1. 如图所示,若正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,则$∠AOB$的大小是()



A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$90^{\circ }$

$\boldsymbol{D}$

2. 下列选项中,正方形具有而菱形不具有的性质是()
A. 四条边都相等
B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分
D. 四个角都是直角

D

3. 下列条件中,能使菱形 ABCD 为正方形的是()
A.$AB=AD$
B.$AB⊥BC$
C.$AC⊥BD$
D. AC平分$∠BAD$

B

4. 如图所示,两个正方形的边长分别为 2,a($a＞2$),则图中阴影部分的面积为____.

$2 - a$

5. 如图所示,四边形 ABCD 是正方形,点 E 在正方形外,$△DCE$为等边三角形,连接 BE 交DC 于点 G. 图中一个大小为$75^{\circ }$的角是____.

$\angle ABG$

6. 如图所示,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O. 若要使该矩形成为正方形,则添加的条件可以是____(只需写一个,不添加辅助线).

$AB = BC$（或$AC⊥BD$等）

7. 如图所示,A 是菱形 BDEF 对角线的交点,$BC// FD,CD// BE$,连接 AC,交 BD 于点 O.
(1)求证:四边形 ABCD 是矩形;
(2)探究:当$∠DEF=$____°时,四边形 ABCD 是正方形,并证明你的结论.

【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$ABCD$是矩形
已知$BC// FD$，$CD// BE$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABCD$是平行四边形。
因为四边形$BDEF$是菱形，所以$BE = ED = DF = FB$，且$BD\perp EF$，即$\angle BAD = 90^{\circ}$。
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，所以四边形$ABCD$是矩形。
### $(2)$ 探究$\angle DEF$的度数使四边形$ABCD$是正方形
当$\angle DEF = 90^{\circ}$时：
因为四边形$BDEF$是菱形，$\angle DEF = 90^{\circ}$，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，所以菱形$BDEF$是正方形。
那么$BD = ED$，$\angle EDB = 45^{\circ}$，同理$\angle EDA = 45^{\circ}$，所以$\angle BDA = 90^{\circ}$。
又因为四边形$ABCD$是矩形，且$AC\perp BD$（矩形$ABCD$中$AC$、$BD$互相平分，$\angle BDA = 90^{\circ}$可得$AC\perp BD$）。
根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，所以矩形$ABCD$是正方形。
【答案】：$90$

8. 如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,$AB=BC,AB⊥BC$,E 是边 CD 的延长线上的动点,连接 AE,过点 C 作$CF⊥AE$于点 F.
(1)求证:四边形 ABCD 是正方形;
(2)当 F 是 AE 的中点且$CE=8\sqrt {2}$时,求四边形 ABCD 的面积.

【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = BC$，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
又因为$AB\perp BC$，即$\angle B = 90^{\circ}$，有一个角是直角的菱形是正方形，所以四边形$ABCD$是正方形。
(2) 连接$AC$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle ACD = 45^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，则$\angle ADE = 90^{\circ}$。
因为$CF\perp AE$，$F$是$AE$中点，所以$AC = CE = 8\sqrt{2}$。
设正方形$ABCD$的边长为$x$，在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$（因为$AB = BC=x$），即$x^{2}+x^{2}=(8\sqrt{2})^{2}$。
$2x^{2}=128$，$x^{2}=64$。
而正方形$ABCD$的面积$S = x^{2}$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析。
(2) 四边形$ABCD$的面积为$\boldsymbol{32}$。