典例3 已知某蓄水池(蓄水池是满的)每小时的放水量$q$(单位:$m^3$)与放水时间$t$(单位:$h$)之间的函数关系如图所示.

(1)求此蓄水池的蓄水量,并写出其函数解析式.
(2)当每小时放水$4\ m^3$时,需多长时间放完水?
(3)若要在$5\ h$内放完水,则每小时至少应放水多少立方米?

解：
(1) 蓄水池的蓄水量为：$4000 × 12 = 48000 \ (\mathrm{m}^3)$。
由题意可知$q$与$t$成反比例函数关系，设函数解析式为$q=\dfrac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将$t=12$，$q=4000$代入得$k=12 × 4000 = 48000$，
因此函数解析式为$\boldsymbol{q=\dfrac{48000}{t}(t＞0)}$。
(2) 将$q=4$代入$q=\dfrac{48000}{t}$，得：
$4=\dfrac{48000}{t}$，
解得$t=12000$。
即需$12000\ \mathrm{h}$放完水。
(3) 将$t=5$代入$q=\dfrac{48000}{t}$，得：
$q=\dfrac{48000}{5}=9600$。
因为当$t＞0$时，$q$随$t$的增大而减小，所以要在$5\ \mathrm{h}$内放完水，每小时至少应放水$9600\ \mathrm{m}^3$。
答：(1) 蓄水池蓄水量为$48000\ \mathrm{m}^3$，函数解析式为$q=\dfrac{48000}{t}(t＞0)$；
(2) 需$12000\ \mathrm{h}$放完水；
(3) 每小时至少应放水$9600$立方米。

典例4 如图,在平面直角坐标系中,直线AB与反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象的一支交于$A(1,m),B(n,1)$两点.

(1)求点$A,B$的坐标及直线$AB$对应的函数解析式;
(2)过点$O,B$的直线,交反比例函数图象的另一支于点$C$,连接$AC$,求$△ ABC$的面积.
同理可得$n=4,\therefore A(1,4),B(4,1)$.
设直线$AB$对应的函数解析式为$y=kx+b$,则有$\begin{cases}k+b=4, \\4k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=5.\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$对应的函数解析式为$y=-x+5$.
(2)如图,过点$A$作$AD// y$轴,交$BC$于点$D$,

设直线$OB$对应的函数解析式为$y=ax$,
由点$B(4,1)$在直线$OB$上,得$4a=1$,
解得$a=\frac{1}{4}$.
$\therefore$直线$OB$对应的函数解析式为$y=\frac{1}{4}x$.
令$x=1$,则$y=\frac{1}{4}$,
$\therefore D(1,\frac{1}{4})$,
$\therefore AD=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$.
由题意知点$C$与点$B$关于原点对称,
$\therefore C(-4,-1)$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD·|x_B - x_C|=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×8=15$.

解：(1) 将点$A(1,m)$代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$，
得$m=\frac{4}{1}=4$，
同理，将点$B(n,1)$代入$y=\frac{4}{x}$，
得$1=\frac{4}{n}$，解得$n=4$，
$\therefore A(1,4)$，$B(4,1)$。
设直线AB对应的函数解析式为$y=kx+b$，将A、B两点坐标代入得：
$\begin{cases}k + b = 4 \\4k + b = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=5\end{cases}$，
$\therefore$ 直线AB对应的函数解析式为$y=-x+5$。
(2) 过点A作$AD// y$轴，交BC于点D。
设直线OB对应的函数解析式为$y=ax$，
将点$B(4,1)$代入得$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$，
$\therefore$ 直线OB对应的函数解析式为$y=\frac{1}{4}x$。
令$x=1$，得$y=\frac{1}{4}×1=\frac{1}{4}$，
$\therefore D(1,\frac{1}{4})$，
$\therefore AD=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$。
由反比例函数图象和过原点的直线均关于原点中心对称，可知点C与点B关于原点对称，
$\therefore C(-4,-1)$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AD· |x_B - x_C|=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×|4 - (-4)|=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×8=15$。