登录
1.分解因式$a^3 -9a$的结果是(
A.$a(a+3)(a-3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
A
).A.$a(a+3)(a-3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
答案
A
解析
【分析】
解决因式分解类题目需遵循固定步骤思考：首先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式；再判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，若符合则用公式法继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。本题中先找到两项的公因式a，提取后剩余的a²-9符合平方差公式的形式，可继续分解，最后对应选项即可。
【解析】
对$a^3 -9a$进行因式分解：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 -9a = a(a^2 - 9)$
2. 对括号内的$a^2 - 9$利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$分解，其中$m=a$，$n=3$：
$a(a^2 -9)=a(a+3)(a-3)$
对比选项，结果与A选项一致。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，解题时要注意按照“先提公因式、再用公式”的顺序操作，避免出现遗漏公因式、分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目需遵循固定步骤思考：首先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式；再判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，若符合则用公式法继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。本题中先找到两项的公因式a，提取后剩余的a²-9符合平方差公式的形式，可继续分解，最后对应选项即可。
【解析】
对$a^3 -9a$进行因式分解：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 -9a = a(a^2 - 9)$
2. 对括号内的$a^2 - 9$利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$分解，其中$m=a$，$n=3$：
$a(a^2 -9)=a(a+3)(a-3)$
对比选项，结果与A选项一致。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，解题时要注意按照“先提公因式、再用公式”的顺序操作，避免出现遗漏公因式、分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.8
2. 把代数式$3x^3 -12x^2 +12x$因式分解，结果正确的是(
A.$3x(x^2 -4x +4)$
B.$3x(x-4)^2$
C.$3x(x+2)(x-2)$
D.$3x(x-2)^2$
D
).A.$3x(x^2 -4x +4)$
B.$3x(x-4)^2$
C.$3x(x+2)(x-2)$
D.$3x(x-2)^2$
答案
D
解析
【分析】
因式分解可按照“一提二套三查”的思路解题：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项都含有公因式$3x$，首先要提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，剩余的$x^2-4x+4$符合完全平方差公式的特征，可继续分解；第三步检查分解结果是否彻底、是否正确，再对应选项判断即可。
【解析】
对代数式按步骤因式分解：
1. 提取公因式$3x$：
$3x^3 -12x^2 +12x = 3x(x^2 - 4x + 4)$
2. 对括号内的二次三项式利用完全平方公式分解：
$x^2 -4x +4 = x^2 - 2× x× 2 + 2^2 = (x-2)^2$
3. 合并得到最终分解结果：$3x(x-2)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，解题时优先提取公因式，再根据剩余多项式的结构匹配对应的乘法公式，需注意区分完全平方公式和平方差公式的形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
因式分解可按照“一提二套三查”的思路解题：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项都含有公因式$3x$，首先要提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，剩余的$x^2-4x+4$符合完全平方差公式的特征，可继续分解；第三步检查分解结果是否彻底、是否正确，再对应选项判断即可。
【解析】
对代数式按步骤因式分解：
1. 提取公因式$3x$：
$3x^3 -12x^2 +12x = 3x(x^2 - 4x + 4)$
2. 对括号内的二次三项式利用完全平方公式分解：
$x^2 -4x +4 = x^2 - 2× x× 2 + 2^2 = (x-2)^2$
3. 合并得到最终分解结果：$3x(x-2)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，解题时优先提取公因式，再根据剩余多项式的结构匹配对应的乘法公式，需注意区分完全平方公式和平方差公式的形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
3. 下列因式分解错误的是(
A.$3ax^2 - 6ax = 3(ax^2 - 2ax)$
B.$2x^2 - 8y^2 = 2(x + 2y)(x - 2y)$
C.$x(x - y) + y(y - x) = (x - y)^2$
D.$-ax^2 + 2ax - a = -a(x - 1)^2$
A
).A.$3ax^2 - 6ax = 3(ax^2 - 2ax)$
B.$2x^2 - 8y^2 = 2(x + 2y)(x - 2y)$
C.$x(x - y) + y(y - x) = (x - y)^2$
D.$-ax^2 + 2ax - a = -a(x - 1)^2$
答案
A
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，首先需明确因式分解的核心要求：① 变形前后等式恒成立；② 最终结果需是几个整式乘积的形式；③ 每个因式要分解到不能再分解为止。本题可逐个分析选项，结合提公因式法、公式法的分解规则逐一验证，找出错误选项。
