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【变式2】已知关于x的一元二次方程$(m+1)x^2 + 2mx + m - 3 = 0$总有实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)在(1)的条件下,当m在取值范围内取最小整数时,求原方程的解.
(1)求m的取值范围；
(2)在(1)的条件下,当m在取值范围内取最小整数时,求原方程的解.
答案
解:(1)$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m+1)x^2+2mx+m-3=0$ 总有实数根，
$\therefore \Delta≥0$,即 $4m^2-4(m+1)(m-3)≥0$，
解得 $m≥-\frac{3}{2}$。
又$\because m+1≠0$,即 $m≠-1$，
$\therefore m$ 的取值范围为 $m≥-\frac{3}{2}$ 且 $m≠-1$。
(2)$\because m$ 的取值范围为 $m≥-\frac{3}{2}$ 且 $m≠-1$，
$\therefore m$ 取最小整数时为 0，
$\therefore$ 原方程变形为 $x^2-3=0$，
解得 $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
$\therefore \Delta≥0$,即 $4m^2-4(m+1)(m-3)≥0$，
解得 $m≥-\frac{3}{2}$。
又$\because m+1≠0$,即 $m≠-1$，
$\therefore m$ 的取值范围为 $m≥-\frac{3}{2}$ 且 $m≠-1$。
(2)$\because m$ 的取值范围为 $m≥-\frac{3}{2}$ 且 $m≠-1$，
$\therefore m$ 取最小整数时为 0，
$\therefore$ 原方程变形为 $x^2-3=0$，
解得 $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 题干明确给出是关于x的一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$m+1≠ 0$；其次方程总有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有实数根，先代入公式计算出$\Delta$的表达式，解$\Delta ≥ 0$对应的不等式，再结合二次项系数不为0的条件，取两个范围的交集即可得到m的取值范围。
(2) 先根据第一问求出的m的取值范围，找出范围内的最小整数，注意要排除$m=-1$，再将这个最小整数代入原方程，得到一个不含参数的一元二次方程，用直接开平方法求解即可得到方程的解。
【解析】
(1) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m+1)x^2+2mx+m-3=0$ 总有实数根，
$\therefore$ 首先满足二次项系数不为0：$m+1≠0$，即 $m≠-1$，
同时根的判别式$\Delta≥0$，即 $(2m)^2-4(m+1)(m-3)≥0$，
展开计算得：$4m^2 - 4(m^2 - 2m - 3)≥0$，
化简得$8m + 12 ≥0$，
解得 $m≥-\frac{3}{2}$。
$\therefore m$ 的取值范围为 $m≥-\frac{3}{2}$ 且 $m≠-1$。
(2) $\because m$ 的取值范围为 $m≥-\frac{3}{2}$ 且 $m≠-1$，
$\therefore$ 范围内的整数有0,1,2,...，其中最小整数为 0，
将$m=0$代入原方程，得：$x^2 - 3=0$，
移项得$x^2=3$，开方得$x=\pm\sqrt{3}$，
解得 $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $m≥ -\dfrac{3}{2}$且$m≠ -1$；
(2) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程有实根的条件，解题的易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含限制条件，整体侧重基础知识点的运用，掌握核心概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 题干明确给出是关于x的一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$m+1≠ 0$；其次方程总有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有实数根，先代入公式计算出$\Delta$的表达式，解$\Delta ≥ 0$对应的不等式，再结合二次项系数不为0的条件，取两个范围的交集即可得到m的取值范围。
(2) 先根据第一问求出的m的取值范围，找出范围内的最小整数，注意要排除$m=-1$，再将这个最小整数代入原方程，得到一个不含参数的一元二次方程，用直接开平方法求解即可得到方程的解。
【解析】
(1) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m+1)x^2+2mx+m-3=0$ 总有实数根，
$\therefore$ 首先满足二次项系数不为0：$m+1≠0$，即 $m≠-1$，
同时根的判别式$\Delta≥0$，即 $(2m)^2-4(m+1)(m-3)≥0$，
展开计算得：$4m^2 - 4(m^2 - 2m - 3)≥0$，
化简得$8m + 12 ≥0$，
解得 $m≥-\frac{3}{2}$。
$\therefore m$ 的取值范围为 $m≥-\frac{3}{2}$ 且 $m≠-1$。
(2) $\because m$ 的取值范围为 $m≥-\frac{3}{2}$ 且 $m≠-1$，
$\therefore$ 范围内的整数有0,1,2,...，其中最小整数为 0，
将$m=0$代入原方程，得：$x^2 - 3=0$，
移项得$x^2=3$，开方得$x=\pm\sqrt{3}$，
解得 $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $m≥ -\dfrac{3}{2}$且$m≠ -1$；
(2) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程有实根的条件，解题的易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含限制条件，整体侧重基础知识点的运用，掌握核心概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
1. 一元二次方程$x^2 -5x +2=0$根的判别式的值是 （
