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一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
当Δ≥0时,设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$,那么$x_1+x_2=$
当Δ≥0时,设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$,那么$x_1+x_2=$
$-\frac{b}{a}$
,$x_1x_2=$$\frac{c}{a}$
.这表明,当Δ≥0时,一元二次方程的根与系数之间具有如下关系:两根的和等于一次项系数
与二次项系数
的比的相反数,两根的积等于常数项
与二次项系数
的比.答案
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
解析
【分析】
解题时可先回忆一元二次方程的求根公式，当判别式Δ≥0时，两个根可以用含a、b、c的代数式表示，分别计算两根之和与两根之积，化简后即可得到对应的结果，再对照结果分析其与各项系数的对应关系就能完成填空。
【解析】
当Δ≥0时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，因此两个根分别为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)·(2a)}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
结合上述结果可得：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
【答案】
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是对韦达定理基础内容的考查，属于识记类基础题，掌握韦达定理的推导过程和核心结论即可快速解答，该知识点是解决一元二次方程相关综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时可先回忆一元二次方程的求根公式，当判别式Δ≥0时，两个根可以用含a、b、c的代数式表示，分别计算两根之和与两根之积，化简后即可得到对应的结果，再对照结果分析其与各项系数的对应关系就能完成填空。
【解析】
当Δ≥0时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，因此两个根分别为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)·(2a)}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
结合上述结果可得：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
【答案】
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是对韦达定理基础内容的考查，属于识记类基础题，掌握韦达定理的推导过程和核心结论即可快速解答，该知识点是解决一元二次方程相关综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
【例1】(2026怀化期末)设$m,n$是一元二次方程$x^2 -5x +6=0$的两个根，则$mn=$
6
.答案
6
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两个根的乘积，可通过两种思路解题：思路一：先求解一元二次方程得到两个根，再直接计算两根的乘积；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，该方法更简便。首先回忆韦达定理内容：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$m$、$n$，则两根之积$mn=\frac{c}{a}$，接下来只需确定给定方程的二次项系数$a$和常数项$c$，代入公式即可得到结果。
【解析】
方法一（韦达定理法）：
已知一元二次方程为$x^2 -5x +6=0$，其中二次项系数$a=1$，常数项$c=6$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6$。
方法二（求根计算法）：
先解方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=3$。
因为$m$、$n$是方程的两个根，所以$mn=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法都需要熟练掌握，其中韦达定理的应用可以减少计算量，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两个根的乘积，可通过两种思路解题：思路一：先求解一元二次方程得到两个根，再直接计算两根的乘积；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，该方法更简便。首先回忆韦达定理内容：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$m$、$n$，则两根之积$mn=\frac{c}{a}$，接下来只需确定给定方程的二次项系数$a$和常数项$c$，代入公式即可得到结果。
【解析】
方法一（韦达定理法）：
已知一元二次方程为$x^2 -5x +6=0$，其中二次项系数$a=1$，常数项$c=6$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6$。
方法二（求根计算法）：
先解方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=3$。
因为$m$、$n$是方程的两个根，所以$mn=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法都需要熟练掌握，其中韦达定理的应用可以减少计算量，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
【变式】(2026永州期中)方程$x^2 -6x +8=0$的两根分别为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=$
6
.答案
6
解析
【分析】
要求一元二次方程两根的和，有两种解题思路：思路一：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于形如$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$，只需确定方程中$a、b$的值代入计算即可；思路二：先通过因式分解法解出方程的两个根，再将两根相加得到结果。两种方法都适用，其中利用韦达定理计算更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
一元二次方程$x^2 -6x +8=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-6$，
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，
代入得$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$。
方法二（解方程求根再求和）：
对方程$x^2 -6x +8=0$因式分解，得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，
所以$x_1+x_2=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，既可以通过直接解方程计算两根之和，也可以利用韦达定理快速得出结果，熟练掌握韦达定理可简化计算，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
要求一元二次方程两根的和，有两种解题思路：思路一：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于形如$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$，只需确定方程中$a、b$的值代入计算即可；思路二：先通过因式分解法解出方程的两个根，再将两根相加得到结果。两种方法都适用，其中利用韦达定理计算更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
