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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ B=90°$，$AB=\sqrt{3} BC$，则$∠ C$等于（
A.$45°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$50°$
C
）A.$45°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$50°$
答案
1. C 解析:在△ABC中,
∵ ∠B=90°,tan C=AB/BC=√3,
∴ ∠C=60°.故选 C.
∵ ∠B=90°,tan C=AB/BC=√3,
∴ ∠C=60°.故选 C.
2.（巴中中考）如图，点A,B,C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（
A.$\sin B=\dfrac{1}{3}$
B.$\sin C=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\tan B=\dfrac{1}{2}$
D.$\sin^2 B+\sin^2 C=1$
A
）A.$\sin B=\dfrac{1}{3}$
B.$\sin C=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\tan B=\dfrac{1}{2}$
D.$\sin^2 B+\sin^2 C=1$
答案
2. A 解析:由网格得AB=2√2,AC=√2,BC=√10,
∴ ∠A=90°.故 sin B=AC/BC=√5/5,不是1/3.又 sin C=2√5/5,tan B=1/2,且∠B,∠C互余,其他选项均成立.故选 A.
∴ ∠A=90°.故 sin B=AC/BC=√5/5,不是1/3.又 sin C=2√5/5,tan B=1/2,且∠B,∠C互余,其他选项均成立.故选 A.
3.（福州中考）如图，以点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是$\overset{\frown}{AB}$上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（
A.$(\sin α, \sin α)$
B.$(\cos α, \cos α)$
C.$(\cos α, \sin α)$
D.$(\sin α, \cos α)$
C
）A.$(\sin α, \sin α)$
B.$(\cos α, \cos α)$
C.$(\cos α, \sin α)$
D.$(\sin α, \cos α)$
答案
3. C 解析:点 P 在单位圆第一象限内,∠POB = α,横坐标为cos α,纵坐标为 sin α,
∴ P( cos α,sin α).故选 C.
∴ P( cos α,sin α).故选 C.
4. (2026·哈尔滨校级月考)定义:在等腰三角形中,底边与腰的比叫作顶角的正对,顶角A的正对记作sad A,即sad A=底边:腰.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=4∠ B$,则$\cos B · \mathrm{sad } A$的值为 (
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
B
)A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
答案
4. B 解析:如图,过点 A 作 AD ⊥ BC,垂足为 D,
∵ AB = AC,
∴ ∠B=∠C.由∠BAC=4∠B及三角形内角和定理,得∠B=30°.又 BD = CD,
∴ sad A = BC/AB = 2BD/AB = 2cos B =√3.
∴ cos B · sad A=√3/2×√3=3/2.故选 B.
5. (2024·包头中考)如图,在矩形ABCD中,E,F是边BC上两点,且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若AB=4,BC=6,则$\sin∠ GBF$的值为 (
A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A
)A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
5. A 解析:在矩形 ABCD 中,BE = EF = FC,AB = 4,BC = 6,
∴ AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2,
∴ △AGD∽△FGE,BF=4,
∴ FG/AG=EF/AD=1/3,
∴ FG/AF=1/4.如图,过点 G 作 GH ⊥ BC,垂足为点 H,则 GH // AB,
∴ △GHF∽△ABF,
∴ FH/BF=GH/AB=FG/AF=1/4,
∴ FH=1/4 BF=1,GH=1/4 AB=1,
∴ BH=BF-FH=3,
∴ BG=√(1²+3²)=√10,
∴ sin∠GBF=HG/BG=1/√10=√10/10.故选 A.
