1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是().

A.$a^2 + 2a -1$
B.$x^2 - xy + y^2$
C.$a^2 - 2a + \frac{1}{4}$
D.$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$

1. D

【分析】
要判断哪个多项式能用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式因式分解的结构特征：完全平方公式的逆用为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，符合条件的多项式需要满足三个要求：①是三项式；②有两项是同号的平方项（可写成某个数或式子的平方）；③第三项是这两个数/式子乘积的2倍（符号可正可负）。解题时我们只需将每个选项逐一对照上述特征验证即可。
【解析】
根据完全平方公式因式分解的结构特征，逐项分析：
选项A：多项式$a^2 + 2a -1$中，常数项为$-1$，是负数，与平方项$a^2$异号，不符合完全平方公式的特征，不能用完全平方公式分解；
选项B：多项式$x^2 - xy + y^2$中，两个平方项为$x^2$和$y^2$，对应乘积的2倍应为$\pm2xy$，但中间项为$-xy$，不是2倍关系，不符合特征，不能用完全平方公式分解；
选项C：多项式$a^2 - 2a + \frac{1}{4}$中，两个平方项为$a^2$和$(\frac{1}{2})^2$，对应乘积的2倍应为$\pm 2× a× \frac{1}{2}=\pm a$，但中间项为$-2a$，不符合特征，不能用完全平方公式分解；
选项D：多项式$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$中，两个平方项为$a^2$和$(\frac{1}{2}b)^2$，中间项$-ab = -2× a× \frac{1}{2}b$，完全符合完全平方公式的特征，可分解为$(a-\frac{1}{2}b)^2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，因式分解，多项式结构判断
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的熟悉程度，掌握“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的口诀即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8

2. 若代数式 $x^2 + (m + 1)x + 4$ 是完全平方式，则 $m$ 的值是（）。

A.3
B.-3
C.-5
D.3或-5

2. D

【分析】
解题首先要明确完全平方式的两种结构：两数和的平方、两数差的平方，通用形式为$a^2\pm2ab+b^2$。我们先定位给定代数式中对应$a^2$和$b^2$的项，再根据“中间项是首尾两项底数乘积的2倍，符号可正可负”的特征，列出关于m的方程求解即可，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对比代数式$x^2+(m+1)x+4$分析：
1. 首项$x^2=a^2$，可得$a=x$；
2. 常数项$4=2^2=b^2$，可得$b=\pm2$；
3. 一次项对应公式中的$\pm2ab$，即$(m+1)x=\pm2· x·2$，约去x后得：$m+1=\pm4$；
若$m+1=4$，解得$m=3$；
若$m+1=-4$，解得$m=-5$。
因此m的取值为3或-5。
【答案】D
【知识点】
完全平方公式，一元一次方程的解法
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构特征，易错点是仅考虑和的平方的情况，遗漏差的平方的情况导致漏解，解题时要注意中间项的符号有正负两种可能。
【难度系数】
0.7

3. 分解因式：$x^2 - 4x + 4 =$

3. $(x-2)^2$

【分析】
解题时先观察多项式的结构特征：该多项式是三项式，无公因式可提，优先考虑用完全平方公式分解。首先回忆完全平方差公式的结构：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，接下来逐一对应多项式的每一项：第一项$x^2$相当于公式里的$a^2$，即$a=x$；第三项$4=2^2$相当于公式里的$b^2$，即$b=2$；再验证中间项：$-4x=-2× x×2=-2ab$，完全符合完全平方差公式的结构，因此可以直接套用公式分解，最后确认分解结果已是最简整式乘积形式即可。
【解析】
观察原式$x^2 - 4x + 4$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中：
$a=x$，$b=2$，
代入公式可得：
$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x·2 + 2^2 = (x-2)^2$
【答案】
$(x-2)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式法分解因式
2. 因式分解的定义
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查对完全平方公式结构特征的识别与应用，只要牢记完全平方公式“首平方，尾平方，两倍乘积在中央”的结构特点，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9

4.分解因式:
(1)$-x^2 -4y^2 +4xy$;
(2)$\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$;
(3)$(a-2b)^2 -12(a-2b)+36$.

4. 解：
(1)$-x^2 -4y^2 +4xy$
$=-(x^2 -4xy +4y^2)$
$=-(x-2y)^2$.
(2)$\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$
$=x^2 +3x +2 +\frac{1}{4}$
$=x^2 +3x +\frac{9}{4}$
$=(x+\frac{3}{2})^2$.
(3)$(a-2b)^2 -12(a-2b)+36=(a-2b-6)^2$.

【分析】
这三道题均考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：1. 第(1)题先提取负号，将括号内的式子整理为完全平方式的标准形式，再套用完全平方公式分解；2. 第(2)题先利用整式乘法展开$(x+1)(x+2)$，合并同类项得到完全平方式后再套用公式分解；3. 第(3)题将$(a-2b)$看作一个整体，直接对照完全平方公式的结构特征分解即可。解题核心是牢记完全平方公式的结构：两数的平方和加上（或减去）两数积的2倍，等于两数和（或差）的平方。
【解析】
(1) 先提取公因式$-1$：
$-x^2 -4y^2 +4xy=-(x^2 -4xy +4y^2)$
括号内$x^2 -4xy +4y^2$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=x$，$b=2y$），因此：
$=-(x-2y)^2$
(2) 先展开整式乘法：
$\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)=\frac{1}{4}+x^2+3x+2$
合并常数项得：
$=x^2+3x+\frac{9}{4}$
该式符合完全平方公式（其中$a=x$，$b=\frac{3}{2}$），因此：
$=(x+\frac{3}{2})^2$
(3) 把$(a-2b)$看作整体，原式符合$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构（其中$a=a-2b$，$b=6$），因此：
$(a-2b)^2 -12(a-2b)+36=(a-2b-6)^2$
【答案】
(1) $-(x-2y)^2$；(2) $(x+\frac{3}{2})^2$；(3) $(a-2b-6)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式分解因式，整式乘法运算
【点评】
这三道题是因式分解的常规基础题，解题时要先观察式子的结构特征，有公因式先提取公因式，存在整体项时可将多项式看作整体直接套用公式，展开运算时注意计算准确，避免符号、常数项计算错误。
【难度系数】
0.85

5.若$(x^2 + y^2)^4 -6(x^2 + y^2)^2 +9=0$，则$x^2 + y^2=$.