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题第一步先从给出的方程中对应找出$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值，注意要带上系数的符号，再将三个值代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -5x +2=0$，其符合一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，代入数值计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 =17$。
因此根的判别式的值为17，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查根的判别式公式的应用，解题的关键是准确提取方程的各项系数，计算时注意符号规则即可得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题第一步先从给出的方程中对应找出$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值，注意要带上系数的符号，再将三个值代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -5x +2=0$，其符合一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，代入数值计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 =17$。
因此根的判别式的值为17，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查根的判别式公式的应用，解题的关键是准确提取方程的各项系数，计算时注意符号规则即可得分。
【难度系数】
0.9
2. (2025邵阳期中)下列一元二次方程没有实数根的是 (
A.$x^2 + 6x + 9 = 0$
B.$x^2 - 9 = 0$
C.$x^2 + x + 4 = 0$
D.$x^2 - 2x - 3 = 0$
C
)A.$x^2 + 6x + 9 = 0$
B.$x^2 - 9 = 0$
C.$x^2 + x + 4 = 0$
D.$x^2 - 2x - 3 = 0$
答案
C
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，核心方法是计算方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的值：当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。我们只需逐一计算四个选项中方程的判别式，找出$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$：
1. 选项A：方程$x^2+6x+9=0$中，$a=1$，$b=6$，$c=9$，$\Delta=6^2-4×1×9=36-36=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
2. 选项B：方程$x^2-9=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-9$，$\Delta=0^2-4×1×(-9)=36＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
3. 选项C：方程$x^2+x+4=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=4$，$\Delta=1^2-4×1×4=1-16=-15＜0$，方程没有实数根，符合要求；
4. 选项D：方程$x^2-2x-3=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是牢记判别式的取值与方程根的对应关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有实数根，核心方法是计算方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的值：当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。我们只需逐一计算四个选项中方程的判别式，找出$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$：
1. 选项A：方程$x^2+6x+9=0$中，$a=1$，$b=6$，$c=9$，$\Delta=6^2-4×1×9=36-36=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
2. 选项B：方程$x^2-9=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-9$，$\Delta=0^2-4×1×(-9)=36＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
3. 选项C：方程$x^2+x+4=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=4$，$\Delta=1^2-4×1×4=1-16=-15＜0$，方程没有实数根，符合要求；
4. 选项D：方程$x^2-2x-3=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是牢记判别式的取值与方程根的对应关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 关于$x$的一元二次方程$(a-5)x^2 -4x -1=0$有实数根，则$a$满足（
A.$a≥1$
B.$a≥1$且$a≠5$
C.$a＞1$且$a≠5$
D.$a≠5$
B
）A.$a≥1$
B.$a≥1$且$a≠5$
C.$a＞1$且$a≠5$
D.$a≠5$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：第一步，题目明确说明是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的定义，即二次项系数不能为0，由此得到a的第一个限制条件；第二步，一元二次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0，代入对应系数计算判别式并解不等式得到a的第二个取值范围，最后将两个范围取交集，就是a需要满足的最终条件。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-5)x^2 -4x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-5≠0$，解得$a≠5$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
