1. 若$a + b = 4$，$ab = 2$，则$\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}}$的值为( )
A. $2\sqrt{2}$
B. 2
C. $\sqrt{2}$
D. 1

A

2. 若$x = \sqrt{7} + \sqrt{5}$，$y = \sqrt{7} - \sqrt{5}$，则代数式$x^{2} - 2xy + y^{2}$的值为( )
A. 28
B. 20
C. $4\sqrt{7}$
D. $4\sqrt{5}$

B

3. 如图所示，若矩形内三个相邻的正方形的面积分别为 2，3 和 4，则图中阴影部分的面积为( )


A. 2
B. $\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{3} + \sqrt{6} - 2\sqrt{2} - 3$
D. $2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 5$

$\boldsymbol{C}$

4. 若代数式$\sqrt{(1 - a)^{2}} + \sqrt{(3 - a)^{2}}$的值是常数 2，则$a$的取值范围是______.

$1\leqslant a\leqslant 3$

5. 边长为$a$，$b$的长方形如图所示，若其周长为$2 + 2\sqrt{5}$，面积为$\sqrt{5}$，则$a^{2}b + ab^{2}$的值为______.

$5 + \sqrt{5}$

6. 若$\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$，则$\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 1}$的值为______.

$\sqrt{35}$

7. 小明同学在解决问题“已知$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$，求$2a^{2} - 8a + 1$的值”时，他是这样解答的：
$\because a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$，$\therefore \sqrt{3} = 2 - a$，$\therefore (\sqrt{3})^{2} = (2 - a)^{2}$，$\therefore a^{2} = 4a - 1$.
$\therefore 2a^{2} - 8a + 1 = 2(4a - 1) - 8a + 1 = 8a - 2 - 8a + 1 = -1$.
请你认真阅读小明的解答过程，解答以下问题.
(1)化简：$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$；
(2)已知$x = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$，求$2x^{3} - 8x^{2} + 3x + 7$的值.

【解析】：
(1)
对于$\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}$（$n$为正整数），进行分母有理化：
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}&=\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n})(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})}\\&=\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{(n + 1)-n}\\&=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}\end{aligned}$
则$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}$
$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$
通过去括号后，中间项相互抵消，可得：$\sqrt{2025}-1 = 45 - 1=44$。
(2)
先对$x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$进行分母有理化：
$x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2 - 1}=\sqrt{2}+1$，则$\sqrt{2}=x - 1$。
两边平方可得$(\sqrt{2})^{2}=(x - 1)^{2}$，即$2=x^{2}-2x + 1$，整理得$x^{2}=2x + 1$。
再对$2x^{3}-8x^{2}+3x + 7$进行变形：
$2x^{3}-8x^{2}+3x + 7=2x\cdot x^{2}-8x^{2}+3x + 7$
把$x^{2}=2x + 1$代入上式得：
$\begin{aligned}&2x(2x + 1)-8(2x + 1)+3x + 7\\=&4x^{2}+2x-16x - 8+3x + 7\\=&4(2x + 1)+2x-16x - 8+3x + 7\\=&8x+4+2x-16x - 8+3x + 7\\=&(8x+2x-16x + 3x)+(4 - 8 + 7)\\=&-3x + 3\end{aligned}$
把$x=\sqrt{2}+1$代入$-3x + 3$得：
$-3(\sqrt{2}+1)+3=-3\sqrt{2}-3 + 3=-3\sqrt{2}$。
【答案】：(1) $44$；(2) $-3\sqrt{2}$