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22. (9分)(2025巴音郭楞州期末)如图69-G-8，数轴上的点A,B分别表示有理数$a,b$，且$|a|=8,|b|=12$.
(1)求$a,b$的值；
(2)若点C在数轴上，且点C到点A的距离是点C到点B距离的$\frac{1}{3}$，求点C表示的数.
(1)求$a,b$的值；
(2)若点C在数轴上，且点C到点A的距离是点C到点B距离的$\frac{1}{3}$，求点C表示的数.
答案
22. 解:(1)由点 A,B 的位置可知,$a＜b$.
因为$|a|=8,|b|=12$,
所以 $a=8,b=12$ 或 $a=-8,b=12$.
(2)①当 $a=8,b=12$ 时,$AB=12-8=4$.
若点 C 在线段 AB 上,
因为点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的$\frac{1}{3}$,
所以 $AC=\frac{1}{4}AB=1$,
所以点 C 所表示的数为 $8+1=9$；
若点 C 在线段 BA 的延长线上,
因为点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的$\frac{1}{3}$,
所以 $AC=\frac{1}{2}AB=2$,
所以点 C 所表示的数为 $8-2=6$；
②当 $a=-8,b=12$ 时,$AB=12-(-8)=20$.
若点 C 在线段 AB 上,
因为点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的$\frac{1}{3}$,
所以 $AC=\frac{1}{4}AB=5$,
所以点 C 所表示的数为$-8+5=-3$；
若点 C 在线段 BA 的延长线上,
因为点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的$\frac{1}{3}$,
所以 $AC=\frac{1}{2}AB=10$,
所以点 C 所表示的数为$-8-10=-18$.
综上所述,点 C 所表示的数为$-18$ 或$-3$ 或 6 或 9.
因为$|a|=8,|b|=12$,
所以 $a=8,b=12$ 或 $a=-8,b=12$.
(2)①当 $a=8,b=12$ 时,$AB=12-8=4$.
若点 C 在线段 AB 上,
因为点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的$\frac{1}{3}$,
所以 $AC=\frac{1}{4}AB=1$,
所以点 C 所表示的数为 $8+1=9$；
若点 C 在线段 BA 的延长线上,
因为点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的$\frac{1}{3}$,
所以 $AC=\frac{1}{2}AB=2$,
所以点 C 所表示的数为 $8-2=6$；
②当 $a=-8,b=12$ 时,$AB=12-(-8)=20$.
若点 C 在线段 AB 上,
因为点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的$\frac{1}{3}$,
所以 $AC=\frac{1}{4}AB=5$,
所以点 C 所表示的数为$-8+5=-3$；
若点 C 在线段 BA 的延长线上,
因为点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的$\frac{1}{3}$,
所以 $AC=\frac{1}{2}AB=10$,
所以点 C 所表示的数为$-8-10=-18$.
综上所述,点 C 所表示的数为$-18$ 或$-3$ 或 6 或 9.