一元二次方程$x^2 -6x +8=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-6$，
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，
代入得$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$。
方法二（解方程求根再求和）：
对方程$x^2 -6x +8=0$因式分解，得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，
所以$x_1+x_2=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，既可以通过直接解方程计算两根之和，也可以利用韦达定理快速得出结果，熟练掌握韦达定理可简化计算，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
【例2】若$a,b$是一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的两个实数根，则代数式$a+b-ab$的值为
规律总结 利用根与系数的关系求有关代数式的值时，要善于将所求的代数式转化为用原方程的两根之和(或积)表示的式子。
2
。规律总结 利用根与系数的关系求有关代数式的值时，要善于将所求的代数式转化为用原方程的两根之和(或积)表示的式子。
答案
2
解析
【分析】
本题要求关于一元二次方程两根的代数式的值，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需直接求解方程得到a、b的具体值，只需要先根据方程的系数求出两根之和a+b与两根之积ab的值，再将所求代数式转化为用a+b、ab表示的形式，最后代入计算即可得到结果，这种方法比直接求根计算更简便。
【解析】
已知a，b是一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的两个实数根，该方程的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为1。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和 $a+b=-\frac{-3}{1}=3$，
两根之积 $ab=\frac{1}{1}=1$。
将$a+b=3$，$ab=1$代入代数式$a+b-ab$得：
$a+b-ab=3-1=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查韦达定理的应用，解题时不需要求出方程两根的具体值，直接利用根与系数的关系代入所求代数式即可快速算出结果，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题要求关于一元二次方程两根的代数式的值，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需直接求解方程得到a、b的具体值，只需要先根据方程的系数求出两根之和a+b与两根之积ab的值，再将所求代数式转化为用a+b、ab表示的形式，最后代入计算即可得到结果，这种方法比直接求根计算更简便。
【解析】
已知a，b是一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的两个实数根，该方程的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为1。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和 $a+b=-\frac{-3}{1}=3$，
两根之积 $ab=\frac{1}{1}=1$。
将$a+b=3$，$ab=1$代入代数式$a+b-ab$得：
$a+b-ab=3-1=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查韦达定理的应用，解题时不需要求出方程两根的具体值，直接利用根与系数的关系代入所求代数式即可快速算出结果，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
【变式】若$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2 - 3x - 1=0$的两个根，求下列代数式的值：
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(2)$(x_1 - x_2)^2$；
(3)$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$；
(4)$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})$；
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(2)$(x_1 - x_2)^2$；
(3)$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$；
(4)$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})$；
答案
解:$\because x_1,x_2$ 是一元二次方程 $2x^2-3x-1=0$ 的两个根，
$\therefore x_1+x_2=\frac{3}{2},x_1x_2=-\frac{1}{2}.$
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3.$
(2)$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
$=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}.$
(3)$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$
$=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=\frac{1}{2}.$
(4)$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+2+\frac{1}{x_1x_2}$
$=-\frac{1}{2}+2+\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}.$
$\therefore x_1+x_2=\frac{3}{2},x_1x_2=-\frac{1}{2}.$
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3.$
(2)$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
$=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}.$
(3)$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$
$=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=\frac{1}{2}.$
(4)$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+2+\frac{1}{x_1x_2}$
$=-\frac{1}{2}+2+\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根相关的代数式的值，无需直接求解方程得到两根的具体值，可先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将所求的四个代数式分别通过通分、完全平方公式变形、多项式乘法展开等方式，整理为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入计算即可，这种整体代入的方法能大幅简化计算过程。
【解析】
解：$\because x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个根，
