=3$。
由折叠性质得：$AF=AB=6$，$EF=BE=3$，$\angle AFE=\angle B=90°$，
∴ $\angle AFP=90°$。
设 $DP=x$，则 $PC=6-x$。
在 $Rt\triangle AFP$ 和 $Rt\triangle ADP$ 中，
$AP^2=AF^2+FP^2=AD^2+DP^2$，
即 $6^2 + FP^2 = 6^2 + x^2$，
∴ $FP=DP=x$。
∵ $EF=3$，
∴ $EP=EF+FP=3+x$。
在 $Rt\triangle ECP$ 中，$EP^2=EC^2+PC^2$，
即 $(3+x)^2=3^2+(6-x)^2$，
解得 $x=2$。
∴ $DP=2$。
2
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB=6$，
∴ $AB=BC=CD=AD=6$，$\angle B=\angle C=\angle D=90°$。
∵ $E$ 是 $BC$ 中点，
∴ $BE=EC=3$。
由折叠性质得：$AF=AB=6$，$EF=BE=3$，$\angle AFE=\angle B=90°$，
∴ $\angle AFP=90°$。
设 $DP=x$，则 $PC=6-x$。
在 $Rt\triangle AFP$ 和 $Rt\triangle ADP$ 中，
$AP^2=AF^2+FP^2=AD^2+DP^2$，
即 $6^2 + FP^2 = 6^2 + x^2$，
∴ $FP=DP=x$。
∵ $EF=3$，
∴ $EP=EF+FP=3+x$。
在 $Rt\triangle ECP$ 中，$EP^2=EC^2+PC^2$，
即 $(3+x)^2=3^2+(6-x)^2$，
解得 $x=2$。
∴ $DP=2$。
2
