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因式分解的综合应用
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用
提公因式法
和公式法
.答案
提公因式法、公式法
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆因式分解的常用方法和基本解题顺序：我们在进行因式分解时，第一步优先判断多项式有没有公因式，若有则先提取公因式，之后再观察剩余的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，符合的话就用公式法继续分解，直到不能再分解为止。因此复杂的因式分解问题，通常需要综合运用这两种基础方法。
【解析】
初中阶段因式分解的核心常用方法为提公因式法和公式法，处理复杂因式分解问题时，通常需要先提取公因式，再套用对应公式多次分解，因此综合应用的就是提公因式法和公式法。
【答案】
提公因式法、公式法
【知识点】
因式分解常用方法；提公因式法；公式法
【点评】
本题考查因式分解的基础方法原则，属于概念类基础题，牢记因式分解“先提公因式，再用公式”的优先顺序即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆因式分解的常用方法和基本解题顺序：我们在进行因式分解时，第一步优先判断多项式有没有公因式，若有则先提取公因式，之后再观察剩余的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，符合的话就用公式法继续分解，直到不能再分解为止。因此复杂的因式分解问题，通常需要综合运用这两种基础方法。
【解析】
初中阶段因式分解的核心常用方法为提公因式法和公式法，处理复杂因式分解问题时，通常需要先提取公因式，再套用对应公式多次分解，因此综合应用的就是提公因式法和公式法。
【答案】
提公因式法、公式法
【知识点】
因式分解常用方法；提公因式法；公式法
【点评】
本题考查因式分解的基础方法原则，属于概念类基础题，牢记因式分解“先提公因式，再用公式”的优先顺序即可快速作答。
【难度系数】
0.9
典例 分解因式：
(1)$x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$；
(2)$(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$；
(3)$25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$。
规律方法 多项式的形式多种多样，因此因式分解的方法也有很多种，一般可遵循下列步骤：
举一反三 分解因式：
(1)$a^4-16$；
(2)$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1$。
典例解析
典例
解 (1)$x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$
$=x^2(x-y)-2x(x-y)+(x-y)$
$=(x-y)(x^2-2x+1)$
$=(x-y)(x-1)^2$。
(2)$(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$
$=(y^2-1-3)^2$
$=(y^2-4)^2$
$=(y+2)^2(y-2)^2$。
(3)$25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$
$=25a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(25a^2-4b^2)$
$=(x-y)(5a+2b)(5a-2b)$。
(1)$x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$；
(2)$(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$；
(3)$25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$。
规律方法 多项式的形式多种多样，因此因式分解的方法也有很多种，一般可遵循下列步骤：
举一反三 分解因式：
(1)$a^4-16$；
(2)$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1$。
典例解析
典例
解 (1)$x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$
$=x^2(x-y)-2x(x-y)+(x-y)$
$=(x-y)(x^2-2x+1)$
$=(x-y)(x-1)^2$。
(2)$(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$
$=(y^2-1-3)^2$
$=(y^2-4)^2$
$=(y+2)^2(y-2)^2$。
(3)$25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$
$=25a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(25a^2-4b^2)$
$=(x-y)(5a+2b)(5a-2b)$。
答案
举一反三 解 (1)原式=$(a^2+4)·(a^2-4)=(a^2+4)(a+2)(a-2)$。
(2)原式=$(x^2-2x+1)^2$
$=[(x-1)^2]^2$
$=(x-1)^4$。
(2)原式=$(x^2-2x+1)^2$
$=[(x-1)^2]^2$
$=(x-1)^4$。
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三检查”的步骤：
1. 第(1)题$a^4-16$没有公因式，是二项式，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式特征，先套用平方差公式分解，再检查得到的因式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
2. 第(2)题$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1$没有公因式，是三项式，将$x^2-2x$看作整体，符合完全平方公式的特征，先套用完全平方公式分解，再对得到的因式继续检查分解，直到无法分解为止。
【解析】
(1) 先将原式转化为平方差的形式：
$a^4-16=(a^2)^2-4^2$
套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，得：
$=(a^2+4)(a^2-4)$
观察到$a^2-4$仍符合平方差公式特征，继续分解：
$=(a^2+4)(a^2-2^2)=(a^2+4)(a+2)(a-2)$
(2) 将$x^2-2x$看作整体，原式符合完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$的特征：
$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1=(x^2-2x+1)^2$
观察到$x^2-2x+1$仍符合完全平方公式特征，继续分解：
$=[(x-1)^2]^2=(x-1)^4$
【答案】
(1)$(a^2+4)(a+2)(a-2)$
(2)$(x-1)^4$
【知识点】
因式分解的步骤、平方差公式、完全平方公式
【点评】
这两道题是因式分解的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的步骤和公式特征，注意分解时要做到彻底，直到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提、二套、三检查”的步骤：
1. 第(1)题$a^4-16$没有公因式，是二项式，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式特征，先套用平方差公式分解，再检查得到的因式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
2. 第(2)题$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1$没有公因式，是三项式，将$x^2-2x$看作整体，符合完全平方公式的特征，先套用完全平方公式分解，再对得到的因式继续检查分解，直到无法分解为止。
【解析】
(1) 先将原式转化为平方差的形式：
$a^4-16=(a^2)^2-4^2$
套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，得：
$=(a^2+4)(a^2-4)$
观察到$a^2-4$仍符合平方差公式特征，继续分解：
$=(a^2+4)(a^2-2^2)=(a^2+4)(a+2)(a-2)$
(2) 将$x^2-2x$看作整体，原式符合完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$的特征：
$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1=(x^2-2x+1)^2$
观察到$x^2-2x+1$仍符合完全平方公式特征，继续分解：
$=[(x-1)^2]^2=(x-1)^4$
【答案】
(1)$(a^2+4)(a+2)(a-2)$
(2)$(x-1)^4$
【知识点】
因式分解的步骤、平方差公式、完全平方公式
【点评】
这两道题是因式分解的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的步骤和公式特征，注意分解时要做到彻底，直到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.7
