23. (9分)综合与实践：
【实践操作】
在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图69-G-9，点A，O，B在同一条直线上，将一三角尺如图①放置，直角顶点与点O重合，$∠ COD$是直角，OE平分$∠ BOC$.
【问题发现】
(1)若$∠ DOE＝20°$，则$∠ AOC$的度数为；
(2)将这一三角尺如图②放置，其他条件不变，若$∠ DOE＝70°$，求$∠ AOC$的度数；
(3)将这一三角尺如图③放置，其他条件不变，试探究$∠ AOC$和$∠ DOE$的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.

图69-G-9

23. 解:(1)因为$∠ COD$ 是直角,$∠ DOE=20°$,
所以$∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-20°=70°$.
因为 OE 平分$∠ BOC$,
所以$∠ BOC=2∠ COE=140°$,
所以$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=180°-140°=40°$.
故答案为 $40°$.
(2)因为$∠ COD$ 是直角,$∠ DOE=70°$,
所以$∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-70°=20°$.
因为 OE 平分$∠ BOC$,
所以$∠ BOC=2∠ COE=40°$,
所以$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=180°-40°=140°$.
(3)$∠ AOC+2∠ DOE=360°$.理由如下:
因为$∠ COD$ 是直角,
所以$∠ COD=90°$.
因为 OE 平分$∠ BOC$,
所以$∠ BOC=2∠ BOE=2∠ COE$,
所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-2∠ COE$.
又$∠ COE=∠ DOE-∠ COD=∠ DOE-90°$,
所以$∠ AOC=180°-2(∠ DOE-90°)$,
所以$∠ AOC+2∠ DOE=360°$.

【分析】
这道题围绕平角、直角和角平分线的性质考查角度的计算，解题思路如下：
(1) 首先利用直角∠COD=90°，结合已知∠DOE的度数，通过角度差算出∠COE的度数；再根据OE是∠BOC的角平分线，得到∠BOC=2∠COE；最后利用平角∠AOB=180°，用180°减去∠BOC即可得到∠AOC的度数。
(2) 解题思路和(1)完全一致，仅替换∠DOE的数值即可计算。
(3) 探究两角关系时，先由角平分线性质将∠BOC用∠COE表示，再将∠AOC用180°-∠BOC表示；接着结合∠COD=90°，把∠COE转化为∠DOE与90°的差，代入∠AOC的表达式整理即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 因为∠COD是直角，∠DOE=20°，
所以∠COE=∠COD - ∠DOE = 90° - 20° = 70°。
因为OE平分∠BOC，
所以∠BOC=2∠COE=2×70°=140°，
又因为点A、O、B在同一直线上，∠AOB=180°，
所以∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180° - 140°=40°。
(2) 因为∠COD是直角，∠DOE=70°，
所以∠COE=∠COD - ∠DOE=90° - 70°=20°。
因为OE平分∠BOC，
所以∠BOC=2∠COE=2×20°=40°，
所以∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180° - 40°=140°。
(3) 结论：∠AOC + 2∠DOE = 360°，理由如下：
因为∠COD是直角，所以∠COD=90°。
因为OE平分∠BOC，所以∠BOC=2∠COE。
因为∠AOB是平角，所以∠AOC=180° - ∠BOC=180° - 2∠COE。
又因为∠COE=∠DOE - ∠COD=∠DOE - 90°，
将其代入上式可得：∠AOC=180° - 2(∠DOE - 90°)，
整理得：∠AOC + 2∠DOE=360°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) $\boldsymbol{140°}$；(3) $\boldsymbol{∠ AOC + 2∠ DOE = 360°}$
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的综合探究题，结合三角板的固定直角、平角特征以及角平分线的性质考查角度的推导，前两问是特殊值计算，第三问是一般规律探究，遵循从特殊到一般的探究逻辑，解题的核心是准确梳理各个角之间的和差关系，合理进行等量代换。
【难度系数】
0.7