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1. 我国古代著名的“赵爽弦图”示意如图，它由四个全等的直角三角形拼接而成. 若$AB = 17$，$AH = 8$，则正方形$EFGH$的边长是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案
C
2. 定义：若一个直角三角形的两条直角边$a$和$b$满足$\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = k$（$k$为正实数），则称这个直角三角形为“勾股标准形”直角三角形. 现有一个“勾股标准形”直角三角形，若其面积为 24，则它的斜边长是（ ）
A. $5\sqrt{3}$
B. $5\sqrt{5}$
C. 10
D. $10\sqrt{2}$
A. $5\sqrt{3}$
B. $5\sqrt{5}$
C. 10
D. $10\sqrt{2}$
答案
C
3. 如图所示，该大正方形的面积为 49，小正方形的面积为 4，用$x$，$y$表示直角三角形的两直角边$(x ＞ y)$. 有下列四个推断：①$x^{2} + y^{2} = 49$；②$x - y = 2$；③$2xy + 4 = 49$；④$x + y = 7$. 其中正确的推断是______（填序号）.
答案
①②③
4. 如图①所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形. 若图①中的直角三角形的长直角边为 5，大正方形的面积为 29，连接图②中四条线段得到图③，则图③中阴影部分的面积为______
.
.
答案
$\frac{9}{2}$
5. 用四个全等的直角三角形拼成图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为$a$，$b(a ＜ b)$，斜边长为$c$.
（1）请利用图①证明：$a^{2} + b^{2} = c^{2}$.
（2）将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形$ABCDEFGH$，如图②所示. 若该图形的周长为 80，$OB = 5$，求该图形的面积.
（1）请利用图①证明：$a^{2} + b^{2} = c^{2}$.
（2）将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形$ABCDEFGH$，如图②所示. 若该图形的周长为 80，$OB = 5$，求该图形的面积.
答案
【解析】：
### $(1)$ 证明$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
大正方形的面积可以有两种表示方法：
方法一：大正方形的边长为$c$，根据正方形面积公式$S = 边长\times边长$，所以大正方形面积$S_{大正方形}=c^{2}$。
方法二：大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成。
四个直角三角形的面积之和为$4\times\frac{1}{2}ab = 2ab$。
中间小正方形的边长为$(b - a)$，根据正方形面积公式，小正方形面积$S_{小正方形}=(b - a)^{2}=b^{2}-2ab + a^{2}$。
那么大正方形面积$S_{大正方形}=4\times\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}=2ab + b^{2}-2ab + a^{2}=a^{2}+b^{2}$。
因为大正方形面积的两种表示方法相等，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
### $(2)$ 求图形$ABCDEFGH$的面积
设$AH = x$。
由图可知$AO=AH + OH=AH + OB=x + 5$。
图形$ABCDEFGH$的周长为$80$，观察图形可知其周长由$8$条线段组成，且$AH = DE$，$AO = DG$，$OB = EF$，$BC = FG$，$CD = GH$，$AB = HE$，$HG = 2OB$，$EF = OB$，$AO = DE$，$AH = BC$，$CD = FG$，$AB = HE$，所以$8x+16\times5 = 80$（$8$条边中有$8$个$x$和$16$个$OB$的长度），即$8x+80 = 80$，解得$x = 0$（此思路错误，重新分析）。
重新分析：
观察图形$ABCDEFGH$，其周长$= 8(AH + AO)$（因为$AH = BC = DE = FG$，$AO = DG = HE = AB$），已知周长为$80$，则$AH + AO=\frac{80}{8}=10$。
又因为$AO - AH = OB = 5$，设$AH = m$，$AO = n$，则$\begin{cases}m + n = 10\\n - m = 5\end{cases}$，两式相加可得$2n = 15$，$n=\frac{15}{2}$；两式相减可得$2m = 5$，$m=\frac{5}{2}$。
图形$ABCDEFGH$的面积$S = 8\times\frac{1}{2}\times AH\times AO$（$8$个直角三角形的面积之和），把$AH=\frac{5}{2}$，$AO=\frac{15}{2}$代入可得：$S = 4\times\frac{5}{2}\times\frac{15}{2}=150$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{150}$
### $(1)$ 证明$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
大正方形的面积可以有两种表示方法：
方法一：大正方形的边长为$c$，根据正方形面积公式$S = 边长\times边长$，所以大正方形面积$S_{大正方形}=c^{2}$。
方法二：大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成。
四个直角三角形的面积之和为$4\times\frac{1}{2}ab = 2ab$。
中间小正方形的边长为$(b - a)$，根据正方形面积公式，小正方形面积$S_{小正方形}=(b - a)^{2}=b^{2}-2ab + a^{2}$。
那么大正方形面积$S_{大正方形}=4\times\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}=2ab + b^{2}-2ab + a^{2}=a^{2}+b^{2}$。
因为大正方形面积的两种表示方法相等，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
### $(2)$ 求图形$ABCDEFGH$的面积
设$AH = x$。
由图可知$AO=AH + OH=AH + OB=x + 5$。
图形$ABCDEFGH$的周长为$80$，观察图形可知其周长由$8$条线段组成，且$AH = DE$，$AO = DG$，$OB = EF$，$BC = FG$，$CD = GH$，$AB = HE$，$HG = 2OB$，$EF = OB$，$AO = DE$，$AH = BC$，$CD = FG$，$AB = HE$，所以$8x+16\times5 = 80$（$8$条边中有$8$个$x$和$16$个$OB$的长度），即$8x+80 = 80$，解得$x = 0$（此思路错误，重新分析）。
重新分析：
观察图形$ABCDEFGH$，其周长$= 8(AH + AO)$（因为$AH = BC = DE = FG$，$AO = DG = HE = AB$），已知周长为$80$，则$AH + AO=\frac{80}{8}=10$。
又因为$AO - AH = OB = 5$，设$AH = m$，$AO = n$，则$\begin{cases}m + n = 10\\n - m = 5\end{cases}$，两式相加可得$2n = 15$，$n=\frac{15}{2}$；两式相减可得$2m = 5$，$m=\frac{5}{2}$。
图形$ABCDEFGH$的面积$S = 8\times\frac{1}{2}\times AH\times AO$（$8$个直角三角形的面积之和），把$AH=\frac{5}{2}$，$AO=\frac{15}{2}$代入可得：$S = 4\times\frac{5}{2}\times\frac{15}{2}=150$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{150}$
