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3. 关于$x$的方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根是$-2$和$1$，则$n^m$的值为（
A.$-8$
B.$8$
C.$16$
D.$-16$
C
）A.$-8$
B.$8$
C.$16$
D.$-16$
答案
3. C
解析
【分析】
要解这道题，需先求出参数m、n的值，再计算$n^m$的结果。已知一元二次方程的两个根，可利用一元二次方程根与系数的关系，建立关于m、n的等式求解参数，最后代入计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$2x^2+mx+n=0$的两根为$-2$和$1$，其中$a=2$，$b=m$，$c=n$，代入公式可得：
1. 求m的值：
两根之和$-2+1=-\frac{m}{2}$，即$-1=-\frac{m}{2}$，解得$m=2$。
2. 求n的值：
两根之积$(-2)×1=\frac{n}{2}$，即$-2=\frac{n}{2}$，解得$n=-4$。
3. 计算$n^m$：
将$m=2$，$n=-4$代入得$n^m=(-4)^2=16$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系，计算乘方时注意符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需先求出参数m、n的值，再计算$n^m$的结果。已知一元二次方程的两个根，可利用一元二次方程根与系数的关系，建立关于m、n的等式求解参数，最后代入计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$2x^2+mx+n=0$的两根为$-2$和$1$，其中$a=2$，$b=m$，$c=n$，代入公式可得：
1. 求m的值：
两根之和$-2+1=-\frac{m}{2}$，即$-1=-\frac{m}{2}$，解得$m=2$。
2. 求n的值：
两根之积$(-2)×1=\frac{n}{2}$，即$-2=\frac{n}{2}$，解得$n=-4$。
3. 计算$n^m$：
将$m=2$，$n=-4$代入得$n^m=(-4)^2=16$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系，计算乘方时注意符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
4. (2026 泉州期末)已知 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ x^2 - 2025x - 2026 = 0 $ 的两个实数根，则 $ x_1 + x_2 = $
2025
。答案
4. 2025
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两个实数根的和，无需解方程求出具体根，可直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若存在两个实根$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。接下来只需从给定方程中对应找到二次项系数$a$、一次项系数$b$，代入公式计算即可，计算时注意一次项系数的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
本题中方程为$x^2 - 2025x - 2026 = 0$，对应可得$a=1$，$b=-2025$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2025}{1}=2025$
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础题型，直接考查韦达定理的应用，不需要求解方程的根，只要准确识别方程各项系数，熟记公式，注意符号运算即可得分，是对基础公式掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两个实数根的和，无需解方程求出具体根，可直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若存在两个实根$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。接下来只需从给定方程中对应找到二次项系数$a$、一次项系数$b$，代入公式计算即可，计算时注意一次项系数的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
本题中方程为$x^2 - 2025x - 2026 = 0$，对应可得$a=1$，$b=-2025$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2025}{1}=2025$
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础题型，直接考查韦达定理的应用，不需要求解方程的根，只要准确识别方程各项系数，熟记公式，注意符号运算即可得分，是对基础公式掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
5.已知关于$x$的方程$x^2 + mx -4=0$的一个根为1，则该方程的另一个根为
-4
。答案
5. -4
解析
【分析】
拿到本题，已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种解题思路：① 利用方程的根的定义：将已知根x=1代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之积为c/a，无需计算m，直接通过乘积关系即可快速求出另一个根，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为x₁，
对于一元二次方程x² + mx -4=0，二次项系数a=1，常数项c=-4，
根据根与系数的关系，两根之积 = c/a = -4/1 = -4，
已知其中一个根为1，因此有1×x₁ = -4，
解得x₁ = -4。
方法二（代入求参法）：
将x=1代入原方程得：1² + m×1 -4 = 0，
解得m=3，
因此原方程为x² + 3x -4 = 0，
因式分解得：(x-1)(x+4)=0，
解得x₁=1，x₂=-4，即另一个根为-4。
【答案】
-4
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用题，两种解题方法都适用，熟练掌握根与系数的关系可大幅提升解题效率，需牢记相关公式并灵活运用。
【难度系数】
0.9
拿到本题，已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种解题思路：① 利用方程的根的定义：将已知根x=1代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之积为c/a，无需计算m，直接通过乘积关系即可快速求出另一个根，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为x₁，
对于一元二次方程x² + mx -4=0，二次项系数a=1，常数项c=-4，
根据根与系数的关系，两根之积 = c/a = -4/1 = -4，
已知其中一个根为1，因此有1×x₁ = -4，
解得x₁ = -4。
方法二（代入求参法）：
将x=1代入原方程得：1² + m×1 -4 = 0，
解得m=3，
因此原方程为x² + 3x -4 = 0，
因式分解得：(x-1)(x+4)=0，
解得x₁=1，x₂=-4，即另一个根为-4。
【答案】
-4
