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1. 完全平方式
我们把
我们把
$a^2+2ab+b^2$
和$a^2-2ab+b^2$
这样的式子叫作完全平方式。答案
1. $a^2+2ab+b^2$，$a^2-2ab+b^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方式的基本定义，解题时先回忆完全平方公式的两种形式：两数和的平方$(a+b)^2$、两数差的平方$(a-b)^2$，将两个公式展开后得到的式子就是完全平方式的标准形态，直接对应填空即可。
【解析】
根据完全平方式的定义，完全平方式符合“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央”的特征，对应两种形式：
1. 两数和的平方展开式：$a^2+2ab+b^2$
2. 两数差的平方展开式：$a^2-2ab+b^2$
上述两个式子就是规定的完全平方式。
【答案】
$a^2+2ab+b^2$，$a^2-2ab+b^2$
【知识点】
完全平方式的概念、完全平方公式
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，只要牢记完全平方公式的两种展开形式就能快速作答，是后续利用完全平方公式进行因式分解的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方式的基本定义，解题时先回忆完全平方公式的两种形式：两数和的平方$(a+b)^2$、两数差的平方$(a-b)^2$，将两个公式展开后得到的式子就是完全平方式的标准形态，直接对应填空即可。
【解析】
根据完全平方式的定义，完全平方式符合“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央”的特征，对应两种形式：
1. 两数和的平方展开式：$a^2+2ab+b^2$
2. 两数差的平方展开式：$a^2-2ab+b^2$
上述两个式子就是规定的完全平方式。
【答案】
$a^2+2ab+b^2$，$a^2-2ab+b^2$
【知识点】
完全平方式的概念、完全平方公式
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，只要牢记完全平方公式的两种展开形式就能快速作答，是后续利用完全平方公式进行因式分解的核心基础。
【难度系数】
0.9
2. 用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
用字母表示为 $a^2 + 2ab + b^2 =$
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
用字母表示为 $a^2 + 2ab + b^2 =$
$(a+b)^2$
, $a^2 - 2ab + b^2 =$ $(a-b)^2$
.答案
2. $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式分解因式的公式识记，解题时先回忆完全平方公式的结构特征：左边为三项式，包含两个数的平方项，以及这两个数乘积的2倍项，若2倍项的符号为正，对应两数和的平方，若2倍项的符号为负，对应两数差的平方，再对应题干给出的式子匹配即可。
【解析】
根据完全平方公式分解因式的定义：
1. 对于$a^2 + 2ab + b^2$，是a、b两个数的平方和加上两数积的2倍，因此等于两数和的平方，即$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$；
2. 对于$a^2 - 2ab + b^2$，是a、b两个数的平方和减去两数积的2倍，因此等于两数差的平方，即$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$。
【答案】
$(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，核心是对完全平方公式结构的记忆和理解，熟练掌握公式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式分解因式的公式识记，解题时先回忆完全平方公式的结构特征：左边为三项式，包含两个数的平方项，以及这两个数乘积的2倍项，若2倍项的符号为正，对应两数和的平方，若2倍项的符号为负，对应两数差的平方，再对应题干给出的式子匹配即可。
【解析】
根据完全平方公式分解因式的定义：
1. 对于$a^2 + 2ab + b^2$，是a、b两个数的平方和加上两数积的2倍，因此等于两数和的平方，即$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$；
2. 对于$a^2 - 2ab + b^2$，是a、b两个数的平方和减去两数积的2倍，因此等于两数差的平方，即$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$。
【答案】
$(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，核心是对完全平方公式结构的记忆和理解，熟练掌握公式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.公式法
运用
运用
公式
把多项式分解因式的方法叫作公式法.答案
3. 公式
解析
【分析】
这是一道概念识记类的基础题，考查公式法分解因式的定义。解题时只需回忆教材中公式法的相关概念即可：因式分解的方法中，可直接用平方差公式、完全平方公式等现成公式对多项式做因式分解的方法，就叫做公式法，因此空缺处对应内容为“公式”。
【解析】
根据公式法的定义：运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法，因此本空应填“公式”。
【答案】
公式
【知识点】
公式法的概念；因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对公式法定义的记忆，掌握因式分解相关基础概念就能快速完成作答。
【难度系数】
0.9
这是一道概念识记类的基础题，考查公式法分解因式的定义。解题时只需回忆教材中公式法的相关概念即可：因式分解的方法中，可直接用平方差公式、完全平方公式等现成公式对多项式做因式分解的方法，就叫做公式法，因此空缺处对应内容为“公式”。
【解析】
根据公式法的定义：运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法，因此本空应填“公式”。
【答案】
公式
【知识点】
公式法的概念；因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对公式法定义的记忆，掌握因式分解相关基础概念就能快速完成作答。
【难度系数】
0.9
典例1 如果$x^2 + 2ax +1$是一个完全平方式，则a的值是（
A.1
B.−1
C.1或−1
D.2或−2
C
）。A.1
B.−1
C.1或−1
D.2或−2
答案
典例1答案：C，解析：因为$x^2+2ax+1$是完全平方式，所以$2ax=\pm2· x·1$，解得$a=\pm1$。
