1. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”。木艺活动课上，小明用四根细木条$a$，$b$，$c$，$d$搭成一个四边形，如图所示。现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（ ）

A. 测量是否有三个角是直角
B. 测量对角线是否相等
C. 测量两组对边是否分别相等
D. 测量对角线是否互相垂直

A

2. 下列说法正确的是（ ）
A. 邻边相等的平行四边形是矩形
B. 矩形的对角线互相平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

B

3. 如图所示，在矩形$COED$中，若点$D$的坐标是$(1,3)$，则$CE$的长是（ ）



A. $3$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\sqrt{10}$
D. $4$

$\boldsymbol{C}$

4. 如图所示，在$\square ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC = 12$。当$OD =$______时，$\square ABCD$是矩形。

$6$

5. 在平行四边形$ABCD$中，若$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 7$，$AD = 6$，则$S_{\square ABCD}=$______。

$42$

6. 如图所示，在矩形$ABCD$中，$BC = 20$，点$P$和点$Q$分别从点$B$和点$D$出发，按逆时针方向沿矩形$ABCD$的边$BC$和$DA$运动。已知点$P$和点$Q$的速度分别为$3m/s$和$2m/s$，则最快需要______$s$，四边形$ABPQ$可成为矩形。

$4$

7. 如图所示，菱形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$B$作$BE// AC$，过点$C$作$CE// DB$，$BE$与$CE$相交于点$E$。
（1）求证：四边形$BECO$是矩形；
（2）连接$DE$，若$AB = 5$，$AC = 6$，求$DE$的长。

【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$BECO$是矩形
已知$BE// AC$，$CE// DB$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形$BECO$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是菱形，根据“菱形的对角线互相垂直”，所以$AC\perp BD$，即$\angle BOC = 90^{\circ}$。
再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可证得四边形$BECO$是矩形。
### $(2)$ 求$DE$的长
**步骤一：求$OC$和$OB$的长度**
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，$AO = OC=\frac{1}{2}AC$，$BO = OD$，$AB = BC = CD = AD = 5$。
已知$AC = 6$，则$OC=\frac{1}{2}AC = 3$。
在$Rt\triangle BOC$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$OB=\sqrt{BC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，所以$BD = 2OB = 8$。
**步骤二：求$BE$和$CE$的长度**
因为四边形$BECO$是矩形，所以$BE = OC = 3$，$CE = OB = 4$。
**步骤三：求$DE$的长度**
在$Rt\triangle CDE$中，$CD = 5$，$CE = 4$，$BD = 8$，则$DE=\sqrt{(BD + BE)^{2}+CE^{2}}=\sqrt{(8 + 3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{137}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{\sqrt{137}}$