$\therefore$由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3$；
(2) 利用完全平方公式变形得$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入得：
$(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$；
(3) 展开多项式得$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$，代入得：
$-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=-\frac{1}{2}-3+4=\frac{1}{2}$；
(4) 展开乘式得$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+2+\frac{1}{x_1x_2}$，代入得：
$-\frac{1}{2}+2+\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}+2-2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{17}{4}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；(4) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$
【知识点】
根与系数的关系、代数式恒等变形、整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，避免了求解方程根的繁琐计算，核心是熟练掌握各类代数式的变形技巧，运用整体思想代入计算即可快速求解。
【难度系数】
0.75
本题要求一元二次方程两根相关的代数式的值，无需直接求解方程得到两根的具体值，可先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将所求的四个代数式分别通过通分、完全平方公式变形、多项式乘法展开等方式，整理为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入计算即可，这种整体代入的方法能大幅简化计算过程。
【解析】
解：$\because x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个根，
$\therefore$由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3$；
(2) 利用完全平方公式变形得$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入得：
$(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$；
(3) 展开多项式得$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$，代入得：
$-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=-\frac{1}{2}-3+4=\frac{1}{2}$；
(4) 展开乘式得$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+2+\frac{1}{x_1x_2}$，代入得：
$-\frac{1}{2}+2+\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}+2-2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{17}{4}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；(4) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$
【知识点】
根与系数的关系、代数式恒等变形、整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，避免了求解方程根的繁琐计算，核心是熟练掌握各类代数式的变形技巧，运用整体思想代入计算即可快速求解。
【难度系数】
0.75
【例3】(2025常德模拟)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx -8=0$的一个实数根为2，则另一实数根及$m$的值分别为（
A.4，-2
B.-4，-2
C.4，2
D.-4，2
D
）A.4，-2
B.-4，-2
C.4，2
D.-4，2
答案
D
解析
【分析】
解题可从两个符合课内要求的思路入手：思路1：根据一元二次方程根的定义，已知的实数根2满足原方程，将x=2代入方程即可先求出m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根的乘积关系先求另一根，再通过两根的和求m的值，该方法计算更快捷。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
将$x=2$代入方程$x^2 + mx -8=0$，得：
$2^2 + 2m -8 = 0$
化简得$4 + 2m -8 = 0$，即$2m = 4$，解得$m=2$。
将$m=2$代入原方程得$x^2 + 2x -8=0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-4$，即另一根为$-4$，$m=2$。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
由两根之积得：$2 × x_1 = \frac{-8}{1} = -8$，解得$x_1=-4$。
由两根之和得：$2 + (-4) = -\frac{m}{1}$，即$-2 = -m$，解得$m=2$。
综上，另一根为$-4$，$m$的值为$2$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题型，两种解题方法都属于课内要求掌握的内容，其中根与系数的关系可以省略解方程的步骤，提升解题效率，建议熟练掌握该方法的应用。
【难度系数】
0.8
解题可从两个符合课内要求的思路入手：思路1：根据一元二次方程根的定义，已知的实数根2满足原方程，将x=2代入方程即可先求出m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根的乘积关系先求另一根，再通过两根的和求m的值，该方法计算更快捷。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
将$x=2$代入方程$x^2 + mx -8=0$，得：
$2^2 + 2m -8 = 0$
化简得$4 + 2m -8 = 0$，即$2m = 4$，解得$m=2$。
将$m=2$代入原方程得$x^2 + 2x -8=0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-4$，即另一根为$-4$，$m=2$。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
由两根之积得：$2 × x_1 = \frac{-8}{1} = -8$，解得$x_1=-4$。
由两根之和得：$2 + (-4) = -\frac{m}{1}$，即$-2 = -m$，解得$m=2$。
综上，另一根为$-4$，$m$的值为$2$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题型，两种解题方法都属于课内要求掌握的内容，其中根与系数的关系可以省略解方程的步骤，提升解题效率，建议熟练掌握该方法的应用。
【难度系数】
0.8
【变式】(2026南充月考)一元二次方程$ax^2 - x=0$有一个根为$1+\sqrt{5}$，则另一个根是
0
。答案
0
解析
【分析】
本题是求一元二次方程的未知根，有两种简便解题思路：一是利用韦达定理，观察方程可知常数项为0，因此两根之积为0，结合已知根不为0，可直接得到另一个根为0；二是对原方程因式分解，直接得到方程的两个根的形式，即可确定另一个根，无需代入已知根计算参数a，简化计算过程。
【解析】
方法1（韦达定理法）：
对于一元二次方程$ax^2 - x=0$（$a≠0$），对应一般形式$ax^2+bx+c=0$，得$c=0$。
