典例1 如图,在平面直角坐标系中,已知四边形AOCB是菱形,且$A(3,4)$.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限的图象经过点B,写出点B,C的坐标,并求反比例函数的解析式.

解：
∵ 点A的坐标为$(3,4)$，
∴ 由勾股定理得 $OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵ 四边形AOCB是菱形，
∴ $OA=OC=CB=BA=5$，且$AB// OC$，即$AB// x$轴。
∵ 点A的纵坐标为4，$AB// x$轴，
∴ 点B的纵坐标为4，
∴ 点B的横坐标为 $3+5=8$，即 $B(8,4)$。
∵ 点C在x轴上，$OC=5$，
∴ 点C的坐标为 $(5,0)$。
将点$B(8,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{8}$，解得 $k=32$。
∴ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{32}{x}$。

典例2 下列关于反比例函数$y=-\frac{5}{x}$的描述错误的是().

A.图象必经过点$(-1,5)$
B.图象位于第二、第四象限
C.当$x＞-1$时，$y＞5$
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大

C

逐一分析各选项：
1. 验证A：将x=-1代入$y=-\frac{5}{x}$，计算得$y=5$，图象必过点$(-1,5)$，A描述正确。
2. 验证B：该反比例函数的比例系数$k=-5＜0$，图象位于第二、第四象限，B描述正确。
3. 验证C：当$x＞0$时，$y=-\frac{5}{x}＜0$，不满足$y＞5$，C描述错误。
4. 验证D：$k=-5＜0$，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大，D描述正确。