1. 下列各组数是勾股数的是( )
A. 3,4,5
B. $\sqrt{3},2,\sqrt{5}$
C. $1,1,\sqrt{2}$
D. 2,12,14

A

2. 在我国古代,将直角三角形中短的直角边叫作勾,长的直角边叫作股,斜边叫作弦.古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为 2 的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17……若此类勾股数的勾为 $2m(m\geqslant 3$,m 为正整数),则其弦(结果用含 m 的式子表示)是( )
A. $4m^{2}-1$
B. $4m^{2}+1$
C. $m^{2}-1$
D. $m^{2}+1$

D

3. 如表所示,当 $a = 90$ 时,b 的值为( )
| a | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | … |
| b | 8 | 15 | 24 | 35 | 48 | … |
| c | 10 | 17 | 26 | 37 | 50 | … |
A. 2 022
B. 2 023
C. 2 024
D. 2 025

C

4. 观察:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;⑤15,m,n.则 $m + n =$____.

$225$

5. 若正整数 a,n 满足 $a^{2}+n^{2}=(n + 1)^{2}$,我们把这样的三个整数 a,n,$n + 1$(如:3,4,5 或 5,12,13)称为一组“完美勾股数”.当 $n\lt 115$ 时,共有____组这样的“完美勾股数”.

$7$

6. 如图所示,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离 AB 的长度为 1 尺.将它往前水平推送 10 尺,即 $A'C = 10$ 尺,此时秋千的踏板离地距离 $A'D$ 和身高 5 尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索 OA 的长为____尺.

$14.5$

7. 请在给定的网格中画一个“弦图”.

如图所示：

8. 已知:整式 $A=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}$,整式 $B\gt 0$.【尝试】化简整式 A.【发现】$A = B^{2}$,求整式 B.【联想】可知 $B^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}$,当 $n\gt 1$ 时,$n^{2}-1$,2n,B 为直角三角形的三边长,如图所示.填写下表中 B 的值.
| 直角三角形的三边长 | $n^{2}-1$ | 2n | B |
| 勾股数组Ⅰ | | 8 | |
| 勾股数组Ⅱ | 35 | | |

【解析】：
### 尝试：化简整式$A$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$对$A=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}$进行化简：
$\begin{aligned}A&=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}\\&=n^{4}-2n^{2}+1 + 4n^{2}\\&=n^{4}+2n^{2}+1\\&=(n^{2}+1)^{2}\end{aligned}$
### 发现：求整式$B$
因为$A = B^{2}$，$A=(n^{2}+1)^{2}$，且$B\gt0$，所以$B=n^{2}+1$。
### 联想：求表格中$B$的值
对于勾股数组Ⅰ：
已知$2n = 8$，则$n = 4$。
把$n = 4$代入$B=n^{2}+1$，可得$B=4^{2}+1=16 + 1=17$。
对于勾股数组Ⅱ：
已知$n^{2}-1 = 35$，则$n^{2}=36$（$n\gt1$），所以$n = 6$。
把$n = 6$代入$2n$得$2n=2\times6 = 12$；代入$B=n^{2}+1$得$B=6^{2}+1=36 + 1=37$。
【答案】：
| 直角三角形的三边长 | $n^{2}-1$ | $2n$ | $B$ |
| 勾股数组Ⅰ | $15$ | $8$ | $17$ |
| 勾股数组Ⅱ | $35$ | $12$ | $37$ |
其中$n^{2}-1$（勾股数组Ⅰ）的值为$n = 4$时，$n^{2}-1=4^{2}-1 = 15$。