其中二次项系数为$a-5$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 -4×(a-5)×(-1) = 16 + 4(a-5) = 4a -4$
令$\Delta≥0$，即$4a -4≥0$，解得$a≥1$
综合两个条件可得：$a≥1$且$a≠5$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”的限定条件，忘记排除二次项系数为0的情况，解题时要先关注方程的类型限定，再结合根的情况列式计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需分两步思考：第一步，题目明确说明是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的定义，即二次项系数不能为0，由此得到a的第一个限制条件；第二步，一元二次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0，代入对应系数计算判别式并解不等式得到a的第二个取值范围，最后将两个范围取交集，就是a需要满足的最终条件。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-5)x^2 -4x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-5≠0$，解得$a≠5$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
其中二次项系数为$a-5$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 -4×(a-5)×(-1) = 16 + 4(a-5) = 4a -4$
令$\Delta≥0$，即$4a -4≥0$，解得$a≥1$
综合两个条件可得：$a≥1$且$a≠5$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”的限定条件，忘记排除二次项系数为0的情况，解题时要先关注方程的类型限定，再结合根的情况列式计算。
【难度系数】
0.7
4.已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 +4x -1=0$没有实数根，则$k$的取值范围是
$k＜-4$
.答案
$k＜-4$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先，题目明确给出是一元二次方程，因此需满足二次项系数不为0，即k≠0；其次，方程没有实数根，说明根的判别式Δ＜0，我们先确定方程中对应a、b、c的取值，代入判别式列出不等式，解出不等式后结合k≠0的限制条件，最终得到k的取值范围。
【解析】
∵ 方程$kx^2 +4x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠ 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠ 0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$kx^2 +4x -1=0$中，$a=k$，$b=4$，$c=-1$，代入判别式得：
$\Delta = 4^2 - 4× k× (-1) = 16 + 4k$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$16 + 4k ＜ 0$
解不等式得：$4k ＜ -16$，即$k ＜ -4$
又$k ＜ -4$已经满足$k≠ 0$的要求，因此k的取值范围是$k ＜ -4$。
【答案】
$k＜-4$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，解题时先明确方程类型的要求，再结合判别式列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先，题目明确给出是一元二次方程，因此需满足二次项系数不为0，即k≠0；其次，方程没有实数根，说明根的判别式Δ＜0，我们先确定方程中对应a、b、c的取值，代入判别式列出不等式，解出不等式后结合k≠0的限制条件，最终得到k的取值范围。
【解析】
∵ 方程$kx^2 +4x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠ 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠ 0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$kx^2 +4x -1=0$中，$a=k$，$b=4$，$c=-1$，代入判别式得：
$\Delta = 4^2 - 4× k× (-1) = 16 + 4k$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$16 + 4k ＜ 0$
解不等式得：$4k ＜ -16$，即$k ＜ -4$
又$k ＜ -4$已经满足$k≠ 0$的要求，因此k的取值范围是$k ＜ -4$。
【答案】
$k＜-4$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，解题时先明确方程类型的要求，再结合判别式列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
5.(开放性题)关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +2a=0$有实数根，则$a$的值可以是
1
（写出一个即可）。答案
1(答案不唯一)
解析
【分析】
看到题目给出一元二次方程有实数根，首先联想到一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当判别式Δ≥0时，方程有实数根。接下来第一步确定给定方程的各项系数，第二步将系数代入判别式公式得到关于a的不等式，第三步解不等式得到a的取值范围，最后在取值范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +2a=0$有实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
在方程中，二次项系数为1，一次项系数$b=-4$，常数项为$2a$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4× 1× 2a = 16 - 8a ≥ 0$
解不等式：
$16 ≥ 8a$
$a ≤ 2$
因此只要取小于等于2的数都满足要求，例如取a=1。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础开放性题目，主要考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题思路清晰，只要掌握判别式的相关性质即可快速解答，答案不唯一，符合取值范围即为正确。
【难度系数】
0.8
