12. (2024·泰安中考)如图,AB是$\odot O$的直径,AH是$\odot O$的切线,点C为$\odot O$上任意一点,点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F,若$DF=1,\tan B=\frac{1}{2}$,则AE的长为.

12. √5 解析:
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ADB=90°.
∵ AH 是⊙O 的切线,
∴ ∠BAF=90°,
∴ ∠DAF=∠B=90°-∠DAB,
∴ △DAF∽△DBA,
∴ DF/AD=AD/BD=tan B=1/2.
∵ DF=1,
∴ AD=2,
∴ AF=√5.
∵ 点 D 为⌢AC的中点,
∴ ⌢AD=⌢CD,
∴ ∠B=∠DAC=∠DAF.
∵ ∠ADE=∠ADF=90°,
∴ 90°-∠DAE=90°-∠DAF,即∠AED=∠AFD,
∴ AE=AF=√5.

13. (广元中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,0)$,点$B(0,-3)$,点$C$在$x$轴上,且点$C$在点$A$右方,连接$AB$,$BC$,若$\tan∠ ABC=\frac{1}{3}$,则点$C$的坐标为.

13. (9/4,0) 解析:设 C(a,0),
∴ OC=a.
∵ 点 A(1,0),点 B(0,-3),
∴ OA=1,AC=a-1,OB=3,BC=√(3²+a²)=√(a²+9).在 Rt△OAB 中,tan∠OBA=OA/OB=1/3,tan∠ABC=1/3,
∴ ∠OBA=∠ABC.如图,过 C 点作 CD//y 轴交 BA 的延长线于点 D,
∴ ∠OBA=∠D,∠AOB=∠ACD,
∴ △OBA∽△CDA,∠ABC=∠D,
∴ OB/CD=OA/CA,CD=BC,
∴ OB/BC=OA/AC,
∴ 3/√(a²+9)=1/(a-1),解得 a=9/4,
∴ C(9/4,0).

14. 如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4 m，从O，A两处观测P处，仰角分别为α，β，且$\tan α=\frac{1}{2}$，$\tan β=\frac{3}{2}$，以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，若水面上升1 m，则水面宽为 m.

14. 2√2 解析:过点 P 作 PH ⊥ OA 于 H,如图.设 PH=3x m,在Rt△OHP中,
∵ tan α=PH/OH=1/2,
∴ OH=6x m.在 Rt△AHP中,
∵ tan β=PH/AH=3/2,
∴ AH=2x m,
∴ OA=OH+AH=8x m.又
∵ OA=4 m,
∴ x=1/2,
∴ OH=3 m,PH=3/2 m,
∴ 点 P 的坐标为(3, 3/2).设水面上升 1 m 后到达 BC 位置,过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的表达式可设为 y=ax(x-4).
∵ P(3, 3/2)在抛物线 y=ax(x-4)上,
∴ 3a(3-4)=3/2,解得 a=-1/2,
∴ 抛物线的表达式为 y=-1/2 x(x-4)(0≤x≤4).当 y=1 时,-1/2 x(x-4)=1,解得 x₁=2+√2,x₂=2-√2,
∴ BC=(2+√2)-(2-√2)=2√2 (m).

三、解答题(共58分)
15. (8分)计算:
(1)$2\cos 30° - |1 - \tan 60°| + \tan 45° · \sin 45°$;
(2)$\frac{\sin 60° - 1}{\tan 60° - 2\tan 45°} - \sqrt{3}\cos 30° + \sqrt{2}\sin 45°$.

15. (1)原式=2×√3/2 -√3 +1 +1×√2/2 =1+√2/2.
(2)原式=(√3/2 -1)/(√3 -2×1) -√3×√3/2 +√2×√2/2 =1/2 -3/2 +1=0.

16. (8分)(无锡中考)如图,已知锐角$△ ABC$中,$AC=BC$.
(1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图:作$∠ ACB$的平分线$CD$;作$△ ABC$的外接圆$\odot O$.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若$AB=\dfrac{48}{5}$,$\odot O$的半径为5,求$\sin B$的值.(如需画草图,请使用图②)

16. (1)如图①,射线 CD 就是所要求作的∠ACB 的平分线.⊙O 就是所要求作的△ABC 的外接圆.
(2)如图②,连接 OB,设∠ACB 的平分线交 AB 于点 E.
∵ CA=CB,CD 平分∠ACB,
∴ CD ⊥ AB,EB=1/2 AB=24/5.在Rt△OBE 中,OE=√(OB²-EB²)=√(5²-(24/5)²)=7/5,
∴ CE=OC+OE=5+7/5=32/5.在 Rt△BCE 中,BC=√(BE²+CE²)=√((24/5)²+(32/5)²)=8,
∴ sin∠CBE=CE/BC=32/5 /8=4/5.