解析
【分析】
(1) 先根据数轴特征：数轴上右边的数总大于左边的数，可得$a＜b$；再结合绝对值的性质，绝对值为8的数有$\pm8$，绝对值为12的数有$\pm12$，筛选出满足$a＜b$的组合即可得到$a,b$的取值。
(2) 求点C表示的数需两次分类讨论：首先分$a=8,b=12$和$a=-8,b=12$两种情况；每种情况下再分点C在线段AB上、点C在线段BA的延长线上两种位置（点C在AB延长线上时$CA＞CB$，不满足$CA=\frac{1}{3}CB$，无需考虑），再根据$CA$和$CB$的数量关系求出$AC$的长度，进而计算点C表示的数。
【解析】
(1) 由数轴上点A、B的位置可知$a＜b$。
因为$|a|=8$，所以$a=\pm8$；因为$|b|=12$，所以$b=\pm12$。
结合$a＜b$的条件筛选：
当$a=8$时，仅$b=12$符合要求；当$a=-8$时，仅$b=12$符合要求。
因此$a=8,b=12$或$a=-8,b=12$。
(2) 分两种情况计算：
① 当$a=8,b=12$时，$AB=12-8=4$：
若点C在线段AB上：由$AC=\frac{1}{3}CB$得$CB=3AC$，又$AC+CB=AB=4$，代入得$4AC=4$，解得$AC=1$，则点C表示的数为$8+1=9$；
若点C在线段BA的延长线上：由$AC=\frac{1}{3}CB$得$CB=3AC$，又$CB-AC=AB=4$，代入得$2AC=4$，解得$AC=2$，则点C表示的数为$8-2=6$。
② 当$a=-8,b=12$时，$AB=12-(-8)=20$：
若点C在线段AB上：由$AC=\frac{1}{3}CB$得$CB=3AC$，又$AC+CB=AB=20$，代入得$4AC=20$，解得$AC=5$，则点C表示的数为$-8+5=-3$；
若点C在线段BA的延长线上：由$AC=\frac{1}{3}CB$得$CB=3AC$，又$CB-AC=AB=20$，代入得$2AC=20$，解得$AC=10$，则点C表示的数为$-8-10=-18$。
综上，点C表示的数为$-18$或$-3$或$6$或$9$。
【答案】
(1) $a=8,b=12$或$a=-8,b=12$；
(2) 点C表示的数为$\boldsymbol{-18}$或$\boldsymbol{-3}$或$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{9}$。
【知识点】
绝对值的性质；数轴两点距离；分类讨论思想
【点评】
本题是数轴与绝对值的综合应用题，解题核心是按照逻辑逐层分类讨论，避免漏解，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据数轴特征：数轴上右边的数总大于左边的数，可得$a＜b$；再结合绝对值的性质，绝对值为8的数有$\pm8$，绝对值为12的数有$\pm12$，筛选出满足$a＜b$的组合即可得到$a,b$的取值。
(2) 求点C表示的数需两次分类讨论：首先分$a=8,b=12$和$a=-8,b=12$两种情况；每种情况下再分点C在线段AB上、点C在线段BA的延长线上两种位置（点C在AB延长线上时$CA＞CB$，不满足$CA=\frac{1}{3}CB$，无需考虑），再根据$CA$和$CB$的数量关系求出$AC$的长度，进而计算点C表示的数。
【解析】
(1) 由数轴上点A、B的位置可知$a＜b$。
因为$|a|=8$，所以$a=\pm8$；因为$|b|=12$，所以$b=\pm12$。
结合$a＜b$的条件筛选：
当$a=8$时，仅$b=12$符合要求；当$a=-8$时，仅$b=12$符合要求。
因此$a=8,b=12$或$a=-8,b=12$。
(2) 分两种情况计算：
① 当$a=8,b=12$时，$AB=12-8=4$：
若点C在线段AB上：由$AC=\frac{1}{3}CB$得$CB=3AC$，又$AC+CB=AB=4$，代入得$4AC=4$，解得$AC=1$，则点C表示的数为$8+1=9$；
若点C在线段BA的延长线上：由$AC=\frac{1}{3}CB$得$CB=3AC$，又$CB-AC=AB=4$，代入得$2AC=4$，解得$AC=2$，则点C表示的数为$8-2=6$。
② 当$a=-8,b=12$时，$AB=12-(-8)=20$：
若点C在线段AB上：由$AC=\frac{1}{3}CB$得$CB=3AC$，又$AC+CB=AB=20$，代入得$4AC=20$，解得$AC=5$，则点C表示的数为$-8+5=-3$；
若点C在线段BA的延长线上：由$AC=\frac{1}{3}CB$得$CB=3AC$，又$CB-AC=AB=20$，代入得$2AC=20$，解得$AC=10$，则点C表示的数为$-8-10=-18$。
综上，点C表示的数为$-18$或$-3$或$6$或$9$。
【答案】
(1) $a=8,b=12$或$a=-8,b=12$；
(2) 点C表示的数为$\boldsymbol{-18}$或$\boldsymbol{-3}$或$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{9}$。
【知识点】
绝对值的性质；数轴两点距离；分类讨论思想
【点评】
本题是数轴与绝对值的综合应用题，解题核心是按照逻辑逐层分类讨论，避免漏解，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