看到题目给出一元二次方程有实数根，首先联想到一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当判别式Δ≥0时，方程有实数根。接下来第一步确定给定方程的各项系数，第二步将系数代入判别式公式得到关于a的不等式，第三步解不等式得到a的取值范围，最后在取值范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +2a=0$有实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
在方程中，二次项系数为1，一次项系数$b=-4$，常数项为$2a$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4× 1× 2a = 16 - 8a ≥ 0$
解不等式：
$16 ≥ 8a$
$a ≤ 2$
因此只要取小于等于2的数都满足要求，例如取a=1。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础开放性题目，主要考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题思路清晰，只要掌握判别式的相关性质即可快速解答，答案不唯一，符合取值范围即为正确。
【难度系数】
0.8
6. (2025安阳模拟)对于实数$a,b$定义新运算:$a※b=ma^2b -2a -1$,例如:$1※2=m×1^2×2 -2×1 -1=2m -3$.若关于$x$的一元二次方程$x※1=0$有两个相等的实数根,则$m$的值是
$-1$
.答案
$-1$
解析
【分析】
解题时首先根据题中给出的新运算规则，将x※1转化为常规的代数表达式，得到对应的一元二次方程；再结合“一元二次方程有两个相等的实数根”的条件，利用一元二次方程根的判别式Δ=0列等式求解，同时注意一元二次方程的二次项系数不能为0，验证解的合理性即可。
【解析】
根据新运算的定义，将a=x、b=1代入$a※b=ma^2b -2a -1$，可得：
$x※1 = m· x^2·1 - 2x - 1 = mx^2 - 2x - 1$
因此方程$x※1=0$即为$mx^2 - 2x - 1 = 0$。
已知该方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根，因此满足：
1. 二次项系数$m≠0$；
2. 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4× m× (-1) = 0$。
计算判别式等式：
$4 + 4m = 0$
解得$m = -1$，满足$m≠0$的要求，符合题意。
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算；一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将新定义运算和一元二次方程的性质结合考查，解题的核心是正确理解新运算规则完成方程的转化，再结合根的判别式列式求解，解题时注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题中给出的新运算规则，将x※1转化为常规的代数表达式，得到对应的一元二次方程；再结合“一元二次方程有两个相等的实数根”的条件，利用一元二次方程根的判别式Δ=0列等式求解，同时注意一元二次方程的二次项系数不能为0，验证解的合理性即可。
【解析】
根据新运算的定义，将a=x、b=1代入$a※b=ma^2b -2a -1$，可得：
$x※1 = m· x^2·1 - 2x - 1 = mx^2 - 2x - 1$
因此方程$x※1=0$即为$mx^2 - 2x - 1 = 0$。
已知该方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根，因此满足：
1. 二次项系数$m≠0$；
2. 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4× m× (-1) = 0$。
计算判别式等式：
$4 + 4m = 0$
解得$m = -1$，满足$m≠0$的要求，符合题意。
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算；一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将新定义运算和一元二次方程的性质结合考查，解题的核心是正确理解新运算规则完成方程的转化，再结合根的判别式列式求解，解题时注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
7.已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a+c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$，其中 $ a,b,c $ 分别为 $ △ ABC $ 三边的长.
(1)如果 $ x=-1 $ 是方程的根，试判断 $ △ ABC $ 的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 $ △ ABC $ 的形状，并说明理由；
(3)如果 $ △ ABC $ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
(1)如果 $ x=-1 $ 是方程的根，试判断 $ △ ABC $ 的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 $ △ ABC $ 的形状，并说明理由；
(3)如果 $ △ ABC $ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案
解:(1)$△ ABC$ 是等腰三角形.理由如下：
$\because x=-1$ 是方程的根，
$\therefore a+c-2b+(a-c)=0$，
$\therefore a-b=0,\therefore a=b$，
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形。
(2)$△ ABC$ 是直角三角形.理由如下：
$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$，
$\therefore 4b^2-4a^2+4c^2=0,\therefore a^2=b^2+c^2$，
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形。
(3)$\because △ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore a=b=c$，
$\therefore$ 方程 $(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$ 可整理为 $2ax^2+2ax=0$，
$\because a$ 为 $△ ABC$ 的边长，$\therefore a≠0$，