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用题，两种解题方法都适用，熟练掌握根与系数的关系可大幅提升解题效率，需牢记相关公式并灵活运用。
【难度系数】
0.9
6.已知$m,n$是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个根，则$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$的值为
$-\frac{1}{3}$
.答案
6. $-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值，首先可以先对该分式进行通分化简，得到含两根之和、两根之积的形式；再结合$m,n$是一元二次方程的两根，利用根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根之和与两根之积，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
1. 先化简所求代数式：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}=\frac{m+n}{mn}$
2. 确定一元二次方程的系数：
方程$x^2 - x - 3 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-3$。
3. 根据根与系数的关系求两根和、两根积：
因为$m,n$是方程的两个根，所以$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$，$mn=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
4. 代入化简后的式子计算：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 分式化简
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考察韦达定理的灵活应用，通过先化简所求代数式，再代入两根和与积的方式求解，避免了直接求根的复杂计算，是一元二次方程相关考点中的常见考法。
【难度系数】
0.8
要求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值，首先可以先对该分式进行通分化简，得到含两根之和、两根之积的形式；再结合$m,n$是一元二次方程的两根，利用根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根之和与两根之积，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
1. 先化简所求代数式：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}=\frac{m+n}{mn}$
2. 确定一元二次方程的系数：
方程$x^2 - x - 3 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-3$。
3. 根据根与系数的关系求两根和、两根积：
因为$m,n$是方程的两个根，所以$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$，$mn=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
4. 代入化简后的式子计算：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 分式化简
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考察韦达定理的灵活应用，通过先化简所求代数式，再代入两根和与积的方式求解，避免了直接求根的复杂计算，是一元二次方程相关考点中的常见考法。
【难度系数】
0.8
7. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)$x^2 + 2x + 1 = 0$；
(2)$x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$；
(3)$2x^2 + 3 = 7x^2 + x$；
(4)$5x - 5 = 6x^2 - 4$。
(1)$x^2 + 2x + 1 = 0$；
(2)$x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$；
(3)$2x^2 + 3 = 7x^2 + x$；
(4)$5x - 5 = 6x^2 - 4$。
答案
7. 解:(1)$x_1+x_2=-2,x_1x_2=1.$
(2)$x_1+x_2=-\sqrt{2},x_1x_2=-3.$
(3)方程化为 $5x^2+x-3=0$，
$x_1+x_2=-\frac{1}{5},x_1x_2=-\frac{3}{5}.$
(4)方程化为 $6x^2-5x+1=0$，
$x_1+x_2=\frac{5}{6},x_1x_2=\frac{1}{6}.$
(2)$x_1+x_2=-\sqrt{2},x_1x_2=-3.$
(3)方程化为 $5x^2+x-3=0$，
$x_1+x_2=-\frac{1}{5},x_1x_2=-\frac{3}{5}.$
(4)方程化为 $6x^2-5x+1=0$，
$x_1+x_2=\frac{5}{6},x_1x_2=\frac{1}{6}.$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：① 首先将所有方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，注意移项时要变号，合并同类项后可将二次项系数化为正数方便计算；② 准确识别每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，需自带符号；③ 直接套用韦达定理公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入数值计算即可，重点注意符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$x^2 + 2x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=2$，$c=1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$，$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$；
(2) 方程$x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=-3$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{\sqrt{2}}{1}=-\sqrt{2}$，$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$；
(3) 先整理方程为一般形式：
移项合并同类项得$5x^2+x-3=0$，其中$a=5$，$b=1$，$c=-3$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$；
(4) 先整理方程为一般形式：
移项合并同类项得$6x^2-5x+1=0$，其中$a=6$，$b=-5$，$c=1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}$，$x_1x_2=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$x_1+x_2=-2,x_1x_2=1.$
(2)$x_1+x_2=-\sqrt{2},x_1x_2=-3.$
