1. 如图所示,矩形 $ ABCD $ 的对角线交于点 $ O $. 若 $ ∠ACB = 30^{\circ}, AB = 2 $, 则 $ BD $ 的长为( )



A. 2
B. 3
C. $ 2\sqrt{3} $
D. 4

D

2. 如图所示,若矩形 $ ABCD $ 的对角线交于点 $ O $, 则下列结论一定正确的是( )


A. $ OA⊥OB $
B. $ ∠BAC = ∠ACB $
C. $ OA = OB $
D. $ AD = AB $

C

3. 在 $ □ABCD $ 中, $ AC, BD $ 是它的两条对角线,如果添加下列其中一个条件就能使 $ □ABCD $ 成为矩形,那么添加的条件是( )


A. $ AC = BD $
B. $ AC⊥BD $
C. $ AB = BC $
D. $ AC $ 平分 $ ∠BAD $

A

4. 如图所示,在矩形 $ ABCD $ 中, $ M $ 是 $ CD $ 上的点. 若 $ ∠DAM = ∠CBM = 45^{\circ}, AD = 1 $, 则 $ △ABM $ 的周长是______.

$2 + 2\sqrt{2}$

5. 如图所示,矩形 $ ABCD $ 的对角线交于点 $ O $. 若 $ ∠AOD = 110^{\circ} $, 则 $ ∠ACD = $______.

$55^{\circ}$

6. 如图所示, $ □ABCD $ 的对角线 $ AC, BD $ 相交于点 $ O $, 添加一个条件______,使得 $ □ABCD $ 为矩形.

$\angle ABC = 90^{\circ}$（或$AC = BD$）

7. 如图所示,在四边形 $ ABCD $ 中, $ AD// BC, AB⊥BC $ 于点 $ B, AD = 24, BC = 26 $, 点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 1 个单位长度的速度向点 $ D $ 运动,同时点 $ Q $ 从点 $ C $ 出发,以每秒 3 个单位长度的速度向点 $ B $ 运动,其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动. 设运动时间为 $ t $ s.
(1) 当 $ t = $______ s 时,四边形 $ APQB $ 为矩形;
(2) 若 $ PQ = CD $, 求 $ t $ 的值;
(3) 当 $ AB = $______ 时,在点 $ P, Q $ 运动过程中,四边形 $ PQCD $ 能成为菱形.

【解析】：
(1) 因为$AD// BC$，$AB\perp BC$，若四边形$APQB$为矩形，则$AP = BQ$。
已知$AP=t$，$CQ = 3t$，$BC = 26$，所以$BQ=26 - 3t$。
则$t=26 - 3t$，
$t+3t=26$，
$4t=26$，
解得$t=\frac{13}{2}$。
(2) 过点$D$作$DE\perp BC$于点$E$，因为$AD// BC$，$AB\perp BC$，$DE\perp BC$，所以四边形$ABED$是矩形，则$BE = AD = 24$，$EC=BC - BE=26 - 24 = 2$。
当$PQ = CD$时，分两种情况：
情况一：四边形$PQCD$是平行四边形，则$PD = CQ$。
已知$PD=24 - t$，$CQ = 3t$，所以$24 - t=3t$，
$24=3t+t$，
$4t=24$，
解得$t = 6$。
情况二：四边形$PQCD$是等腰梯形，则$CQ=PD + 2EC$。
即$3t=24 - t+2\times2$，
$3t+t=24 + 4$，
$4t=28$，
解得$t = 7$。
(3) 若四边形$PQCD$是菱形，则$PQ=CD=PD$。
由(2)知$EC = 2$，$DE = AB$，$CD=\sqrt{DE^{2}+EC^{2}}$，$PD=24 - t$，$CQ = 3t$，当四边形$PQCD$是菱形时，$PD = CQ$，即$24 - t=3t$，解得$t = 6$。
此时$PD=24 - 6=18$，$EC = 2$，根据勾股定理$AB=DE=\sqrt{CD^{2}-EC^{2}}=\sqrt{18^{2}-2^{2}}=\sqrt{(18 + 2)(18 - 2)}=\sqrt{20\times16}=8\sqrt{5}$。
【答案】：
(1)$\frac{13}{2}$
(2)$t = 6$或$t = 7$
(3)$8\sqrt{5}$