1. 若直角三角形的两边长为 3 和 4,则第三边长为( )
A. 5 或$\sqrt {7}$
B. $\sqrt {7}$
C. 7
D. 5

A

2. 如图所示,数轴上的点 C 表示的数是 2,$BC⊥OC$于点 C,且$BC=1$,连接 OB,以 O 为圆心,OB 长为半径画弧与数轴交于点 A,则点 A 表示的数是( )


A. $\sqrt {5}$
B. $-\sqrt {5}$
C. $2-\sqrt {5}$
D. $\sqrt {5}-2$

D

3. 我国古代称直角三角形为“勾股形”. 如图所示,将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形. 若$a=10,b=2$,则此勾股形的面积为( )

A. 28
B. 30
C. 32
D. 36

B

4. 如图所示,在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,AD 平分$∠BAC$交 BC 于点 D,$DE// AB$交 AC 于点E. 若$CE=1,CD=\sqrt {3}$,则 AE 的长为____.

$2$

5. 如图所示,点 E,F 分别在 AB,CD 上,$AF⊥CE$,垂足为 O,$∠BFD=∠C$. 若$AF=4,BF=3$,则点 F 到直线 AB 的距离为____.

$3$

6. 如图所示,在$△ABC$中,$AC=BC=5,AB=6,CD⊥AB$. 若$∠ABC$的平分线交 CD 于点 E,则$DE=$____.

$\frac{3}{2}$

7. 如图所示,在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,在边 BC 上有一点 P,连接 AP,且$PA=PB$. 若$AC=2,CB=5$,求 PA 的长.

【解析】：设$PA = PB = x$，则$PC = 5 - x$。
在$Rt\triangle ACP$中，根据勾股定理$AC^{2}+PC^{2}=PA^{2}$。
已知$AC = 2$，代入可得$2^{2}+(5 - x)^{2}=x^{2}$。
展开式子：$4 + 25 - 10x + x^{2}=x^{2}$。
移项化简：$10x = 29$，解得$x=\frac{29}{10}$。
【答案】：$\frac{29}{10}$

8. 如图所示,在$△ABC$中,AD 是 BC 边上的高线,CE 是 AB 边上的中线,$AB=2CD$,F 是 CE 的中点.
(1)求证:$∠DCE=∠ADF;$
(2)若$∠BAC=90^{\circ },AE=6,AC=8$,求 DF 的长.

【解析】：
### $(1)$ 证明$\angle DCE = \angle ADF$
连接$DE$。
因为$AD\perp BC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
由于$CE$是$AB$边上的中线，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$DE = AE=BE=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 2CD$，则$DE = CD$，所以$\angle DCE=\angle DEC$（等边对等角）。
又因为$F$是$CE$的中点，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合），在$\triangle DEC$中，$DF$是中线，所以$DF\perp CE$，$\angle DFC = 90^{\circ}$。
因为$\angle ADB = 90^{\circ}$，$F$是$CE$中点，$E$是$AB$中点，所以$DF$是$\triangle DEC$的中线，$DE = BE$，$AE = BE$，$AB = 2CD$，$DE = CD$。
设$\angle DCE=\angle DEC = x$，则$\angle BDE = 2x$（三角形外角等于不相邻两个内角和），$\angle ADE=\angle DAE$（$DE = AE$），$\angle ADE+\angle DAE=\angle BDE$，所以$\angle ADE = x$，即$\angle DCE=\angle ADF$。
### $(2)$ 求$DF$的长
已知$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AE = 6$，则$AB = 2AE=12$。
因为$AC = 8$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{12^{2}+8^{2}}=\sqrt{144 + 64}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$。
又因为$AD\perp BC$，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，即$\frac{1}{2}\times12\times8=\frac{1}{2}\times4\sqrt{13}\cdot AD$，解得$AD=\frac{24}{\sqrt{13}}=\frac{24\sqrt{13}}{13}$。
由$AB = 2CD$，可得$CD=\frac{1}{2}AB = 6$。
因为$E$是$AB$中点，$F$是$CE$中点，所以$DF=\frac{1}{2}AE$（直角三角形斜边中线定理的推论：在直角三角形中，一条直角边的中线等于这条直角边的一半，这里通过前面证明$\triangle DEC$相关性质可推），又因为$AE = 6$，$DE = AE$，$\triangle DEC$中$DF$是中线，$\angle BAC = 90^{\circ}$，根据勾股定理求出$CE=\sqrt{AE^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$（这里也可换一种思路：因为$DE = BE=AE = 6$，$CD = 6$，$CE$可通过其他方法计算，再结合$F$是$CE$中点，$\triangle DEC$中$DF$的性质），$DF=\frac{1}{2}CE$（直角三角形斜边中线定理：在$\triangle DEC$中，$\angle DFC = 90^{\circ}$，$F$是$CE$中点），所以$DF = 5$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{5}$