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方式的结构特征：形如$m^2\pm2mn+n^2$的式子是完全平方式，满足“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央，符号可正可负”。本题中给出的式子$x^2+2ax+1$已经明确首项是$x^2$、尾项是$1^2$，因此中间项$2ax$对应首尾乘积的2倍，需考虑正负两种情况，列等式即可求出a的取值。
【解析】
根据完全平方公式的结构，完全平方式可表示为$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$。
将$x^2+2ax+1$与上述结构对比，可得$m=x$，$n=1$，因此中间项满足：
$2ax=\pm 2· x· 1$
化简等式得$2ax=\pm2x$，两边同时除以$2x$（$x≠0$，$x=0$时原式恒成立，不影响a的取值），解得$a=\pm1$。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的特征
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构，解题时要注意完全平方包含“和的平方”“差的平方”两种形式，避免因忽略负号情况出现漏解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆完全平方式的结构特征：形如$m^2\pm2mn+n^2$的式子是完全平方式，满足“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央，符号可正可负”。本题中给出的式子$x^2+2ax+1$已经明确首项是$x^2$、尾项是$1^2$，因此中间项$2ax$对应首尾乘积的2倍，需考虑正负两种情况，列等式即可求出a的取值。
【解析】
根据完全平方公式的结构，完全平方式可表示为$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$。
将$x^2+2ax+1$与上述结构对比，可得$m=x$，$n=1$，因此中间项满足：
$2ax=\pm 2· x· 1$
化简等式得$2ax=\pm2x$，两边同时除以$2x$（$x≠0$，$x=0$时原式恒成立，不影响a的取值），解得$a=\pm1$。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的特征
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构，解题时要注意完全平方包含“和的平方”“差的平方”两种形式，避免因忽略负号情况出现漏解。
【难度系数】
0.8
举一反三 $x^2 -6x +m^2$ 是一个完全平方式，则m的值为（
A.3
B.9
C.-3
D.$\pm3$
D
）。A.3
B.9
C.-3
D.$\pm3$
答案
举一反三答案：D 解析 $\because x^2 -6x +m^2$ 是一个完全平方式，$\therefore m^2=9$，解得 $m=\pm3$. 故选 D.
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。先对应题干中的式子$x^2-6x+m^2$，可得第一项$a^2=x^2$，即$a=x$；中间项$\pm2ab=-6x$，代入$a=x$可算出$2b=6$，即$b=3$；因此完全平方式的第三项$b^2$就等于$m^2$，即$m^2=3^2=9$，最后根据平方根的定义，平方等于9的数有3和-3两个，即可得到m的取值，注意不要遗漏负的解。
【解析】
解：$\because x^2 -6x +m^2$是一个完全平方式，
根据完全平方式的特征，常数项等于一次项系数一半的平方，
$\therefore m^2=(\frac{-6}{2})^2=9$，
解得$m=\pm3$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的特征，平方根的运算
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构识别，易错点是求解$m^2=9$时容易忽略m的负数值，做题时要注意正数的平方根有两个、互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。先对应题干中的式子$x^2-6x+m^2$，可得第一项$a^2=x^2$，即$a=x$；中间项$\pm2ab=-6x$，代入$a=x$可算出$2b=6$，即$b=3$；因此完全平方式的第三项$b^2$就等于$m^2$，即$m^2=3^2=9$，最后根据平方根的定义，平方等于9的数有3和-3两个，即可得到m的取值，注意不要遗漏负的解。
【解析】
解：$\because x^2 -6x +m^2$是一个完全平方式，
根据完全平方式的特征，常数项等于一次项系数一半的平方，
$\therefore m^2=(\frac{-6}{2})^2=9$，
解得$m=\pm3$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的特征，平方根的运算
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构识别，易错点是求解$m^2=9$时容易忽略m的负数值，做题时要注意正数的平方根有两个、互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
典例2 分解因式：
(1)$m^2 +14m +49$；
(2)$-9x^2 +12x -4$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
规律总结 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须同时具备两个条件：(1)可以写成三项式的形式；(2)三项中有两项是两个数(或式子)的平方，第三项是这两个数(或式子)乘积的2倍。
举一反三 分解因式：
(1)$-x^2 +2xy -y^2$；
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2 -4(a+b-1)$。
$=(m+7)^2$。
(2)$-9x^2 +12x -4$
$=-[(3x)^2 -2·3x·2 +2^2]$
$=-(3x-2)^2$。
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$。
(1)$m^2 +14m +49$；
(2)$-9x^2 +12x -4$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
规律总结 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须同时具备两个条件：(1)可以写成三项式的形式；(2)三项中有两项是两个数(或式子)的平方，第三项是这两个数(或式子)乘积的2倍。
举一反三 分解因式：
(1)$-x^2 +2xy -y^2$；
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2 -4(a+b-1)$。
$=(m+7)^2$。
(2)$-9x^2 +12x -4$
$=-[(3x)^2 -2·3x·2 +2^2]$
$=-(3x-2)^2$。
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$。
答案
举一反三答案：
(1) $-x^2 +2xy -y^2$
$=-(x^2 -2xy +y^2)$
$=-(x-y)^2$.