(3)$x_1+x_2=-\frac{1}{5},x_1x_2=-\frac{3}{5}.$
(4)$x_1+x_2=\frac{5}{6},x_1x_2=\frac{1}{6}.$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程一般形式，整式化简
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是先将方程转化为标准一元二次方程一般形式，准确提取带符号的$a、b、c$参数，计算时注意符号的正误即可，是巩固根与系数关系的典型基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：① 首先将所有方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，注意移项时要变号，合并同类项后可将二次项系数化为正数方便计算；② 准确识别每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，需自带符号；③ 直接套用韦达定理公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入数值计算即可，重点注意符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$x^2 + 2x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=2$，$c=1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$，$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$；
(2) 方程$x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=-3$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{\sqrt{2}}{1}=-\sqrt{2}$，$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$；
(3) 先整理方程为一般形式：
移项合并同类项得$5x^2+x-3=0$，其中$a=5$，$b=1$，$c=-3$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$；
(4) 先整理方程为一般形式：
移项合并同类项得$6x^2-5x+1=0$，其中$a=6$，$b=-5$，$c=1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}$，$x_1x_2=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$x_1+x_2=-2,x_1x_2=1.$
(2)$x_1+x_2=-\sqrt{2},x_1x_2=-3.$
(3)$x_1+x_2=-\frac{1}{5},x_1x_2=-\frac{3}{5}.$
(4)$x_1+x_2=\frac{5}{6},x_1x_2=\frac{1}{6}.$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程一般形式，整式化简
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是先将方程转化为标准一元二次方程一般形式，准确提取带符号的$a、b、c$参数，计算时注意符号的正误即可，是巩固根与系数关系的典型基础题。
【难度系数】
0.8
8. 在解关于$x$的一元二次方程$x^2+px+q=0$时，小红看错了常数项$q$，得到方程的两个根是－3，1. 小明看错了一次项系数$p$，得到方程的两个根是5，－4. 则原方程是（
A. $x^2+2x-3=0$
B. $x^2+2x-20=0$
C. $x^2-2x-20=0$
D. $x^2-2x-3=0$
B
）A. $x^2+2x-3=0$
B. $x^2+2x-20=0$
C. $x^2-2x-20=0$
D. $x^2-2x-3=0$
答案
8. B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：首先明确两人看错的是方程的某一项，未看错的项对应的根的关系是成立的：小红仅看错常数项$q$，说明她求解时所用的一次项系数$p$是正确的，因此她得到的两个根的和符合原方程的根与系数关系，可求出正确的$p$；小明仅看错一次项系数$p$，说明他求解时所用的常数项$q$是正确的，因此他得到的两个根的积符合原方程的根与系数关系，可求出正确的$q$，最后将$p$、$q$代入原方程即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得：$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
1. 求正确的一次项系数$p$：
小红看错了常数项$q$，因此她得到的两根$-3$、$1$对应的一次项系数$p$是正确的，代入两根之和公式：
$-3+1=-p$
$-2=-p$
解得$p=2$。
2. 求正确的常数项$q$：
小明看错了一次项系数$p$，因此他得到的两根$5$、$-4$对应的常数项$q$是正确的，代入两根之积公式：
$5×(-4)=q$
解得$q=-20$。
3. 代入得原方程：
将$p=2$，$q=-20$代入$x^2+px+q=0$，得原方程为$x^2+2x-20=0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程的解的意义
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的核心是抓住“看错某一项时另一项计算的正确性”，通过未看错的系数对应的根的关系即可快速求出原方程的未知系数，解题时注意不要记错韦达定理中两根和与系数的符号关系。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：首先明确两人看错的是方程的某一项，未看错的项对应的根的关系是成立的：小红仅看错常数项$q$，说明她求解时所用的一次项系数$p$是正确的，因此她得到的两个根的和符合原方程的根与系数关系，可求出正确的$p$；小明仅看错一次项系数$p$，说明他求解时所用的常数项$q$是正确的，因此他得到的两个根的积符合原方程的根与系数关系，可求出正确的$q$，最后将$p$、$q$代入原方程即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得：$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
1. 求正确的一次项系数$p$：
小红看错了常数项$q$，因此她得到的两根$-3$、$1$对应的一次项系数$p$是正确的，代入两根之和公式：
$-3+1=-p$
$-2=-p$
解得$p=2$。
2. 求正确的常数项$q$：
小明看错了一次项系数$p$，因此他得到的两根$5$、$-4$对应的常数项$q$是正确的，代入两根之积公式：
$5×(-4)=q$
解得$q=-20$。
3. 代入得原方程：
将$p=2$，$q=-20$代入$x^2+px+q=0$，得原方程为$x^2+2x-20=0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程的解的意义
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的核心是抓住“看错某一项时另一项计算的正确性”，通过未看错的系数对应的根的关系即可快速求出原方程的未知系数，解题时注意不要记错韦达定理中两根和与系数的符号关系。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的一元二次方程$px^2 + 2x + q = 0$的两个根分别为$m,n$.