设方程两根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=0$。
已知其中一个根为$1+\sqrt{5}≠0$，因此另一个根必定为0。
方法2（因式分解法）：
对原方程左边因式分解：$ax^2 - x = x(ax-1)=0$，
解得$x=0$或$x=\frac{1}{a}$。
已知方程有一个根为$1+\sqrt{5}$，因此另一个根为0。
【答案】
0
【知识点】
韦达定理；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，无需代入已知根求参数再求解，灵活运用一元二次方程的性质或因式分解即可快速得到结果，主要考查对一元二次方程相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
本题是求一元二次方程的未知根，有两种简便解题思路：一是利用韦达定理，观察方程可知常数项为0，因此两根之积为0，结合已知根不为0，可直接得到另一个根为0；二是对原方程因式分解，直接得到方程的两个根的形式，即可确定另一个根，无需代入已知根计算参数a，简化计算过程。
【解析】
方法1（韦达定理法）：
对于一元二次方程$ax^2 - x=0$（$a≠0$），对应一般形式$ax^2+bx+c=0$，得$c=0$。
设方程两根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=0$。
已知其中一个根为$1+\sqrt{5}≠0$，因此另一个根必定为0。
方法2（因式分解法）：
对原方程左边因式分解：$ax^2 - x = x(ax-1)=0$，
解得$x=0$或$x=\frac{1}{a}$。
已知方程有一个根为$1+\sqrt{5}$，因此另一个根为0。
【答案】
0
【知识点】
韦达定理；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，无需代入已知根求参数再求解，灵活运用一元二次方程的性质或因式分解即可快速得到结果，主要考查对一元二次方程相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
1.若关于$x$的一元二次方程的两个根为$x_1=1,x_2=2$,则这个方程可能是（
A.$x^2+3x-2=0$
B.$x^2+3x+2=0$
C.$x^2-3x+2=0$
D.$x^2-2x+3=0$
C
）A.$x^2+3x-2=0$
B.$x^2+3x+2=0$
C.$x^2-3x+2=0$
D.$x^2-2x+3=0$
答案
1. C
解析
【分析】
本题可通过三种思路求解：一是根据一元二次方程根的定义，将两根逐一代入选项验证，左右两边相等的即为正确选项；二是利用根与系数的关系（韦达定理），先计算两根之和、两根之积，再匹配选项中方程的系数；三是直接根据已知两根构造一元二次方程，再和选项比对即可得到答案。
【解析】
方法一：构造方程法
若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式。
将$x_1=1$，$x_2=2$代入得：
$(x-1)(x-2)=0$
展开左边得：$x^2-2x -x +2 = x^2-3x+2=0$，对应选项C。
方法二：根与系数关系法
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根满足：$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
本题中$x_1+x_2=1+2=3$，$x_1x_2=1×2=2$，因此$b=-3$，$c=2$，方程为$x^2-3x+2=0$，故选C。
方法三：代入验证法
将$x=1$、$x=2$分别代入各选项：
A选项：$x=1$时左边$=1+3-2=2≠0$，排除；
B选项：$x=1$时左边$=1+3+2=6≠0$，排除；
C选项：$x=1$时左边$=1-3+2=0$，$x=2$时左边$=4-6+2=0$，符合要求；
D选项：$x=1$时左边$=1-2+3=2≠0$，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用题型，多种方法均可求解，熟练掌握根的定义和韦达定理可以提升解题速度，降低计算量。
【难度系数】
0.8
本题可通过三种思路求解：一是根据一元二次方程根的定义，将两根逐一代入选项验证，左右两边相等的即为正确选项；二是利用根与系数的关系（韦达定理），先计算两根之和、两根之积，再匹配选项中方程的系数；三是直接根据已知两根构造一元二次方程，再和选项比对即可得到答案。
【解析】
方法一：构造方程法
若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式。
将$x_1=1$，$x_2=2$代入得：
$(x-1)(x-2)=0$
展开左边得：$x^2-2x -x +2 = x^2-3x+2=0$，对应选项C。
方法二：根与系数关系法
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根满足：$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
本题中$x_1+x_2=1+2=3$，$x_1x_2=1×2=2$，因此$b=-3$，$c=2$，方程为$x^2-3x+2=0$，故选C。
方法三：代入验证法
将$x=1$、$x=2$分别代入各选项：
A选项：$x=1$时左边$=1+3-2=2≠0$，排除；
B选项：$x=1$时左边$=1+3+2=6≠0$，排除；
C选项：$x=1$时左边$=1-3+2=0$，$x=2$时左边$=4-6+2=0$，符合要求；
D选项：$x=1$时左边$=1-2+3=2≠0$，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用题型，多种方法均可求解，熟练掌握根的定义和韦达定理可以提升解题速度，降低计算量。
【难度系数】
0.8
2. (2026荆州期末)一元二次方程$x^2 -6x +4=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=-6$
C.$x_1+x_2=4$
D.$x_1+x_2=6$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=-6$
C.$x_1+x_2=4$
D.$x_1+x_2=6$
答案
2. D
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：第一步先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和的计算公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；第二步从题干给出的方程中对应找出$a、b、c$的取值，注意一次项系数的符号不要出错；第三步代入公式计算两根之和，最后和选项对比选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2-6x+4=0$，对应可得$a=1$，$b=-6$，$c=4$。
代入公式计算：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$。
因此选项D符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需注意准确识别方程中一次项系数的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：第一步先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和的计算公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；第二步从题干给出的方程中对应找出$a、b、c$的取值，注意一次项系数的符号不要出错；第三步代入公式计算两根之和，最后和选项对比选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2-6x+4=0$，对应可得$a=1$，$b=-6$，$c=4$。
代入公式计算：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$。
因此选项D符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需注意准确识别方程中一次项系数的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.9
