1. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数,下表中列出了部分对应值,则 $ m $ 等于( )


A. $-1$
B. $ 0 $
C. $-2$
D. $ \frac{1}{2} $

B

2. 已知一次函数 $ y = kx + b $,当 $ x = 1 $ 时,$ y = -1 $;当 $ x = 2 $ 时,$ y = 1 $.该函数的解析式为( )
A. $ y = -x $
B. $ y = 2x - 3 $
C. $ y = x - 1 $
D. $ y = x - 2 $

B

3. 已知一次函数 $ y = mx - 4m $,当 $ 1 \leq x \leq 3 $ 时,$ 2 \leq y \leq 6 $,则 $ m $ 的值为( )
A. $ 2 $
B. $ -2 $
C. $ 2 $ 或 $ -2 $
D. 不存在

B

4. 若一条直线经过点 $ (2,-1) $,且与直线 $ y = -3x + 1 $ 平行,则这条直线的解析式为____.

$y=-3x + 5$

5. 已知点 $ A(-1,1),B(k,4) $,若一次函数 $ y = kx + 2 $ 的图象与线段 $ AB $ 有交点,则 $ k $ 的取值范围是____.

$[-\sqrt{2},0)\cup[1,+\infty)$

6. 一次函数 $ y = kx + 2 $ 的图象过点 $ A(2,4) $,且与 $ x $ 轴相交于点 $ B $.若 $ P $ 是坐标轴上一点,且 $ \angle APB = 90^{\circ} $,则点 $ P $ 的坐标为____.

$(2，0)或(0，2+2\sqrt 2)或(0，2-2\sqrt 2)$

7. 如图所示,一次函数的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A(2,0),B(0,4) $.
(1)求该一次函数的表达式;
(2)在该一次函数图象上有一点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ 6 $,求点 $ P $ 的坐标.

【解析】：
### $(1)$求一次函数表达式
设该一次函数的表达式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
已知一次函数图象与$x$轴交于点$A(2,0)$，与$y$轴交于点$B(0,4)$。
把$A(2,0)$，$B(0,4)$代入$y = kx + b$中，可得方程组$\begin{cases}2k + b = 0\\b = 4\end{cases}$。
将$b = 4$代入$2k + b = 0$，得$2k+4 = 0$，
移项可得$2k=-4$，
解得$k = - 2$。
所以该一次函数的表达式为$y=-2x + 4$。
### $(2)$求点$P$的坐标
因为点$P$到$x$轴的距离为$6$，所以$\vert y_{P}\vert=6$，即$y_{P}=6$或$y_{P}=-6$。
当$y = 6$时，代入$y=-2x + 4$，得$6=-2x + 4$，
移项可得$2x = 4 - 6$，即$2x=-2$，
解得$x=-1$。
当$y=-6$时，代入$y=-2x + 4$，得$-6=-2x + 4$，
移项可得$2x = 4 + 6$，即$2x = 10$，
解得$x = 5$。
所以点$P$的坐标为$(-1,6)$或$(5,-6)$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{y=-2x + 4}$；$(2)$$\boldsymbol{(-1,6)}$或$\boldsymbol{(5,-6)}$

8. 如图所示,在长方形 $ AOBC $ 中,$ O $ 为坐标原点,$ OB,OA $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上,点 $ A $ 的坐标为 $ (0,8) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (10,0) $,$ E $ 是 $ BC $ 边上一点.把长方形 $ AOBC $ 沿 $ AE $ 翻折后,点 $ C $ 恰好落在 $ x $ 轴上的点 $ F $ 处.
(1)求点 $ C,E,F $ 的坐标;
(2)求直线 $ AF $ 的表达式;
(3)在 $ x $ 轴上求一点 $ P $,使 $ \triangle PAF $ 成为以 $ AF $ 为腰的等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点 $ P $ 的坐标.

【解析】：
### $(1)$求点$C$、$E$、$F$的坐标
因为四边形$AOBC$是长方形，$A(0,8)$，$B(10,0)$，根据长方形对边相等且平行的性质，可得$C(10,8)$。
由折叠性质可知$AF = AC$，$EF = EC$。
因为$AC = OB = 10$，$AO = 8$，在$Rt\triangle AOF$中，根据勾股定理$OF=\sqrt{AF^{2}-AO^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$，所以$F(6,0)$。
设$E(10,y)$，则$EF = EC = 8 - y$，$FB=OB - OF=10 - 6 = 4$。
在$Rt\triangle EFB$中，根据勾股定理$EF^{2}=FB^{2}+EB^{2}$，即$(8 - y)^{2}=4^{2}+y^{2}$。
展开得$64-16y + y^{2}=16 + y^{2}$，
移项化简得$16y = 48$，解得$y = 3$，所以$E(10,3)$。
### $(2)$求直线$AF$的表达式
设直线$AF$的表达式为$y = kx + b$（$k\neq0$），把$A(0,8)$，$F(6,0)$代入可得：
$\begin{cases}b = 8\\6k + b = 0\end{cases}$
把$b = 8$代入$6k + b = 0$，得$6k+8 = 0$，解得$k=-\frac{4}{3}$。
所以直线$AF$的表达式为$y = -\frac{4}{3}x + 8$。
### $(3)$求点$P$的坐标
当$AF = AP$时，因为$A(0,8)$，$F(6,0)$，$AF=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，则$OP = OF = 6$，此时$P(- 6,0)$。
当$AF = PF$时，$PF = 10$，若$F(6,0)$，则$P(6 + 10,0)$即$P(16,0)$或$P(6 - 10,0)$即$P(-4,0)$。
【答案】：
$(1)$$C(10,8)$，$E(10,3)$，$F(6,0)$；
$(2)$$y = -\frac{4}{3}x + 8$；
$(3)$$(-6,0)$，$(-4,0)$，$(16,0)$。