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1. 下列条件中,不能判断$\triangle ABC$为直角三角形的是( )
A. $AB:BC:AC=3:4:5$
B. $AB:BC:AC=1:2:\sqrt{3}$
C. $\angle A-\angle B=\angle C$
D. $\angle A:\angle B:\angle C=3:4:5$
A. $AB:BC:AC=3:4:5$
B. $AB:BC:AC=1:2:\sqrt{3}$
C. $\angle A-\angle B=\angle C$
D. $\angle A:\angle B:\angle C=3:4:5$
答案
D
2. 如图所示,在$4\times4$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为$1$,$\triangle ABC$的顶点都在格点上.下列结论错误的是( )
A. $BC^{2}=5$
B. $AB=5$
C. $AC=4\sqrt{5}$
D. $\angle ACB=90^{\circ}$
A. $BC^{2}=5$
B. $AB=5$
C. $AC=4\sqrt{5}$
D. $\angle ACB=90^{\circ}$
答案
C
3. 如图所示,在$4\times4$的正方形网格中,$\angle 1+\angle 2$的度数为______.
答案
$90^{\circ}$
4. 如图所示,若等腰三角形$ABC$的底边$BC=5$,$D$是腰$AB$上一点,且$CD=4$,$BD=3$,则$AD$的长为______.
答案
$\frac{7}{6}$
5. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$BC=9\mathrm{cm}$,$AC=12\mathrm{cm}$,$AB=15\mathrm{cm}$,两个动点$P$和$Q$同时从点$A$出发,分别在三角形三边按逆时针和顺时针方向围绕三角形运动一圈后回到初始位置,其中点$P$的速度为$3\mathrm{cm}/\mathrm{s}$,设运动时间为$t\mathrm{s}$.在$\triangle DEF$中,$DE=4\mathrm{cm}$,$DF=5\mathrm{cm}$,$\angle D=\angle A$.如果在$P$,$Q$两点运动过程中的某一时刻,恰好$\triangle APQ\cong\triangle DEF$,那么点$Q$的运动速度为______$\mathrm{cm}/\mathrm{s}$.
答案
$\frac{15}{4}$或$\frac{12}{5}$
6. 如图所示,在$6\times6$的正方形网格中,每个小正方形的边长都为$1$,$\triangle ABC$的顶点均在格点上.
(1)$AB=$______,$BC=$______,$AC=$______.
(2)$\triangle ABC$是直角三角形吗?请作出判断并说明理由.
(1)$AB=$______,$BC=$______,$AC=$______.
(2)$\triangle ABC$是直角三角形吗?请作出判断并说明理由.
答案
(1)$2\sqrt{5}$；$\sqrt{5}$；$5$；(2)是，理由：因为$AB^{2}+BC^{2}=20 + 5 = 25=AC^{2}$，根据勾股定理的逆定理可知$\triangle ABC$是直角三角形。
7. 定义:如图所示,点$M$,$N$把线段$AB$分割成$AM$,$MN$,$NB$,若以$AM$,$MN$,$NB$为边的三角形是一个直角三角形,则称点$M$,$N$是线段$AB$的勾股分割点.
(1)若$AM=1.5$,$MN=2.5$,$BN=2$,则点$M$,$N$是线段$AB$的勾股分割点吗?请说明理由.
(2)已知点$M$,$N$是线段$AB$的勾股分割点,且$AM$为直角边,若$AB=24$,$AM=6$,求$BN$的长.
(1)若$AM=1.5$,$MN=2.5$,$BN=2$,则点$M$,$N$是线段$AB$的勾股分割点吗?请说明理由.
(2)已知点$M$,$N$是线段$AB$的勾股分割点,且$AM$为直角边,若$AB=24$,$AM=6$,求$BN$的长.
答案
【解析】：
### $(1)$判断点$M$，$N$是否是线段$AB$的勾股分割点
根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形。
已知$AM = 1.5$，$MN = 2.5$，$BN = 2$，因为$1.5^{2}+2^{2}=2.25 + 4=6.25$，$2.5^{2}=6.25$，即$AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}$。
所以以$AM$，$MN$，$BN$为边的三角形是直角三角形，故点$M$，$N$是线段$AB$的勾股分割点。
### $(2)$求$BN$的长
设$BN=x$，则$MN=24 - 6 - x=18 - x$。
分两种情况讨论：
**当$MN$为斜边时**：
根据勾股定理$AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}$，即$6^{2}+x^{2}=(18 - x)^{2}$。
展开$(18 - x)^{2}$得$324-36x+x^{2}$，则方程变为$36+x^{2}=324-36x+x^{2}$。
移项可得$36x=324 - 36$，即$36x=288$，解得$x = 8$。
**当$BN$为斜边时**：
根据勾股定理$AM^{2}+MN^{2}=BN^{2}$，即$6^{2}+(18 - x)^{2}=x^{2}$。
展开$(18 - x)^{2}$得$324-36x+x^{2}$，则方程变为$36+324-36x+x^{2}=x^{2}$。
移项可得$36x=36 + 324$，即$36x=360$，解得$x = 10$。
综上，$BN$的长为$8$或$10$。
【答案】：
$(1)$ 点$M$，$N$是线段$AB$的勾股分割点，理由：因为$AM^{2}+BN^{2}=1.5^{2}+2^{2}=6.25$，$MN^{2}=2.5^{2}=6.25$，所以$AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}$，以$AM$，$MN$，$BN$为边的三角形是直角三角形。
$(2)$ $8$或$10$。
### $(1)$判断点$M$，$N$是否是线段$AB$的勾股分割点
根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形。
已知$AM = 1.5$，$MN = 2.5$，$BN = 2$，因为$1.5^{2}+2^{2}=2.25 + 4=6.25$，$2.5^{2}=6.25$，即$AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}$。
所以以$AM$，$MN$，$BN$为边的三角形是直角三角形，故点$M$，$N$是线段$AB$的勾股分割点。
### $(2)$求$BN$的长
设$BN=x$，则$MN=24 - 6 - x=18 - x$。
分两种情况讨论：
**当$MN$为斜边时**：
根据勾股定理$AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}$，即$6^{2}+x^{2}=(18 - x)^{2}$。
展开$(18 - x)^{2}$得$324-36x+x^{2}$，则方程变为$36+x^{2}=324-36x+x^{2}$。
移项可得$36x=324 - 36$，即$36x=288$，解得$x = 8$。
**当$BN$为斜边时**：
根据勾股定理$AM^{2}+MN^{2}=BN^{2}$，即$6^{2}+(18 - x)^{2}=x^{2}$。
展开$(18 - x)^{2}$得$324-36x+x^{2}$，则方程变为$36+324-36x+x^{2}=x^{2}$。
移项可得$36x=36 + 324$，即$36x=360$，解得$x = 10$。
综上，$BN$的长为$8$或$10$。
【答案】：
$(1)$ 点$M$，$N$是线段$AB$的勾股分割点，理由：因为$AM^{2}+BN^{2}=1.5^{2}+2^{2}=6.25$，$MN^{2}=2.5^{2}=6.25$，所以$AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}$，以$AM$，$MN$，$BN$为边的三角形是直角三角形。
$(2)$ $8$或$10$。