【解析】
我们逐一判断各选项：
选项A：对$3ax^2 - 6ax$提取公因式时，公因式应为$3ax$，正确分解结果为$3ax(x-2)$，该选项仅提取了公因数3，括号内仍有公因式$ax$未提取，分解不彻底，故A错误。
选项B：先提取公因式2，得$2(x^2 - 4y^2)$，再利用平方差公式分解$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，最终结果为$2(x + 2y)(x - 2y)$，分解正确。
选项C：先将$y-x$变形为$-(x-y)$，原式可化为$x(x-y)-y(x-y)$，提取公因式$(x-y)$后得$(x-y)(x-y)=(x-y)^2$，分解正确。
选项D：先提取公因式$-a$，得$-a(x^2 - 2x +1)$，再利用完全平方公式分解$x^2-2x+1=(x-1)^2$，最终结果为$-a(x - 1)^2$，分解正确。
综上，因式分解错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤：先提取公因式，再用公式法分解，同时要注意公因式要提取彻底，变形过程中符号的处理也需格外留意。
【难度系数】
0.8
要判断因式分解是否正确，首先需明确因式分解的核心要求：① 变形前后等式恒成立；② 最终结果需是几个整式乘积的形式；③ 每个因式要分解到不能再分解为止。本题可逐个分析选项，结合提公因式法、公式法的分解规则逐一验证，找出错误选项。
【解析】
我们逐一判断各选项：
选项A：对$3ax^2 - 6ax$提取公因式时，公因式应为$3ax$，正确分解结果为$3ax(x-2)$，该选项仅提取了公因数3，括号内仍有公因式$ax$未提取，分解不彻底，故A错误。
选项B：先提取公因式2，得$2(x^2 - 4y^2)$，再利用平方差公式分解$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，最终结果为$2(x + 2y)(x - 2y)$，分解正确。
选项C：先将$y-x$变形为$-(x-y)$，原式可化为$x(x-y)-y(x-y)$，提取公因式$(x-y)$后得$(x-y)(x-y)=(x-y)^2$，分解正确。
选项D：先提取公因式$-a$，得$-a(x^2 - 2x +1)$，再利用完全平方公式分解$x^2-2x+1=(x-1)^2$，最终结果为$-a(x - 1)^2$，分解正确。
综上，因式分解错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤：先提取公因式，再用公式法分解，同时要注意公因式要提取彻底，变形过程中符号的处理也需格外留意。
【难度系数】
0.8
4. 分解因式：$2a^3 - 8a =$
$2a(a+2)(a-2)$
.答案
$2a(a+2)(a-2)$
解析
【分析】
对多项式进行因式分解时，遵循“一提二套三查”的思路解题：第一步先观察多项式是否有公因式，先提取公因式；第二步再看提取公因式后的式子是否符合乘法公式的结构，选择对应的公式继续分解；第三步检查分解后的每个因式是否还能再分解，保证分解彻底。本题中先找公因式：系数2和-8的最大公约数是2，相同字母为a，最低次幂是1次，因此公因式为2a；提取公因式后得到a²-4，是两个数的平方差的结构，可套用平方差公式继续分解，最后检查结果是否符合要求即可。
【解析】
解：$2a^3 - 8a$
第一步，提取公因式$2a$：
$=2a(a^2 - 4)$
第二步，对$a^2 - 4$套用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$（此处$m=a$，$n=2$）：
$=2a(a^2 - 2^2)$
$=2a(a+2)(a-2)$
此时每个因式都不能再分解，分解完成。
【答案】
$2a(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本步骤，先提公因式再套用公式，注意最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现只提取公因式就停止的错误。
【难度系数】
0.8
对多项式进行因式分解时，遵循“一提二套三查”的思路解题：第一步先观察多项式是否有公因式，先提取公因式；第二步再看提取公因式后的式子是否符合乘法公式的结构，选择对应的公式继续分解；第三步检查分解后的每个因式是否还能再分解，保证分解彻底。本题中先找公因式：系数2和-8的最大公约数是2，相同字母为a，最低次幂是1次，因此公因式为2a；提取公因式后得到a²-4，是两个数的平方差的结构，可套用平方差公式继续分解，最后检查结果是否符合要求即可。
【解析】
解：$2a^3 - 8a$
第一步，提取公因式$2a$：
$=2a(a^2 - 4)$
第二步，对$a^2 - 4$套用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$（此处$m=a$，$n=2$）：
$=2a(a^2 - 2^2)$
$=2a(a+2)(a-2)$
此时每个因式都不能再分解，分解完成。
【答案】
$2a(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本步骤，先提公因式再套用公式，注意最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现只提取公因式就停止的错误。
【难度系数】
0.8
5. 分解因式：
(1) $9a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$；
(2) $64x^2y^2 - (x^2 + 16y^2)^2$；
(3) $(x^2 - x)(x^2 - x - 8) + 12$。
(1) $9a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$；
(2) $64x^2y^2 - (x^2 + 16y^2)^2$；
(3) $(x^2 - x)(x^2 - x - 8) + 12$。
答案
解 (1) 原式$= 9a^2 (x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b).$
(2) 原式$=(8xy + x^2 + 16y^2)(8xy - x^2 - 16y^2)=-(x + 4y)^2(x - 4y)^2.$
(3) 原式$=(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$
$=(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$
$=(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2).$
