典例1 已知二次三项式 $x^2 - 4x + m$ 有一个因式是$(x+3)$，求另一个因式及$m$的值。

解：设另一个因式为$(x+a)$，则
$x^2 - 4x + m = (x+3)(x+a)$
将等式右边展开，得
$x^2 - 4x + m = x^2 + (a+3)x + 3a$
比较等式两边对应项的系数，可得
$\begin{cases}a + 3 = -4 \\m = 3a\end{cases}$
解得 $a=-7$，$m=-21$。
答：另一个因式为$(x-7)$，$m$的值为$-21$。

【分析】
已知二次三项式的二次项系数为1，且有一个一次因式是$(x+3)$，因此另一个因式也为一次式，且一次项系数也为1，可设为$(x+a)$。由于因式分解与整式乘法是互逆变形，两个一次因式相乘的结果等于原二次三项式，将右侧乘积展开后，根据多项式恒等时对应项的系数相等，即可列出关于$a$和$m$的方程组，求解就能得到$a$和$m$的值，进而确定另一个因式。
【解析】
解：设另一个因式为$(x+a)$，则
$x^2 - 4x + m = (x+3)(x+a)$
将等式右边展开，得
$x^2 - 4x + m = x^2 + (a+3)x + 3a$
比较等式两边对应项的系数，可得
$\begin{cases}a + 3 = -4 \\m = 3a\end{cases}$
解得 $a=-7$，$m=-21$。
因此另一个因式为$(x-7)$。
【答案】
另一个因式为$\boldsymbol{(x-7)}$，$m$的值为$\boldsymbol{-21}$
【知识点】
整式乘法运算，多项式恒等条件，解二元一次方程组
【点评】
本题是因式分解与整式乘法结合的典型基础题，采用的待定系数法是因式分解相关题型的常用解题方法，核心是利用多项式恒等时对应项系数相等的性质建立方程求解。
【难度系数】
0.7

典例2 分解因式：
$6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3$

解：
原式$=6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$
$=3(x-y)^2· 2x - 3(x-y)^2· (x-y)$
$=3(x-y)^2[2x - (x-y)]$
$=3(x-y)^2(x + y)$

【分析】
要分解该多项式，首先观察式子结构：两个项均含有与(x-y)相关的因式，第一步先统一因式的底数，因为(y-x)是奇次幂，可得$(y-x)^3=-(x-y)^3$，将原式变形为都含$(x-y)$因式的形式。第二步找公因式：系数6和3的最大公约数是3，相同因式$(x-y)$的最低次幂是2次，因此公因式为$3(x-y)^2$。第三步提取公因式后，对剩余部分去括号、合并同类项化简，最后检查结果是否分解彻底即可。
【解析】
原式$=6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$
$=3(x-y)^2· 2x - 3(x-y)^2· (x-y)$
$=3(x-y)^2[2x - (x-y)]$
$=3(x-y)^2(2x - x + y)$
$=3(x-y)^2(x + y)$
【答案】
$3(x-y)^2(x+y)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 幂的符号变换
3. 整式加减运算
【点评】
本题是因式分解的常规基础题型，解题关键是先通过符号变换统一因式底数，准确识别公因式，提取公因式后需注意余下整式去括号时的符号问题，最终要保证分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.7