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2 -2·2(x+y)·5 +5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$.
(3)$(a+b)^2 -4(a+b-1)$
$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
$=(a+b-2)^2$.
(1) $-x^2 +2xy -y^2$
$=-(x^2 -2xy +y^2)$
$=-(x-y)^2$.
(2)$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2 -2·2(x+y)·5 +5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$.
(3)$(a+b)^2 -4(a+b-1)$
$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
$=(a+b-2)^2$.
解析
【分析】
解题前先明确完全平方公式分解因式的适用条件：多项式为三项式，其中两项是两个数（或式子）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍。解题思路如下：
1. 第(1)题：多项式首项为负，先提取公因式-1，将括号内的式子转化为符合完全平方公式的形式，再套用公式分解；
2. 第(2)题：先调整多项式顺序，把$4(x+y)^2$看作$[2(x+y)]^2$，25看作$5^2$，将$(x+y)$看作整体，判断符合完全平方差公式结构，套用公式后再化简即可；
3. 第(3)题：先对原式变形，将$-4(a+b-1)$展开为$-4(a+b)+4$，把$(a+b)$看作整体，此时式子符合完全平方差公式结构，直接套用公式分解。
【解析】
(1) 分解$-x^2 +2xy -y^2$：
先提取公因式$-1$，得：
原式$=-(x^2 - 2xy + y^2)$
括号内符合完全平方差公式，因此：
$=-(x-y)^2$
(2) 分解$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$：
调整式子顺序，整理为完全平方结构：
原式$=[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$
把$2(x+y)$、$5$分别看作完全平方公式中的两个项，套用公式得：
$=[2(x+y)-5]^2$
去括号化简：
$=(2x+2y-5)^2$
(3) 分解$(a+b)^2 -4(a+b-1)$：
展开后项整理式子：
原式$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
把$(a+b)$、$2$分别看作完全平方公式中的两个项，套用公式得：
$=(a+b-2)^2$
【答案】
(1) $-(x-y)^2$
(2) $(2x+2y-5)^2$
(3) $(a+b-2)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 提公因式法
3. 整体思想
【点评】
本题是运用完全平方公式分解因式的基础训练题，解题时要先观察多项式的结构特征，优先提取公因式，遇到重复出现的多项式可将其视为整体降低解题难度，分解后注意检查结果是否最简。
【难度系数】
0.8
解题前先明确完全平方公式分解因式的适用条件：多项式为三项式，其中两项是两个数（或式子）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍。解题思路如下：
1. 第(1)题：多项式首项为负，先提取公因式-1，将括号内的式子转化为符合完全平方公式的形式，再套用公式分解；
2. 第(2)题：先调整多项式顺序，把$4(x+y)^2$看作$[2(x+y)]^2$，25看作$5^2$，将$(x+y)$看作整体，判断符合完全平方差公式结构，套用公式后再化简即可；
3. 第(3)题：先对原式变形，将$-4(a+b-1)$展开为$-4(a+b)+4$，把$(a+b)$看作整体，此时式子符合完全平方差公式结构，直接套用公式分解。
【解析】
(1) 分解$-x^2 +2xy -y^2$：
先提取公因式$-1$，得：
原式$=-(x^2 - 2xy + y^2)$
括号内符合完全平方差公式，因此：
$=-(x-y)^2$
(2) 分解$4(x+y)^2 +25 -20(x+y)$：
调整式子顺序，整理为完全平方结构：
原式$=[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$
把$2(x+y)$、$5$分别看作完全平方公式中的两个项，套用公式得：
$=[2(x+y)-5]^2$
去括号化简：
$=(2x+2y-5)^2$
(3) 分解$(a+b)^2 -4(a+b-1)$：
展开后项整理式子：
原式$=(a+b)^2 -4(a+b) +4$
把$(a+b)$、$2$分别看作完全平方公式中的两个项，套用公式得：
$=(a+b-2)^2$
【答案】
(1) $-(x-y)^2$
(2) $(2x+2y-5)^2$
(3) $(a+b-2)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 提公因式法
3. 整体思想
【点评】
本题是运用完全平方公式分解因式的基础训练题，解题时要先观察多项式的结构特征，优先提取公因式，遇到重复出现的多项式可将其视为整体降低解题难度，分解后注意检查结果是否最简。
【难度系数】
0.8