$=(x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b).$
(2) 原式$=(8xy + x^2 + 16y^2)(8xy - x^2 - 16y^2)=-(x + 4y)^2(x - 4y)^2.$
(3) 原式$=(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$
$=(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$
$=(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2).$
解析
【分析】
这三道因式分解题可按以下思路求解：
(1) 首先观察式子发现(y-x)可变形为-(x-y)，先提取公因式(x-y)，剩余部分是9a²-4b²，符合平方差公式形式，再用平方差公式继续分解即可；
(2) 原式符合平方差公式A²-B²的结构，其中A=8xy，B=x²+16y²，先用平方差公式分解，得到的两个因式分别符合完全平方公式的形式，整理后提负号再写成完全平方的形式即可；
(3) 把x²-x看作一个整体，先将原式整理为关于这个整体的二次三项式，用十字相乘法分解后，再对得到的两个关于x的二次三项式分别用十字相乘法分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 先统一公因式的形式，再提取公因式，最后用平方差公式分解：
原式$= 9a^2 (x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
(2) 先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式化简：
原式$=(8xy + x^2 + 16y^2)(8xy - x^2 - 16y^2)$
$=(x^2+8xy+16y^2)×[-(x^2-8xy+16y^2)]$
$=-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
(3) 采用整体换元的思路，分步用十字相乘法分解：
原式$=(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$
将$x^2-x$看作整体，十字相乘得：
$=(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$
对两个二次三项式分别十字相乘：
$=(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$
【答案】
(1) $(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
(2) $-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
(3) $(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$
【知识点】
提取公因式法、公式法因式分解、十字相乘法
【点评】
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再套用对应公式或用十字相乘法分解，最后检查是否分解到每个因式都不能再分解为止；第三题运用整体思想可简化运算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
这三道因式分解题可按以下思路求解：
(1) 首先观察式子发现(y-x)可变形为-(x-y)，先提取公因式(x-y)，剩余部分是9a²-4b²，符合平方差公式形式，再用平方差公式继续分解即可；
(2) 原式符合平方差公式A²-B²的结构，其中A=8xy，B=x²+16y²，先用平方差公式分解，得到的两个因式分别符合完全平方公式的形式，整理后提负号再写成完全平方的形式即可；
(3) 把x²-x看作一个整体，先将原式整理为关于这个整体的二次三项式，用十字相乘法分解后，再对得到的两个关于x的二次三项式分别用十字相乘法分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 先统一公因式的形式，再提取公因式，最后用平方差公式分解：
原式$= 9a^2 (x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
(2) 先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式化简：
原式$=(8xy + x^2 + 16y^2)(8xy - x^2 - 16y^2)$
$=(x^2+8xy+16y^2)×[-(x^2-8xy+16y^2)]$
$=-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
(3) 采用整体换元的思路，分步用十字相乘法分解：
原式$=(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$
将$x^2-x$看作整体，十字相乘得：
$=(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$
对两个二次三项式分别十字相乘：
$=(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$
【答案】
(1) $(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
(2) $-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
(3) $(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$
【知识点】
提取公因式法、公式法因式分解、十字相乘法
【点评】
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再套用对应公式或用十字相乘法分解，最后检查是否分解到每个因式都不能再分解为止；第三题运用整体思想可简化运算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
6.若k为任意整数，且$99^{3}-99$能被k整除，则k的值不可能是(
A.50
B.100
C.98
D.97
D
).A.50
B.100
C.98
D.97
答案
D 解析 $\because 99^3 - 99 = 99 × (99^2 - 1)=99×(99+1)×(99-1)=99×100×98,$
$\therefore 4$ 个选项中 $k$ 的值可能是 100,98 或 50. 故选 D.
$\therefore 4$ 个选项中 $k$ 的值可能是 100,98 或 50. 故选 D.