(1)若$m=2,n=-4$,求$p,q$的值;
(2)若$p=3,q=-1$,求$2m+mn+2n$的值.
(1)若$m=2,n=-4$,求$p,q$的值;
(2)若$p=3,q=-1$,求$2m+mn+2n$的值.
答案
9. 解:(1)$\because 2-4=-\frac{2}{p},2×(-4)=\frac{q}{p},$
$\therefore p=1,q=-8.$
(2)$\because m+n=-\frac{2}{p}=-\frac{2}{3},mn=\frac{q}{p}=-\frac{1}{3},$
$\therefore 2m+mn+2n=2(m+n)+mn=-\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{5}{3}.$
$\therefore p=1,q=-8.$
(2)$\because m+n=-\frac{2}{p}=-\frac{2}{3},mn=\frac{q}{p}=-\frac{1}{3},$
$\therefore 2m+mn+2n=2(m+n)+mn=-\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{5}{3}.$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1)已知方程的两个根，可直接将根代入韦达定理的两个关系式，得到关于$p,q$的方程，解方程即可求出$p,q$的值；
(2)已知$p,q$的值，可先利用韦达定理求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$，再将所求代数式$2m+mn+2n$变形为含$m+n$和$mn$的形式，整体代入计算即可，无需单独求解$m,n$的具体值，简化计算过程。
【解析】
(1)根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{2}{p}$，$mn=\frac{q}{p}$
将$m=2,n=-4$代入上述两个式子：
$2+(-4)=-\frac{2}{p}$，即$-2=-\frac{2}{p}$，解得$p=1$
$2×(-4)=\frac{q}{p}$，将$p=1$代入得$q=-8$
(2)当$p=3,q=-1$时，根据根与系数的关系：
$m+n=-\frac{2}{p}=-\frac{2}{3}$，$mn=\frac{q}{p}=-\frac{1}{3}$
对所求代数式变形：$2m+mn+2n=2(m+n)+mn$
将$m+n=-\frac{2}{3}$，$mn=-\frac{1}{3}$代入得：
原式$=2×(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{5}{3}$
【答案】
(1)$p=1,q=-8$；(2)$-\frac{5}{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心是灵活运用韦达定理处理根与系数的相关计算，整体代入的思想可以大幅降低计算量，需熟练掌握韦达定理公式以及常见的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1)已知方程的两个根，可直接将根代入韦达定理的两个关系式，得到关于$p,q$的方程，解方程即可求出$p,q$的值；
(2)已知$p,q$的值，可先利用韦达定理求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$，再将所求代数式$2m+mn+2n$变形为含$m+n$和$mn$的形式，整体代入计算即可，无需单独求解$m,n$的具体值，简化计算过程。
【解析】
(1)根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{2}{p}$，$mn=\frac{q}{p}$
将$m=2,n=-4$代入上述两个式子：
$2+(-4)=-\frac{2}{p}$，即$-2=-\frac{2}{p}$，解得$p=1$
$2×(-4)=\frac{q}{p}$，将$p=1$代入得$q=-8$
(2)当$p=3,q=-1$时，根据根与系数的关系：
$m+n=-\frac{2}{p}=-\frac{2}{3}$，$mn=\frac{q}{p}=-\frac{1}{3}$
对所求代数式变形：$2m+mn+2n=2(m+n)+mn$
将$m+n=-\frac{2}{3}$，$mn=-\frac{1}{3}$代入得：
原式$=2×(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{5}{3}$
【答案】
(1)$p=1,q=-8$；(2)$-\frac{5}{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心是灵活运用韦达定理处理根与系数的相关计算，整体代入的思想可以大幅降低计算量，需熟练掌握韦达定理公式以及常见的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.8
10. (2026芜湖期中)关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + 2m - 1 = 0$，设$x_1, x_2$是此方程的两个根.
(1)若$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 10$，求$m$的值；
(2)若方程有一个根不小于5，求$m$的取值范围.
(1)若$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 10$，求$m$的值；
(2)若方程有一个根不小于5，求$m$的取值范围.