6.（泸州中考）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，矩形$OABC$的顶点$B$的坐标为$(10,4)$，四边形$ABEF$是菱形，且$\tan∠ ABE=\dfrac{4}{3}$.若直线$l$把矩形$OABC$和菱形$ABEF$组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线$l$的表达式为（
A.$y=3x$
B.$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{15}{2}$
C.$y=-2x+11$
D.$y=-2x+12$
D
）A.$y=3x$
B.$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{15}{2}$
C.$y=-2x+11$
D.$y=-2x+12$
答案
6. D 解析:如图,过点 E 作 EG ⊥ AB 于点 G.
∵ 矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为(10,4),四边形 ABEF 是菱形,
∴ AB=BE=10,点 A 的坐标为(0,4),点 C 的坐标为(10,0),在Rt△BEG中,tan∠ABE=4/3,BE = 10,
∴ sin∠ABE=4/5,即 EG/BE=4/5,
∴ EG=8,BG=√(BE²-EG²)=6,
∴ AG=4,
∴ 点 E 的坐标为(4,12).根据题意,直线 l 经过矩形 OABC 的对角线的交点H 和菱形 ABEF 的对角线的交点 D,点 H 的坐标为((0+10)/2,(0+4)/2),点 D 的坐标为((0+4)/2,(4+12)/2),
∴ 点 H 的坐标为(5,2),点 D 的坐标为(2,8).设直线 l 的表达式为 y = kx + b,把(5,2),(2,8)代入,得{5k+b=2, 2k+b=8, 解得{k=-2, b=12,
∴ 直线 l 的表达式为 y = -2x+12.故选 D.
7. (2026·上海中考)在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 10$，$AC = 6$，则$\tan B$的值为
$\frac{3}{4}$
.答案
7. 3/4 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,由勾股定理得 BC=√(AB²-AC²)=√(10²-6²)=8,根据正切的定义可得 tan B=AC/BC=6/8=3/4.
8. (2025·岳阳校级月考)关于$x$的方程$x^2 - 2x + 2\sin A = 0$有两个相等的实数根，$∠ A$是一个锐角，则$∠ A=$
$30°$
.答案
8. 30° 解析:
∵ 方程有两个相等的实数根,
∴ b²-4ac = (-2)²-4×2sin A=0,得 sin A=1/2.
∵ ∠A 为锐角,
∴ ∠A=30°.
∵ 方程有两个相等的实数根,
∴ b²-4ac = (-2)²-4×2sin A=0,得 sin A=1/2.
∵ ∠A 为锐角,
∴ ∠A=30°.
9. (扬州中考)如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则$\sin∠ ADC$的值为
$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
. 答案
9. 2√13/13 解析:连接 AC 和 BC,∠ADC 与∠ABC 所对的弧都是⌢AC,
∴ ∠ADC=∠ABC.由网格得 AC=2,BC=3,AB=√13,
∴ sin∠ADC=sin∠ABC=AC/AB=2√13/13.
∴ ∠ADC=∠ABC.由网格得 AC=2,BC=3,AB=√13,
∴ sin∠ADC=sin∠ABC=AC/AB=2√13/13.
10. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$\sin A ＞ \cos A$，那么$∠ A$的度数范围是
$45°＜∠A＜90°$
。答案
10. 45°＜∠A＜90° 解析:当∠A=45°时,sin A=cos A.
∵ ∠C=90°,∠A 只能为锐角,当∠A 增大时 sin A 增大,cos A 减小,
∴ 当 sin A＞cos A时,45°＜∠A＜90°.
∵ ∠C=90°,∠A 只能为锐角,当∠A 增大时 sin A 增大,cos A 减小,
∴ 当 sin A＞cos A时,45°＜∠A＜90°.
11.(2024·眉山中考)如图,斜坡CD的坡度i=1:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为
$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$
米.答案
11. (4√15-2√5) 解析:如图,过点 E 作水平地面的平行线,交 AB 的延长线于点 H,则∠BEH=∠DCF,在 Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠DCF=i=BH/EH=1/2,设 BH = x 米,则EH=2x 米,
∴ BE=√(EH²+BH²)=√5 x=10,
∴ x=2√5,
∴ BH=2√5米,EH=4√5 米.
∵ ∠AEH=60°,
∴ AH=tan∠AEH · EH =√3 EH =4√15米,
∴ AB = AH - BH =(4√15-2√5)米,故大树 AB 的高为(4√15-2√5)米.