解析
【分析】
要判断k不可能是哪个值，核心是先确定$99^3-99$的所有整数因数，排除是它因数的选项即可。解题思路为：首先对多项式$99^3-99$进行因式分解，先提取公因式，再用平方差公式将其拆分为多个整数相乘的形式，再逐一核对选项中的数是否为乘积的因数即可。
【解析】
对$99^3-99$进行因式分解：
1. 先提取公因式$99$：
$99^3 - 99 = 99×(99^2 - 1)$
2. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$99^2-1$：
$99^2 - 1=(99+1)×(99-1)=100×98$
因此可得：$99^3 - 99=99×100×98$
逐一核对选项：
选项A：$100=2×50$，因此原式是50的倍数，能被50整除；
选项B：分解结果直接含因数100，能被100整除；
选项C：分解结果直接含因数98，能被98整除；
选项D：99、100、98都不含因数97，因此原式不能被97整除。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，平方差公式，整除判定
【点评】
本题是因式分解在整除问题中的典型应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、公式法等因式分解的方法，将多项式转化为多个整数乘积的形式，即可快速判断其因数范围，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断k不可能是哪个值，核心是先确定$99^3-99$的所有整数因数，排除是它因数的选项即可。解题思路为：首先对多项式$99^3-99$进行因式分解，先提取公因式，再用平方差公式将其拆分为多个整数相乘的形式，再逐一核对选项中的数是否为乘积的因数即可。
【解析】
对$99^3-99$进行因式分解：
1. 先提取公因式$99$：
$99^3 - 99 = 99×(99^2 - 1)$
2. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$99^2-1$：
$99^2 - 1=(99+1)×(99-1)=100×98$
因此可得：$99^3 - 99=99×100×98$
逐一核对选项：
选项A：$100=2×50$，因此原式是50的倍数，能被50整除；
选项B：分解结果直接含因数100，能被100整除；
选项C：分解结果直接含因数98，能被98整除；
选项D：99、100、98都不含因数97，因此原式不能被97整除。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，平方差公式，整除判定
【点评】
本题是因式分解在整除问题中的典型应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、公式法等因式分解的方法，将多项式转化为多个整数乘积的形式，即可快速判断其因数范围，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
7.已知$2m - n = 3$，那么$4m^2 - n^2 - 6n + 7$的值为
16
。答案
16 解析 $\because 2m - n = 3,$
$\therefore 4m^2 - n^2 - 6n + 7$
$=(2m + n)(2m - n) - 6n + 7$
$=3(2m + n) - 6n + 7$
$=6m + 3n - 6n + 7$
$=6m - 3n + 7$
$=3(2m - n) + 7$
$=3×3 + 7$
$=16.$
$\therefore 4m^2 - n^2 - 6n + 7$
$=(2m + n)(2m - n) - 6n + 7$
$=3(2m + n) - 6n + 7$
$=6m + 3n - 6n + 7$
$=6m - 3n + 7$
$=3(2m - n) + 7$
$=3×3 + 7$
$=16.$
解析
【分析】
首先观察待求代数式的结构，发现前两项$4m^2 - n^2$符合平方差公式的形式，因此先利用平方差公式对其因式分解，再将已知条件$2m-n=3$整体代入分解后的式子，对式子进行化简整理，直到式子中再次出现整体$2m-n$，最后再次整体代入已知数值即可求出结果。
【解析】
已知$2m - n = 3$，对所求代数式变形计算：
$\begin{aligned}4m^2 - n^2 - 6n + 7&=(2m + n)(2m - n) - 6n + 7\\&=3(2m + n) - 6n + 7\\&=6m + 3n - 6n + 7\\&=6m - 3n + 7\\&=3(2m - n) + 7\\&=3×3 + 7\\&=16\end{aligned}$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，因式分解的应用
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题核心是通过因式分解将待求式转化为含有已知条件的整体形式，无需单独求解m、n的数值，简化了计算过程，考查了学生对因式分解的灵活运用能力和整体数学思想的掌握。
【难度系数】
0.7
首先观察待求代数式的结构，发现前两项$4m^2 - n^2$符合平方差公式的形式，因此先利用平方差公式对其因式分解，再将已知条件$2m-n=3$整体代入分解后的式子，对式子进行化简整理，直到式子中再次出现整体$2m-n$，最后再次整体代入已知数值即可求出结果。
【解析】
已知$2m - n = 3$，对所求代数式变形计算：
$\begin{aligned}4m^2 - n^2 - 6n + 7&=(2m + n)(2m - n) - 6n + 7\\&=3(2m + n) - 6n + 7\\&=6m + 3n - 6n + 7\\&=6m - 3n + 7\\&=3(2m - n) + 7\\&=3×3 + 7\\&=16\end{aligned}$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，因式分解的应用
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题核心是通过因式分解将待求式转化为含有已知条件的整体形式，无需单独求解m、n的数值，简化了计算过程，考查了学生对因式分解的灵活运用能力和整体数学思想的掌握。
【难度系数】
0.7
8. 观察下列式子：
$2× 4 + 1 = 9 = 3^2$；
$6× 8 + 1 = 49 = 7^2$；
$14× 16 + 1 = 225 = 15^2$；
……
你发现了什么结论？你能证明这个结论吗？
$2× 4 + 1 = 9 = 3^2$；
$6× 8 + 1 = 49 = 7^2$；
$14× 16 + 1 = 225 = 15^2$；
……
你发现了什么结论？你能证明这个结论吗？
答案
解 结论为 $(2^{n+1} - 2) · 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1} - 1)^2$($n$ 为正整数).