答案
10. 解:(1)$\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2+2mx+2m-1=0$ 的根，
$\therefore x_1+x_2=-2m,x_1x_2=2m-1,$
$\therefore (x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=2m-1-2(-2m)+4=6m+3=10,$
解得 $m=\frac{7}{6}.$
(2)$\because x^2+2mx+2m-1=0,$
即$(x+1)(x+2m-1)=0,$
$\therefore x_1=-1,x_2=-2m+1,$
$\because$ 方程有一个根不小于 5，
$\therefore -2m+1≥ 5,$
$\therefore m≤ -2.$
$\therefore m$ 的取值范围是 $m≤ -2.$
$\therefore x_1+x_2=-2m,x_1x_2=2m-1,$
$\therefore (x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=2m-1-2(-2m)+4=6m+3=10,$
解得 $m=\frac{7}{6}.$
(2)$\because x^2+2mx+2m-1=0,$
即$(x+1)(x+2m-1)=0,$
$\therefore x_1=-1,x_2=-2m+1,$
$\because$ 方程有一个根不小于 5，
$\therefore -2m+1≥ 5,$
$\therefore m≤ -2.$
$\therefore m$ 的取值范围是 $m≤ -2.$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关应用，分两小问梳理思路：
(1) 题中给出方程两根满足的代数式关系，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和与两根之积，再将给定的$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$展开，把两根和、两根积代入即可得到关于$m$的一元一次方程，求解即可。本题方程的判别式为完全平方式，恒大于等于0，因此求得的$m$无需额外验证根的存在性。
(2) 观察方程特点，可通过因式分解法直接求出方程的两个根，发现其中一个根为$-1$，明显小于5，因此只需满足另一个根不小于5，列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) $\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2+2mx+2m-1=0$ 的两个根
$\therefore$ 根据韦达定理得：$x_1+x_2=-2m,x_1x_2=2m-1$
将$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$展开可得：
$(x_1 - 2)(x_2 - 2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$
代入两根和、两根积的表达式得：
原式$=2m-1-2(-2m)+4=6m+3$
结合题意$(x_1 - 2)(x_2 - 2)=10$，列方程：
$6m+3=10$
解得 $m=\frac{7}{6}$
(2) 对原方程因式分解：
$x^2+2mx+2m-1=(x+1)(x+2m-1)=0$
$\therefore$ 方程的两根为$x_1=-1,x_2=-2m+1$
$\because$ 方程有一个根不小于 5，且$x_1=-1＜5$
$\therefore$ 需满足$-2m+1≥ 5$
解不等式得：$m≤ -2$
【答案】
(1) $m=\frac{7}{6}$；(2) $m≤ -2$
【知识点】
韦达定理，因式分解法解一元二次方程，一元一次不等式解法
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，第一问侧重考查根与系数关系的直接应用，第二问需要先通过因式分解求出方程的根，再结合题意列不等式求解，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程的相关应用，分两小问梳理思路：
(1) 题中给出方程两根满足的代数式关系，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和与两根之积，再将给定的$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$展开，把两根和、两根积代入即可得到关于$m$的一元一次方程，求解即可。本题方程的判别式为完全平方式，恒大于等于0，因此求得的$m$无需额外验证根的存在性。
(2) 观察方程特点，可通过因式分解法直接求出方程的两个根，发现其中一个根为$-1$，明显小于5，因此只需满足另一个根不小于5，列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) $\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2+2mx+2m-1=0$ 的两个根
$\therefore$ 根据韦达定理得：$x_1+x_2=-2m,x_1x_2=2m-1$
将$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$展开可得：
$(x_1 - 2)(x_2 - 2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$
代入两根和、两根积的表达式得：
原式$=2m-1-2(-2m)+4=6m+3$
结合题意$(x_1 - 2)(x_2 - 2)=10$，列方程：
$6m+3=10$
解得 $m=\frac{7}{6}$
(2) 对原方程因式分解：
$x^2+2mx+2m-1=(x+1)(x+2m-1)=0$
$\therefore$ 方程的两根为$x_1=-1,x_2=-2m+1$
$\because$ 方程有一个根不小于 5，且$x_1=-1＜5$
$\therefore$ 需满足$-2m+1≥ 5$
解不等式得：$m≤ -2$
【答案】
(1) $m=\frac{7}{6}$；(2) $m≤ -2$
【知识点】
韦达定理，因式分解法解一元二次方程，一元一次不等式解法
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，第一问侧重考查根与系数关系的直接应用，第二问需要先通过因式分解求出方程的根，再结合题意列不等式求解，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