$\therefore x^2+x=0$,解得 $x_1=0,x_2=-1$。
$\because x=-1$ 是方程的根，
$\therefore a+c-2b+(a-c)=0$，
$\therefore a-b=0,\therefore a=b$，
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形。
(2)$△ ABC$ 是直角三角形.理由如下：
$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$，
$\therefore 4b^2-4a^2+4c^2=0,\therefore a^2=b^2+c^2$，
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形。
(3)$\because △ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore a=b=c$，
$\therefore$ 方程 $(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$ 可整理为 $2ax^2+2ax=0$，
$\because a$ 为 $△ ABC$ 的边长，$\therefore a≠0$，
$\therefore x^2+x=0$,解得 $x_1=0,x_2=-1$。
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程与三角形性质结合展开，各小问解题思路清晰：
(1)已知方程的根，根据“方程的根满足方程”的性质，将x=-1代入原方程化简，得到三边的数量关系，即可判断三角形形状；
(2)已知方程有两个相等实数根，利用一元二次方程根的判别式Δ=0的结论，代入对应系数展开化简，得到三边满足勾股定理的关系，即可判定为直角三角形；
(3)等边三角形三边相等，将a=b=c代入原方程消元，结合三角形边长不为0的隐含条件，化简一元二次方程即可求解根。
【解析】
(1)$△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because x=-1$是方程的根，将$x=-1$代入方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$得：
$a+c-2b+(a-c)=0$
合并同类项化简得$2a-2b=0$，即$a=b$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2)$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because$方程有两个相等的实数根，$\therefore$根的判别式$\Delta=0$
$\Delta=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$
展开计算得$4b^2-4(a^2-c^2)=0$，两边同时除以4得$b^2 - a^2 + c^2=0$
整理得$a^2=b^2+c^2$，符合勾股定理逆定理
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(3)当$△ ABC$是等边三角形时，$a=b=c$，代入原方程得：
$(a+a)x^2+2ax+(a-a)=0$，整理为$2ax^2+2ax=0$
$\because a$为$△ ABC$的边长，$\therefore a≠0$，方程两边同时除以$2a$得：
$x^2+x=0$，因式分解得$x(x+1)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-1$
【答案】
(1)$△ ABC$是等腰三角形；
(2)$△ ABC$是直角三角形；
(3)方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义、一元二次方程根的判别式、特殊三角形判定
【点评】
本题属于代数几何综合基础题，将一元二次方程的核心知识点与三角形分类判定相结合，侧重考察基础概念的灵活应用，解题时注意挖掘“三角形边长不为0”的隐含条件即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元二次方程与三角形性质结合展开，各小问解题思路清晰：
(1)已知方程的根，根据“方程的根满足方程”的性质，将x=-1代入原方程化简，得到三边的数量关系，即可判断三角形形状；
(2)已知方程有两个相等实数根，利用一元二次方程根的判别式Δ=0的结论，代入对应系数展开化简，得到三边满足勾股定理的关系，即可判定为直角三角形；
(3)等边三角形三边相等，将a=b=c代入原方程消元，结合三角形边长不为0的隐含条件，化简一元二次方程即可求解根。
【解析】
(1)$△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because x=-1$是方程的根，将$x=-1$代入方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$得：
$a+c-2b+(a-c)=0$
合并同类项化简得$2a-2b=0$，即$a=b$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2)$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because$方程有两个相等的实数根，$\therefore$根的判别式$\Delta=0$
$\Delta=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$
展开计算得$4b^2-4(a^2-c^2)=0$，两边同时除以4得$b^2 - a^2 + c^2=0$
整理得$a^2=b^2+c^2$，符合勾股定理逆定理
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(3)当$△ ABC$是等边三角形时，$a=b=c$，代入原方程得：
$(a+a)x^2+2ax+(a-a)=0$，整理为$2ax^2+2ax=0$
$\because a$为$△ ABC$的边长，$\therefore a≠0$，方程两边同时除以$2a$得：
$x^2+x=0$，因式分解得$x(x+1)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-1$
【答案】
(1)$△ ABC$是等腰三角形；
(2)$△ ABC$是直角三角形；
(3)方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义、一元二次方程根的判别式、特殊三角形判定
【点评】
本题属于代数几何综合基础题，将一元二次方程的核心知识点与三角形分类判定相结合，侧重考察基础概念的灵活应用，解题时注意挖掘“三角形边长不为0”的隐含条件即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