5. $\sqrt{3}$ 解析 $\because (x^2 + y^2)^4 -6(x^2 + y^2)^2 +9=0$，
$\therefore [(x^2 + y^2)^2 -3]^2=0$，
$\therefore (x^2 + y^2)^2 -3=0$，
即$(x^2 + y^2)^2=3$，又 $x^2 + y^2\ge0$，
$\therefore x^2 + y^2=\sqrt{3}$.

【分析】
观察已知方程的结构，可将$(x^2+y^2)^2$看作一个整体，发现方程左边符合完全平方公式的形式，先利用完全平方公式进行因式分解，再求解。另外要注意$x^2$和$y^2$都是非负数，因此$x^2+y^2$的结果是非负的，需舍去负的解。
【解析】
解：已知$(x^2 + y^2)^4 -6(x^2 + y^2)^2 +9=0$，
将$(x^2+y^2)^2$看作整体，逆用完全平方公式因式分解，得：
$[(x^2 + y^2)^2 - 3]^2 = 0$，
所以$(x^2 + y^2)^2 - 3 = 0$，
即$(x^2 + y^2)^2 = 3$，
又因为$x^2≥0$，$y^2≥0$，所以$x^2 + y^2≥0$，
对$(x^2 + y^2)^2 = 3$两边开算术平方根，得$x^2 + y^2=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1.完全平方公式分解因式；2.偶次方的非负性；3.算术平方根的定义
【点评】
本题解题的关键是运用整体思想识别出式子的完全平方结构，因式分解后要注意结合代数式的非负性对解进行取舍，避免出现错解。
【难度系数】
0.6

6. 利用因式分解计算：
$38.9^2 - 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9^2.$

6. 解 $38.9^2 -2×38.9×48.9 +48.9^2$
$=(38.9-48.9)^2$
$=100$.

【分析】
观察待计算的式子，可发现其符合完全平方差公式的结构特征：存在两个带正号的平方项$38.9^2$和$48.9^2$，中间项为$-2×38.9×48.9$，刚好对应$a^2-2ab+b^2$的形式。因此我们可以先逆用完全平方差公式对式子因式分解，再计算数值，避免直接计算平方带来的繁琐运算，降低出错概率。
【解析】
解：$38.9^2 -2×38.9×48.9 +48.9^2$
$=(38.9 - 48.9)^2$
$=(-10)^2$
$=100$
【答案】
$100$
【知识点】
完全平方公式分解因式；因式分解的简便应用
【点评】
本题考查利用因式分解简化数值运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确匹配公式中对应的$a$和$b$，即可快速得出结果，避免直接计算高次幂引发的计算错误。
【难度系数】
0.85

7. 添加一个单项式，使得多项式$16a^2 +1$能运用完全平方公式进行因式分解. 写出所有符合条件的单项式，并进行因式分解.

7. 解 $\because 16a^2 +8a +1=(4a+1)^2$，
$16a^2 -8a +1=(4a-1)^2$，
$64a^4 +16a^2 +1=(8a^2 +1)^2$，
$\therefore$ 添加的单项式为 $8a$ 或 $-8a$ 或 $64a^4$.

【分析】
首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式形如$m^2\pm2mn+n^2$，可因式分解为$(m\pm n)^2$。针对现有多项式$16a^2+1$，分两类情况推导需添加的单项式：①把$16a^2$和$1$都看作平方项，计算缺失的乘积二倍项；②把$16a^2$看作乘积二倍项、$1$看作平方项，计算缺失的另一个平方项，即可覆盖所有符合条件的单项式。
【解析】
解：根据完全平方公式$m^2\pm2mn+n^2=(m\pm n)^2$，分情况讨论：
1. 当$16a^2$和$1$为两个平方项时：
$16a^2=(4a)^2$，$1=1^2$，缺失的乘积二倍项为$\pm2×4a×1=\pm8a$，
代入得：$16a^2+8a+1=(4a+1)^2$，$16a^2-8a+1=(4a-1)^2$，符合要求。
2. 当$16a^2$为乘积二倍项，$1$为平方项时：
设缺失的平方项为$m^2$，则$2× m×1=16a^2$，解得$m=8a^2$，因此$m^2=(8a^2)^2=64a^4$，
代入得：$64a^4+16a^2+1=(8a^2+1)^2$，符合要求。
【答案】
符合条件的单项式为$\boldsymbol{8a}$、$\boldsymbol{-8a}$、$\boldsymbol{64a^4}$，对应的因式分解分别为：
$16a^2+8a+1=(4a+1)^2$，$16a^2-8a+1=(4a-1)^2$，$64a^4+16a^2+1=(8a^2+1)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
3. 分类讨论
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构的理解，解题时容易遗漏将$16a^2$作为乘积二倍项的情况，需要全面梳理完全平方式的三项构成，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6