1. 已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，下列结论正确的有( )
①当 $AB = BC$ 时，它是菱形；②当 $AC\perp BD$ 时，它是菱形；③当 $\angle ABC = 90^{\circ}$ 时，它是矩形；④当 $AC = BD$ 时，它是正方形.
A. $3$ 个
B. $4$ 个
C. $1$ 个
D. $2$ 个

A

2. 下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形. 下列推理过程正确的是( )
A. 由①推出②，由②推出③
B. 由①推出③，由③推出②
C. 由③推出①，由①推出②
D. 由②推出③，由③推出①

D

3. 如图所示，数学老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使道具发生了形变. 若正方形道具边长为 $20$，$\angle D' = 30^{\circ}$，则四边形的面积减少了( )


A. $100$
B. $100\sqrt{2}$
C. $200$
D. $200\sqrt{2}$

C

4. 已知菱形 $ABCD$ 中对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，添加条件 可使菱形 $ABCD$ 成为正方形.

$AC = BD$或$\angle ABC = 90^{\circ}$（答案不唯一）

5. 如图所示，$D$，$E$，$F$ 分别是 $\triangle ABC$ 三边的中点. 有下列判断：①四边形 $AEDF$ 一定是平行四边形；②若 $AD$ 平分 $\angle BAC$，则四边形 $AEDF$ 是正方形；③若 $AD\perp BC$，则四边形 $AEDF$ 是菱形；④若 $\angle BAC = 90^{\circ}$，则四边形 $AEDF$ 是矩形. 其中正确的是 (填序号).

①③④

6. 如图所示，在矩形 $ABCD$ 中，$\angle BAD$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$，$EF\perp AD$ 于点 $F$，$DG\perp AE$ 于点 $G$，$DG$ 与 $EF$ 交于点 $O$.
(1) 求证：四边形 $ABEF$ 是正方形；
(2) 若 $AD = AE$，求证：$AB = AG$；
(3) 在(2)的条件下，已知 $AB = 1$，求 $OF$ 的长.

【解析】：
(1)
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle B = \angle AFE=90^{\circ}$，$AF// BE$。
又因为$EF\perp AD$，所以四边形$ABEF$是矩形。
因为$AE$平分$\angle BAD$，$EF\perp AD$，$\angle B = 90^{\circ}$，所以$AB = EB$。
一组邻边相等的矩形是正方形，所以四边形$ABEF$是正方形。
(2)
因为$DG\perp AE$，所以$\angle AGD = 90^{\circ}$。
又因为$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle DAG=\angle EAB$，$AD = AE$。
所以$\triangle AGD\cong\triangle ABE(AAS)$。
所以$AB = AG$。
(3)
因为四边形$ABEF$是正方形，所以$\angle FAE = 45^{\circ}$。
又因为$EF\perp AD$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，则$\angle AEF = 45^{\circ}$，$AF = EF$。
已知$AB = 1$，由(2)知$AB = AG = 1$，$AE=\sqrt{2}$，所以$EG=\sqrt{2}-1$。
因为$\angle EGO = 90^{\circ}$，$\angle AEF = 45^{\circ}$，所以$\triangle EGO$是等腰直角三角形，则$EO=\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=2 - \sqrt{2}$。
又因为$EF = AB = 1$，所以$OF=EF - EO=1-(2 - \sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析；
(3)$\boldsymbol{\sqrt{2}-1}$。