证明如下：$(2^{n+1} - 2) · 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1})^2 - 2× 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1} - 1)^2.$
证明如下：$(2^{n+1} - 2) · 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1})^2 - 2× 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1} - 1)^2.$
解析
【分析】
首先观察已知式子的数字特征：每组式子的第二个乘数都是2的幂次，第一个乘数比第二个乘数小2，等式右边平方的底数比第二个乘数小1。先对应n=1、2、3的情况找到规律，猜想出第n个式子的通用结论，再利用整式乘法和完全平方公式对左边变形，验证其与右边相等即可完成证明。
【解析】
步骤1：归纳规律
观察3个已知式子：
当n=1时，第二个乘数为$2^{2}=4$，第一个乘数为$4-2=2$，右边底数为$4-1=3$，对应$2×4+1=3^2$；
当n=2时，第二个乘数为$2^{3}=8$，第一个乘数为$8-2=6$，右边底数为$8-1=7$，对应$6×8+1=7^2$；
当n=3时，第二个乘数为$2^{4}=16$，第一个乘数为$16-2=14$，右边底数为$16-1=15$，对应$14×16+1=15^2$；
由此可得通用结论：$(2^{n+1}-2)· 2^{n+1}+1=(2^{n+1}-1)^2$（n为正整数）。
步骤2：证明结论
对等式左边展开变形：
$\begin{aligned}左边&=(2^{n+1}-2)· 2^{n+1}+1\\&=(2^{n+1})^2 - 2× 2^{n+1} + 1\\&=(2^{n+1}-1)^2=右边\end{aligned}$
因此结论成立。
【答案】
结论为 $(2^{n+1} - 2) · 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1} - 1)^2$($n$ 为正整数)。
证明如下：$(2^{n+1} - 2) · 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1})^2 - 2× 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1} - 1)^2.$
【知识点】
规律探究，完全平方公式，整式乘法
【点评】
本题核心考查从特殊到一般的归纳思维，需要先观察数字特征提炼通用规律，再用整式运算公式验证规律，能有效锻炼逻辑推导能力和公式灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知式子的数字特征：每组式子的第二个乘数都是2的幂次，第一个乘数比第二个乘数小2，等式右边平方的底数比第二个乘数小1。先对应n=1、2、3的情况找到规律，猜想出第n个式子的通用结论，再利用整式乘法和完全平方公式对左边变形，验证其与右边相等即可完成证明。
【解析】
步骤1：归纳规律
观察3个已知式子：
当n=1时，第二个乘数为$2^{2}=4$，第一个乘数为$4-2=2$，右边底数为$4-1=3$，对应$2×4+1=3^2$；
当n=2时，第二个乘数为$2^{3}=8$，第一个乘数为$8-2=6$，右边底数为$8-1=7$，对应$6×8+1=7^2$；
当n=3时，第二个乘数为$2^{4}=16$，第一个乘数为$16-2=14$，右边底数为$16-1=15$，对应$14×16+1=15^2$；
由此可得通用结论：$(2^{n+1}-2)· 2^{n+1}+1=(2^{n+1}-1)^2$（n为正整数）。
步骤2：证明结论
对等式左边展开变形：
$\begin{aligned}左边&=(2^{n+1}-2)· 2^{n+1}+1\\&=(2^{n+1})^2 - 2× 2^{n+1} + 1\\&=(2^{n+1}-1)^2=右边\end{aligned}$
因此结论成立。
【答案】
结论为 $(2^{n+1} - 2) · 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1} - 1)^2$($n$ 为正整数)。
证明如下：$(2^{n+1} - 2) · 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1})^2 - 2× 2^{n+1} + 1 = (2^{n+1} - 1)^2.$
【知识点】
规律探究，完全平方公式，整式乘法
【点评】
本题核心考查从特殊到一般的归纳思维，需要先观察数字特征提炼通用规律，再用整式运算公式验证规律，能有效锻炼逻辑推导能力和公式灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
